Лекция: Свойства оптимальных стратегий.

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша в прямоуг-ой игре с м-цей порядка mxn, имеющей цену V.Тогда, для того чтобы эл-т Х* мн-ва Sm был оптимальной стратегией для Р1 необх-мо и дост-но, чтобы для каждого эл-та Y мн-ва Sn имело место нер-во V £ E(X* ,Y).Анал-но, для того чтобы эл-т Y* мн-ва Snбыл оптимальной стратегией для Р2 необх-мо и дост-но, чтобы для каждого эл-та X мн-ва Sm имело место нер-во E(X,Y* ) £ V.

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, пусть V-действ-ое число, и пусть X* и Y* — соот-но эл-ты мн-в Sm и Sn. Тогда, для того чтобы V было ценой игры, а X* и Y* — оптимальными стратегиями соот-но для Р1 и Р2, необх-мо и дост-но, чтобы для 1 £ i £ m и 1 £ j £ n E(i,Y* )£ V £ E(X* ,j).

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, цена кот-рой есть V. Тогда, для того чтобы эл-т X* мн-ва Sm был оптимальной стратегией для Р1 необх-мо и дост-но, чтобы для 1 £ j £ n выполнялось V £ E(X* ,j). Анал-но, для того чтобы эл-т Y* мн-ва Sn был оптимальной стратегией для Р2 необх-мо и дост-но, чтобы для 1 £ i £ m выполнялось E(i,Y* ) £ V.

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, пусть ||X*Y*|| — решение этой игры. Тогда max1 £i £m E(i,Y* )=min1 £j £n E(X* ,j).

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша для прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, имеющей цену V, и пусть X*=||x1*...xm*|| и Y*=||y1*...yn*|| — оптимальные стратегии соот-но для Р1 и Р2. Тогда для любого i, при кот-ром E(i,Y* ) < V, имеет место рав-во xi*=0, а для любого j такого, что V < E(X* ,j), имеет место рав-во yj*=0.

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, и пусть Х* и Y* — соот-но эл-ты мн-в Sm и Sn.Тогда имеют место следующие эквивал-ные утверждения:

1.X* есть оптимальная стратегия для Р1, а Y* — для Р2.

2.Если Х есть любой эл-т мн-ва Sm, а Y — любой эл-т мн-ва Sn, то E(X,Y* ) £ E(X* ,Y* ) £ E(X* ,Y).

3. Если i и j любые целые числа, такие, что 1 £ i £ m и 1 £ j £ n, то E(i,Y* ) £ E(X* ,Y* ) £ E(X* ,j).