Лекция: Правило Борда (процедура Борда).
Согласно этой процедуре подсчитывается, по скольким параметрам данное предложение превосходит все другие, результаты суммируются. Лучшей считается предложение, набравшее большую сумму. Эта процедура около двадцати лет применялась при выборах академиков во французской академии наук.
Формально процедуру Борда можно записать следующим образом.
Всем x A (А — множество предложений) припишем значения ri(x) определяемым по правилу:
ri(x) = {b A :Pi(x) <Pi(b)+εi}, где b — предложения, у которых значение i-го параметра Pi(b) лучше значения Pi(x) — i-го параметра предложения x, si — характеристика «чувствительности».
Сумма этих значений образует так называемую шкалу альтернатив Борда:
r(x) =
i
Поясним правило примером. Пусть требуется выбрать двигатель для некоторого насоса. Характеристики двигателей показаны в таблице 9.1.
Таблица 9.1
| Параметры | Название фирм | |||
| А | B | С | D | |
| Мощность двигателя | ||||
| Расход горючего | ||||
| Вес двигателя |
По правилу Борда для выбора лучшего двигателя надо использовать следующий алгоритм:
• для каждого двигателя подсчитать число параметров, по которым он превосходит остальные двигатели, т.е. определить величину r(x);
• сравнить значения r(x) всех двигателей;
• лучшим считается двигатель, набравший большую сумму.
В нашем примере при допущении ε = 0.00 значения ri(x) и r(x) показаны в табл. 9.2. По табл. 9.2 лучшим двигателем оказался двигатель фирмы A.
Турнирная таблица
При ранжировке по этой процедуре надо выбрать тот двигатель, у которого максимально число показателей, превосходящих показатели других двигателей (число «выигрышей»). Для этого построим матрицу S, такую что:
Или
Строки и столбцы матрицы S соответствуют множеству альтернатив в M. Такую матрицу называют обобщенной турнирной матрицей. Поясним построение матрицы S на примере таблицы. (, где l – идентификаторы параметров, Pl – l-ый параметр оценки двигателей. – параметр «чувствительности» — порог, соответствующий каждой характеристике l.
| Наименование фирм | Значения n(x,y) | ω(x) | |||
| A | B | C | D | ||
| A | - | 2 | 1 | 2 | 5 |
| B | 1 | - | 1 | 1 | 3 |
| C | 2 | - | 2 | ||
| D | 1 | 1 |
Поскольку n(x,y) показывает число «выигрышей» двигателя x у двигателя y, т.е. число параметров двигателя x, показатели которых лучше показателя тех же параметров двигателя y, функция определяет общее число «выигрышей» двигателя x у других двигателей. Т.о., функция – последний столбец таблицы определяет «естественный» (для этой функции) порядок на множестве A. Лучшим оказался двигатель фирмы A.