Лекция: Предел функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки .

Обозначение: .

Запишем это определение коротко:

.

Квантор всеобщности читается: «для всех». Квантор существования заменяет слово «существует». Запись означает, что «из следует ». А указывает на эквивалентность высказываний и, т. е. «из следует и из следует ».

Геометрический смысл предела функции поможет понять рис. 13.1. Для любой -окрестности точки (ось ) найдется такая -окрестность точки (ось ), что для всех точек этой окрестности, кроме, быть может,, соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки. Иначе говоря, точки графика функции лежат внутри полосы шириной, ограниченной прямыми,. Величина зависит от выбора, поэтому пишут .

Пусть функция определена на всей числовой оси.

Обозначение: .

Запишем определение предела функции коротко:

.

Геометрический смысл этого определения: для любой e‑окрестности точки (рис. 13.2) найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки (ось ),

что для всех точек этой окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки, т. е. точки графика функции лежат внутри полосы шириной, ограниченной прямыми, .

Если рассматривается поведение функции при или при, то пишут и, соответственно, .

Пусть определена в некоторой окрестности точки. Определение. Функция называется бесконечно большой при (включая бесконечность), если .

Запишем определение коротко:

.

Геометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки найдется такая -окрестность точки, что для всех точек этой окрестности, кроме точки, соответствующие значения функции лежат в окрестности, т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис. 13.3).

Если функция стремится к бесконечности при, принимая только положительные значения, то пишут, а если, принимая лишь отрицательные значения, то пишут .

Пусть функция определена на всей числовой оси.

Обозначение: .

Коротко определение:

Геометрический смысл определения: для любой окрестности бесконечно удаленной точки оси найдется такая окрестность бесконечно удаленной точки оси, что как только точка попадает в эту окрестность, так сразу соответствующие значения функции лежат в окрестности, т. е. точки графика лежат выше прямой и ниже прямой (рис.13.4).