Лекция: Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

При рассмотрении марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем будем считать, что все переходы некоторой системы из одного состояния в другое происходят под действием потоков событий. Если все потоки простейшие, то процесс протекающий в системе будет марковским. На графе состояний системы у каждой стрелки будем проставлять интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние

Здесь — интенсивность потока отказов первого узла; ( — среднее время безотказной работы первого узла). Для размеченного графа показанного на рис. определим вероятности состояний системы ( — вероятность i-ого состояния системы, ).

Для этого составим систему уравнений Колмогорова для конкретной системы, Размеченный граф состояний Найдем вероятность, что в момент t система будет находиться в состоянии.
Придадим t приращение и найдем вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии. Это событие может осуществиться двумя способами:
1. В момент t система была в состоянии и за время из него не вышла;
2. В момент t система была в состоянии и за перешла в .

Вероятность первого варианта равна произведению на условную вероятность того, что за не произойдет перехода. Эта вероятность равна. В итоге имеем. Вероятность второго варианта равна ( — вероятность условного перехода ).

В итоге.
Деля обе части на и переходя к пределу при найдем

Аналогично можно найти еще три уравнения

Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова.