Лекция: Тема 14. Элементы математической статистики
Изучив данную тему, студент должен знать:
1. Задачи математической статистики.
2. Понятия генеральной и выборочной совокупности.
3. Классификацию выборок.
4. Способы отбора.
5. Варианты и вариационный ряд.
6. Понятия полигона и гистограммы.
7. Что такое генеральная и выборочная средние, дисперсии и стандарты?
8. Что такое несмещенные и смещенные, эффективная и состоятельная оценки?
9. Что такое мода, медиана, размах и коэффициент вариации?
10. Что такое статистическая гипотеза, уровень значимости и статистический критерий проверки гипотезы?
11. Последовательность проверки статистических гипотез.
Уметь:
12. Выполнять статистические расчеты.
13. Оформлять статистические расчеты в виде графиков.
Проиллюстрируем на типовых примерах технику статистических расчетов.
1. Задано распределение частот выборки:
| xi |
| ni |
Составить распределение относительных частот.
Определим сначала объем выборки:
.
Найдем относительные частоты по формуле :
;;; .
Следовательно,
| xi | ||||
| wi | 0,12 | 0,40 | 0,28 | 0,20 |
Контроль: .
2. По результатам примера 1 построить полигоны частот и относительных частот.
Отобразив на плоскости точки с координатами и соединив
их отрезками, получим полигон частот:
Аналогично построим полигон по точкам :
3. Построить гистограмму по следующему распределению:
| Номер интервала | Интервал длиной h=5 | Сумма частот вариант ni |
| 5–10 | ||
| 10–15 | ||
| 15–20 | ||
| 20–25 | ||
| 25–30 | ||
| 30–35 | ||
| 35–40 |
Прежде всего определим объем выборки:
.
По известным суммам частот вариант рассчитаем плотность частоты по интервалам:
| Номер интервала | Плотность частоты | Номер интервала | Плотность частоты | |
| 0,2 | 4,8 | |||
| 1,2 | 2,0 | |||
| 3,2 | 0,8 | |||
| 7,2 |
Изобразим полученный результат:
4. Найти статистические оценки генеральной совокупности, заданной следующим вариационным рядом:
| варианта xi |
| частота Ni |
Определим объем совокупности:
.
Найдем генеральную среднюю:
.
Для вычисления генеральной дисперсии используем формулу. Определим среднюю квадратов:
.
Таким образом, .
Генеральный стандарт: .
Обычно полученных результатов достаточно для практических задач. Однако можно получить дополнительные характеристики для более тонкой оценки генеральной совокупности. Приведем их:
Мода: наибольшая частота
.
Медиана: вариационный ряд делится пополам в точке
.
Размах вариации R: в примере, поэтому
.
5. Из генеральной совокупности извлечена выборка
| xi |
| ni |
Найти статистические характеристики выборки.
Определим объем выборки:
.
Выборочная средняя:
.
Определим среднюю квадратов:
.
Выборочная дисперсия:
.
Выборочный стандарт:
.
Как известно, выборочная дисперсия является смещенной оценкой
вариационного ряда. Получим несмещенную оценку, т.е. исправленную дисперсию:
.
Соответственно, исправленный стандарт:
.