Лекция: Функция, область определения. Сложные, неявные, обратные функции. Основные элементарные функции

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0, y0). Пусть ее аргументы x и y в свою очередь являются функциями x = x(t), y = y(t) и определены в некоторой окрестности точки t0, причем x(t0) = x0, y(t0) = y0.

Тогда в окрестности точки t0определена сложная функция аргумента t

Аналогично определяется сложные функции любого числа переменных.

Например, если x и y — функции 2–х переменных: x = x(u,v) и y = y(u,v), то функция z = f(x,y) является сложной функцией двух переменных u и v :

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией

Функция является обратной к функции, если выполнены следующие тождества:

§ для всех

§ для всех

Функция y = f(x),, называется неявной, если она задана уравнением F(x,y) = z0,, где значение фиксировано.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

§ алгебраические:

§ степенная;

§ рациональная.

§ трансцендентные:

§ показательная и логарифмическая;

§ тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывнына своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.