Лекция: Языки представления чисел: системы счисления

Подходы к раскрытию темы в учебной литературе

Тема «Системы счисления» имеет прямое отношение к математической теории чисел. Однако, в школьном курсе математики она, как правило, не изучается. Необходимость изучения этой темы в курсе информатики связана с тем фактом, что числа в памяти компьютера представлены в двоичной системе счисления, а для внешнего представления содержимого памяти, адресов памяти используют шестнадцатеричную или восьмеричную системы. Это одна из традиционных тем курса информатики или программирования. Являясь смежной с математикой, данная тема вносит вклад также и в фундаментальное математическое образование школьников.

В первом учебнике информатики [18] понятие системы счисления не упоминается совсем. Говорится лишь о том, что вся информация в компьютере представляется в двоичном виде. То же самое можно сказать и про учебник [16]. Среди учебников второго поколения наибольшее внимание системам счисления уделено в книге [7]. Этой теме посвящен отдельный параграф, где дано следующее определение “Система счисления – способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)”. В более позднем учебнике этих же авторов [8] приводится такое определение: “Способ записи чисел называется нумерацией или, по-другому, системой счисления”.

Если рассматривать систему счисления как язык представления числовой информации, то можно сказать, что данные выше определения затрагивает только алфавит, синтаксис и семантику языка чисел. Более полное определение дано в [17]: «Система счисления – способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами». Под правилами действия понимаются способы выполнения арифметических вычислений в рамках данной системы счисления. Эти правила можно назвать прагматикой языка чисел.

Среди школьных учебников самое подробное изложение темы «Системы счисления» дается в [21]. В качестве дополнительной литературы, раскрывающей данную тему наиболее полно, можно рекомендовать учебное пособие [2].

Методические рекомендации по изучению темы

Изучаемые вопросы.

q Позиционные и непозиционные системы счисления

q Основные понятия позиционных систем: основание, алфавит

q Развернутая форма представления чисел в позиционных системах

q Перевод чисел из одной системы в другую

q Особенности двоичной арифметики

q Связь между двоичной и шестнадцатеричной системами

Ученики, безусловно, знакомы с записью чисел как римскими, так и арабскими цифрами. Они привыкли видеть римские цифры в обозначении глав в книге, в указании столетий (ХХ век) и в некоторых других нумерациях. Математические расчеты они всегда производили в арабской системе чисел. В данной теме учителю предстоит раскрыть перед учениками эти, казалось бы знакомые вещи, с новой стороны. С методической точки зрения бывает очень эффективным прием, когда учитель подводит учеников к самостоятельному, пусть маленькому, открытию. В данном случае желательно, чтобы ученики сами подошли к формулировке различия между позиционным и непозиционным принципом записи чисел. Сделать это можно, отталкиваясь от конкретного примера. Напишите на доске два числа: