Лекция: Матричные игры с седловой точкой

Пусть задана для участника матрица выигрышей, которую называют платежной матрицей.

Рассмотрим решение матричных игр данного класса на следующем примере:

Определение 1 (доминирующая стратегия). Если для двух стратегий и выполняется условие, и существует хотя бы одна стратегия такая, что, тогда является доминирующей стратегией по отношению к, а чистая стратегия – доминируемой стратегией.

Если для пары стратегий и, и существует такая, что, тогда – доминирующая по отношению к, а – доминируемая стратегия.

Доминируемые стратегии можно исключить из матрицы, так как оптимального решения среди них не будет.

Выбираем оптимальную стратегию для участника А по принципу:

.

Величина определяет нижнюю цену игры. Выбор стратегии по этому принципу гарантирует, что выигрыш будет не меньше, чем .

Для участника B оптимальная стратегия определяется по принципу: – верхняя цена игры.

Игры, у которых, называются играми с седловой точкой.

Отметим, что всегда. Действительно, пусть и :

, так как – минимальное в строке;, так как – максимальное в столбце, откуда следует, что .

Может быть несколько седловых точек, тогда цена игры во всех этих точках одинакова:, где – цена игры.

Пусть существуют две седловые точки. Из условий определения седловых точек следует:

.

Все эти нестрогие неравенства выполняются только в случае, когда все 4 числа равны: .