Лекция: Логика предикатов

Предикат — логическая функция, аргументы которой могут принимать значения из некоторой предметной функции, а сама функция может принимать значение истина либо ложь.

Если переменная одна, то предикат одноместный, две — двухместный и т.д.

Нульместный предикат, то есть предикат, не содержащий переменных — высказывание.

Операции:

Из элементарных (атомарных) предикатов с помощью логических операций можно получить сложные предикаты.

Здесь уместно сделать важное содержательное замечание:

Язык предикатов — наиболее приближенный к естественным языкам формальный математический (логический) язык.

В логике предикатов к операциям, имеющим место в логике высказываний, добавляются операции навешивания кванторов.

" — квантор общности. «x P(x) — »для всех х — P(x)".

$ — квантор существования. $x P(x) — «есть такие х, что P(x)».

( $! или $1 — существует и притом единственный).

Кванторы связывают соответствующие переменные. Связанные переменные можно воспринимать как константы, а несвязанные переменные — свободные переменные -

как собственно переменные.

Содержательные примеры предикатов :

R(x) — х любит кашу (одноместный предикат).

«x R(x) — все любят кашу (нульместный предикат — высказывание).

$x R(x) — некоторые (есть такие) х любят кашу.

L(x, y) — х любит y (двухместный предикат).

$x»y L(x, y) — Существует x, который любит всех y.

«x ( C(x) ® O(x) ) — Все студенты C(x) отличники O(x).

$x ( C(x) & O(x) ) — Некоторые студенты C(x) отличники O(x).

Здесь есть повод поразмышлять об использовании операций ® и & в двух последних высказываниях.

Для конечных областей можно операции навешивания кванторов выразить через конъюнкцию и дизъюнкцию:

Пусть х Î{a1, a2,…, an}