Лекция: Решение логических задач средствами алгебры логики

Пример 1:

Внимание Андрея, Дениса и Марата привлек промчавшийся мимо них автомобиль.

— Это английская машина марки “Феррари”, — сказал Андрей.

— Нет, машина итальянская марки “Понтиак", — выразил Денис.

— Это “Сааб”, и сделан он не в Англии, — сказал Марат.

Оказавшийся рядом знаток автомобилей сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предположений.

Какой же марки автомобиль и в какой стране изготовлен?

Решение.

Введем обозначения для логических высказываний:

A – машина английская; Ф – это “Феррари”; И – машина итальянская; П – это “Понтиак”; С – это “Сааб”.

Из того факта, что каждый из друзей прав только в чем-то одном, получаем три истинных составных высказывания:

;; .

Если все эти истинные высказывания логически перемножить, то получим следующее истинное логическое высказывание:

Для решения задач нужно определить при каких значениях логических переменных А, И, Ф, П и С это высказывание истинно. Упростим высказывание, учитывая те обстоятельства, что машина не может быть одновременно и английской, и итальянской а также не может одновременно иметь два разных названия

Высказывание истинно только при И=1, Ф=1, А=0, П=0, С=0.

Ответ:Машина итальянской марки “Феррари”.

Пример 2:

Трое друзей, болельщиков «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

-Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. – Первым будет Хилл.

-Да нет же, победителем будет, как всегда Шумахер! – воскликнул Ник.- А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершению этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

Ш. – победит Шумахер; Х – победит Хилл; А – победит Алези.

Реплика Ника «Алези пилотирует самую мощную машину» не содержит никакого утверждения о месте, которое займет этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей: Джон: ;

Ник:; Питер:.Учитывая то, что предложения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание:

Высказывание истинно только при

Ш = 1, А = 0, Х = 0.

Ответ: победителем этапа гонок стал Шумахер.