Лекция: Теоремы о дифференцируемых функциях и их применение.

Определение. Функция называется дифференцируемой, если во всех точках данного множества имеет производную.

Определение. Пусть функция определена на некотором множестве, и. Назовём точку точкой максимумафункции на множестве, если при всех выполняется неравенство, и точкой минимума, если при всех выполняется неравенство. Точка, являющаяся либо точкой максимума, либо точкой минимума, называется точкой экстремума.

Теорема 17.1. (Ферма) Пусть функция имеет на множестве точку экстремума, причём множество содержит некоторую -окрестность точки. Тогда либо имеет в точке производную, равную 0, то есть, либо производная в точке не существует.

Замечание. Заметим, что условие означает, что тангенс угла наклона касательной к графику, проведённой при, равен 0.

Рис.17.1. Поведение функции в окрестности точки экстремума

Геометрический смысл. Касательная, проведённая в точке экстремума, горизонтальна (если эта касательная существует).

Теорема 17.2. (Ролля) Пусть функция дифференцируема на интервале, непрерывна в точках и и принимает в этих точках значение 0:. Тогда найдётся хотя бы одна точка, в которой .

Замечание. Теорему можно переформулировать так: между двумя корнями и дифференцируемой функции обязательно найдётся корень её производной (то есть точка, такая что ).

Геометрический смысл. Условие означает, что касательная, проведённая к графику при, расположена горизонтально.

Рис.17.2.

Теорема Ролля не утверждает, что корень — единственный корень производной на интервале; на этом интервале может находиться несколько корней производной.

Теорема 17.3. (Лагранжа) Пусть функция дифференцируема на интервале и непрерывна в точках и. Тогда найдётся такая точка, что

Геометрический смысл. Соединим конечные точки графика на отрезке хордой. Конечные приращения и --это величины катетов треугольника, гипотенузой которого служит проведённая хорда.

Рис.17.3.Касательная в некоторой точке параллельна хорде

Теорема утверждает, что к графику дифференцируемой функции можно провести в некоторой точке касательную, которая будет параллельна хорде, то есть угол наклона касательной ( ) будет равен углу наклона хорды ( ).