Лекция: Гл.3 Упр.13

Ответ к 1)

Разбор решения

1. Вычисляем количество различных переменных, входящих в состав этой формулы: = 2 (p, q)

2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В данной случае имеем:

2 1 6 3 5 4

Ø(p Ú q) º (Øр Ú Øq),

т.е. сначала вычисляем значение (pÚ q), затем Ø(p Ú q) и т.д.

Главный знак этой формулы (связка, которая вводилась последней при построении данной формулы) – эквиваленция (º). Важно понимать, где главный знак формулы, т.к. ее логический статус будем определять, рассматривая столбец именно под главным знаком формулы (итоговый столбец).

3. Вычисляем количество строк в таблице для данной формулы. Если формула содержит n различных переменных, то количество строк в таблице для данной формулы = 2n. В нашем случае в таблице будет (22=) 4 строки.

4. Строим таблицу.

Например, Ú определяется так:

Из таблицы видно, что формула вида АÚ В ложна только в том случае, если и слева, и справа от дизъюнкции (Ú) формулы оценены как ложные. Это и воспроизведено в таблице для нашей формулы – под знаком Ú.

Далее мы вычислили значение формулы Ø(p Ú q). Отрицание меняет значение формулы на противоположное:

Значение столбца под первым отрицанием (2) вычисляем по значению столбца под первой конъюнкцией (1).

Значение столбца под Øр вычисляем по столбцу под р. Например, если р – «и» при первой оценке (j1), тогда Øр при этой же оценке (т.е. в первой строке) принимает значение «л» и т.д.

Значение столбца под Øq вычисляем по столбцу под q.

Значение столбца под второй дизъюнкцией Ú — в формуле (ØрÚ Øq) вычисляем по столбцам под Øр и под Øq.

Значение столбца под эквиваленцией (º) вычисляем по столбцам под первым отрицанием (второе действие — Ø(p Ú q) и под второй дизъюнкцией — (Øр ÚØq) (пятое действие).

Эквиваленцию вычисляем по следующему определению:

Проанализируем теперь построенную для формулы Ø(pÚq)º(ØрÚØq) таблицу истинности.

Под главным знаком формулы — º — иногда стоит истинна («и»), а иногда ложь («л»), значит логический статус этой формулы: логически недетерминированная.

Более культурный анализ таблицы звучит так. Существует оценка переменных p и q (например, j1), при которой формула принимает значение «и» и существует оценка этих переменных (например, j3), при которой формула принимает значение «л». Следовательно, данная формула логически недетерминирована.

Ответ к 2)

Число параметров в формуле: n =1.

Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2n=21=2

.

Формула принимает значение «истина» при любой оценке переменной р. Логический статус формулы: тождественно-истинная (= закон логики, общезначимая)

Ответ к 3)Ø(р & q) º (q & р)

1. Число параметров в формуле: n =1.

2. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В данной случае имеем:

2 1 5 4

Ø(p & q) º (q & р),

т.е. сначала вычисляем значение (p & q), затем Ø(p & q) и т.д.

3. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2n=21=2

4. Строим таблицу (немного не так, как в примере 1).

Анализ таблицы: при любой оценке параметров р и q формула принимает значение «л». Логический статус формулы: логическое противоречие (тождественно-ложная).

Ответ к 4) ((р Ú Øq) & r) É (q & Ør)

1. Число параметров в формуле: n = 3.

2. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2n=23=8

3. Указываем, в какой последовательности будем вычислять значение подформул данной формулы. В данной случае имеем:

1) Øq

2) р Ú Øq

3) (р Ú Øq) & r

4) Ør

5) (q & Ør)

6) ((р Ú Øq) & r) É (q & Ør)

Данная последовательность вычислений не единственно возможная (как и выше разобранных примерах 1 и 3). Скажем, не будет ошибкой сначала вычислить Ør, а затем Øq. Но ошибочно сначала пытаться вычислить, например, р Ú Øq, а уже затем Øq[18].

4. Строим таблицу

Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой формула принимает значение «и» (например, j2), и существует оценка переменных р, q и r, при которой формула принимает значение «л» (например, j1). Логический статус формулы: выполнимая, логически недетерминированная.

Гл.3 Упр.16 а)

Если неверно, что ты не знаешь английский, французский и немецкий, значит ты знаешь эти языки.

Сначала найдем структуру этого предложения, затем проанализируем ее таблично.

Структура предложения: Ø(Øр & Øq & Ør) É (р & q & r).

