Лекция: Численный методы решения простейших диф ур-ий первого порядка.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y).

1. Метод Эйлера.

Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

• вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)

• вариант 2 (графический)

Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.

1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

уi+1=уi+hf(xi+h/2, yi+hf(xi,yi)/2),

xi+1=xi+h.

1. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

уi+1=уi+(h/2)[f(xi,yi)+f(xi,+h,yi+hf(xi,yi))],

xi+1=xi+h.

1. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

уi+1=уi+(k1+4k2+k3)/6,

k1=hf(xi, yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h, yi+2k2-k1),

xi+1=xi+h.

1. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

k3=hf(xi+h/2, yi+k2/2),

k4=hf(xi+h, yi+k3),

xi+1=xi+h,

где уi+1, уi — значения искомой функции в точках xi+1, xi соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h — шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x0, y=y0.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить значение функции при xk=1, h=1.

Решение задачи приведено в таблице.

Таблица