Лекция: Метод Рунге-Кутта

Это очень распространённый явный одношаговый метод. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Приведём схему Рунге-Кутта 4-го порядка. Запишем алгоритм в виде:

, ( — усреднённая первая производная)

,

, ,

, .

Погрешность метода Рунге-Кутта оценивается величиной. Уточнение достигается за счёт специального подбора координат четырёх точек, в которых вычисляется первая производная. Вместо первой производной, используемой в формуле Эйлера, вычисляется усреднённая первая производная. Поэтому метод Рунге-Кутта требует на каждом шаге четырёхкратного вычисления правой части уравнения. Значит, удобно выделить в подпрограмму вычисление правых частей по формуле, придавая аргументам последовательно нужные значения.

Блок-схема метода Рунге-Кутта приведена на рис.5.3.

Метод Эйлера и его модифицированный вариант (с пересчётом) могут рассматриваться как методы Рунге-Кутта первого и второго порядков. Метод Рунге-Кутта требует большого объёма вычислений, но это окупается повышенной точностью, что даёт возможность проводить счёт с большим шагом.

Рис. 5.3. Блок-схема метода Рунге-Кутта 4-го порядка