1. Число параметров в формуле: n = 3.2. Число возможных оценок для формулы (=число строк в таблице): 2n=23=8.

3. Последовательность вычислений (один из возможных вариантов):

1. Øр

2. Øq

3. Ør

4. Øр & Øq

5. Øр & Øq & Ør

6. Ø (Øр & Øq & Ør)

7. р & q

8. р & q & r

9. Ø(Øр & Øq & Ør) É (р & q & r)

Из таблицы видно, что при некоторых значениях переменных формула истинна, при других – ложна. Значит, данная формула логически недетерминирована, а вместе с ней логически недетерминировано и исходное высказывание, по которому она была получена. Последнее означает, что истинность или ложность данного высказывания зависит не только от понимания связок, но и от «фактов» — от значений простых предложений, входящих в его состав.

Гл.3 Упр.19

1) p&q⊨pvq

В данной схеме умозаключения одна посылка: p&q.

⊨ — шаг вывода, pvq – заключение.

Проверяем, следует ли из информации посылок информация заключения.

Число переменных в схеме умозаключения: n=2.

Число строк в таблице: 2n, т.е. 22, т.е.4.

В столбце под p&q просто стоит определение связки &, в столбце под pvq – Ú. Анализируя данную схему рассуждения на логическую правильность, принимаем в расчет только эти столбцы. Проверяем, реализуется ли для этой схемы умозаключения логически неприемлемая ситуация: переход от всех истинных посылок к ложному заключению. В нашем случае проверяем, есть ли такая оценка ji переменных р и q, что ji (p&q) = и, ji(pvq)=л. При j1 посылка истинна и заключение истинно, — нормально. При j2 и j3 посылка ложна, заключение истинно, — не искомый случай. Наконец для j4 имеем: j4(p&q)=л, j4(pvq)=л. Таким образом, какими бы ни были предложения р и q (а мы просмотрели все возможности), от истинного утверждения к ложному, рассуждая по данной схеме, мы не придем.

Анализ таблицы: не существует оценки переменных р и q, при которой посылка истинна, а заключение – ложно. Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) имеет место.

2)pvq ⊨p

Посылка: pvq.

⊨ — шаг вывода, p – заключение.

Число переменных в схеме умозаключения: n=2.

Число строк в таблице: 2n, т.е. 22, т.е.4.

Проверяем, реализуется ли для данной схемы логически неприемлемая ситуация, т.е. существует ли такая оценка параметров ji, что ji(pvq)=и, ji(p)=л. Такая оценка есть. Для j3 имеем: j3 (pvq)=и, j3(р)=л.

Анализ таблицы: существует оценка переменных р и q, при которой посылка истинна, а заключение – ложно (j3). Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) не имеет места.

3)pºq, qÉr, Øp ⊨ Ør

Посылки: pºq, qÉr, Øp.

⊨ — шаг вывода.

Заключение – Ør.

Число переменных в схеме умозаключения: n=3.

Число строк в таблице: 2n, т.е. 23, т.е.8.

Проверяем, есть ли такая оценка j параметров р, q и r, для которой верно: j(pºq)=и, j(qÉr)=и, j(Øp)=и, j(Ør) =л (логически неприемлемый случай).

Анализ таблицы: существует оценка переменных р, q и r, при которой все посылки истинны, а заключение ложно (j7). Вывод: схема умозаключения логически неправильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) не имеет места.

4) (p Ú q) É ^, r ºТ⊨ Ø(pº r)

(Прочтем схему рассуждения: из р или q следует логическая ложь, а r эквивалентна логической истине. Следовательно, р и r не эквивалентны.)

В этой схеме умозаключения две посылки: (p Ú q) É ^, r ºТ.

Заключение: Ø(pº r)

Число переменных в схеме умозаключения: n=3 (^ и Т не переменные, а (с точностью до наоборот) константы – за этими символами закреплено только одно значение, л и и соответственно).

Число строк в таблице: 2n, т.е. 23, т.е.8.

Проверяем, есть ли такая оценка j параметров р, q и r, для которой верно: j((p Ú q) É ^)=и, j(r ºТ)=и, j(Ø(pº r)) =л

Анализируя таблицу, принимаем в расчет только значения под главными знаками формул (т.е. промежуточные вычисления: pÚq и рºr, — не учитываем).

Анализ таблицы: не существует оценки переменных р, q и r, при которой все посылки истинны, а заключение – ложно. Вывод: схема умозаключения логически правильна, отношение логического следования (между посылкой и заключением) имеет место.