Лекция: Функции алгебры логики

Рассмотриммножество векторов X = {<x1… xn>}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом множество X состоит из 2n векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1} [6].

Определение.Функцией алгебры логики называется функция, дающая однозначное отображение X в Y.

Определение.Если две функции алгебры логики f1(x1… xn) и

f2( x1… xn) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения, то их называют равными.

Теорема 1.Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно и равно 2n.

Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:

Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2n. Следовательно, число функций будет равно 2n.

Рассмотрим основные функции, которые играют важную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях:

1. f = X.

2. f = ØX (отрицание – инверсия).

3. f = 0.

4. f = 1.

5. f = X v Y(логическое сложение или дизъюнкция).

6. f = X & Y (логическое умножение или конъюнкция).

7. f = X ~ Y( импликация).

8. f = X ® Y (функция Вебба).

9. f = X ¯ Y(стредка Пирса).

10. f = X | Y (функция Шеффера).

11. f = X Å Y(сложение по модулю 2).

Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода:

· подстановка в функцию новой функции вместо аргументов;

· переобозначение аргументов.

Пример.Представить в виде таблицы функцию

f(X1,X2 ) = { ( X1 ¯ X2 ) v (X1 Å X2 ) } = X1 | X2.

Решение.

Пример.Показать, что X1 ® X2 = ØX1 v X2на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.

Решение.

Рассмотрим свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.