Лекция: Упражнения
13. Что вам подсказывает ваша интуиция, каков логический статус нижеследующих формул – логический закон (ЛЗ), логическое противоречие (ЛП) или логически недетерминированная формула (ЛН)? Заполните первый столбец таблицы.
Теперь установите логический статус формул с помощью таблиц истинности, заполните второй столбец таблицы получившимися результатами и сравните их.
Формула | Интуитивно определённый статус | Таблично определённый статус |
1. + Ø(pÚq) º (ØрÚØq)
2. + ^ É p
3. +Ø(р & q) º (q & р)
4. + ((р Ú Øq) & r) É (q & Ør)
5. p É T
6. ^
7. T
8. (р & q) º (q & р)
9. (р É q) º (q É p)
10. Ø(p & q) º (Øр & Øq)
11. p & (q & Øр)
12. ((р Ú (q Ú r)) º ((р Ú q) Ú r)
13. Ø(p É q) º (р & Øq)
14. ((р É q) & (р É r)) É ((Øq Ú Ør) É Øp)
15. ((рÚqÚr) º s) É ((pºs) & (qºs) & (rºs))
16. Ø((TÉs)Ú(^É^))
14. Используя законы ассоциативности для & и Ú опустите максимальное число скобок в формулах.
(a)+ (((рÚ(q & r))Úq)Ú(((s&r)Úp)&q1)) É (((p&s) & (q&s)) & (rÚs))
(b) ((р Ú (q & r)) Ú (s&(r&s1))) É (((p &s) & (q &(rÚ s)) & (r Ú s))
(с) (((р&(q & r)) Ú (s&(r&s1))) É (((p &s) & (q Ú (rÚ s)) & (r Ú s)))&p1
15. Для следующих формул решите вопрос об их логическом статусе (является ли каждая из них тождественно-истинной, тождественно-ложной или логически недетерминированной), не строя таблицы истинности.
(a) (Ø((sÉ(рÚØq))É((q&r)Ú^)))&((sÚr)&(^&p))
(b) (((q&r)Úr1))&((sÚr)&(p12&p))) É((p12ºØr)Ú((TÚp12)&(^ÚT)))
(с) (p&r&r1&r2&r3)Ú(((pÚp1)&(p2Úr3))Ú((sÚp)&(rÚq)))
(главный знак в формуле (с) – первая слева дизъюнкция)
Если истинность или ложность высказываний зависит не только от понимания логических связок (от логики), но и от фактов (от значения параметров), высказывание относим к логически недетерминированным. Скажем, предложение «Сегодня холодно и морозно» логически недетерминировано, т.к. его структуре – р&q – соответствуют как истинные предложения, так и ложные. В высказывании «сегодня вторник и не вторник», напротив, от фактов (какой именно день недели) ничего не зависит: высказывание ложно, независимо от дня недели, в который оно произносится, поскольку его структура — р&Øр — порождает только ложные предложения. Тогда говорим, что высказывание логически противоречиво. Если структура высказывания – закон логики, тогда это высказывание логически истинно. Если от фактов ничего не зависит, и структура предложения порождает высказывания только одного типа только истинные или только ложные, тогда говорим, что высказывание логически детерминировано.
16. Что вам подсказывает интуиция: значения (истина или ложь) следующих предложений зависят от фактов (т.е. являются логически недетерминированными) или в следующих предложениях от фактов ничего не зависит, а их (предложений) значения целиком определяются их структурой, т.е. (а) истинны в силу структуры (б) ложны в силу структуры; (в) они логически недетерминированы. Сначала решите, что вам подсказывает интуиция, затем установите ответ, проанализировав их структурную информацию с помощью таблиц истинности (т.е. найдите структуру предложения и проанализируйте ее как в упражнении 13.)
а) + Если неверно, что не знаешь английский, французский и немецкий, значит, ты знаешь эти языки.
б) Москва – столица России или Португалии.
в) Если верно, что Москва – столица Португалии, тогда верно, что она столица Португалии или России.
г) Либо если идет снег, то жарко, либо если жарко, то идет снег (или и то, и другое)[10].
д) Неверно, что если сегодня – четверг, то сегодня четверг.
е) Если на лекции не было Р.Раскольникова или Д.Разумихина, значит неверно сказать, что на лекции присутствовали Р.Раскольников или Д.Разумихин.
ж) Дождь пойдет в том и только в том случае, если я возьму с собой зонтик, хотя неверно, что если я беру с собой зонт, то дождь пойдет.
з) То, что она изучает латынь или (2-й вариант) и латынь, и древнегреческий эквивалентно тому, что она изучает латынь.[11]
Тема 4: Логические отношения между структурами предложений.
Отношение логического следования в КЛВ
Свойства отношения логического следования
Пояснения
Выше изучались структуры отдельных предложений. Рассмотрим, как табличный метод работает с (простейшими) рассуждениями. Табличный метод проверяет, уместен (законен) ли в умозаключении шаг вывода, анализируя структуру умозаключения. В последней выделяются три различных компонента: посылки, шаг вывода, заключения. Структуры посылок и заключения – формулы. Переход от предложений к их структурам уже разобран во 2-й теме. Выше не было символа для отношения логического следования. Будем использовать для него знак «штопора» (выражение Е.К.Войшвилло):
⊨ -символ для отношения логического следования
Стандартное представление структуры умозаключения, в котором n посылок, имеет вид А1, А2, …, Аn ⊨В, где Аi (1£i£ n) – структура i-й посылки, В – структура заключения. |
Запись ⊨Атакже осмысленна. Она означает, что формула А – закон логики. |