Лекция: Вероятность сложного события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Примеры совместных событий: человек ест и человек читает, число целое и четное.

Примеры несовместных событий: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.

Утверждение. Для несовместных событий A и B имеет место теорема сложения вероятностей р(A ∪ B) = p(A) + p(B), т. е. вероятность объединения (суммы) двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Например, пусть А – «идет дождь», а В – «идет снег», тогда А ∪ В – «идет дождь или идет снег, или идет дождь со снегом».

Формулу для вероятности объединения двух несовместных событий можно обобщить на любое число попарно несовместных событий.

Установим теперь полезную для приложений связь между вероятностями исходного и противоположного события, т. е. между событием А и его дополнением = U \ A, где А ∪ = U.

Утверждение. Для любых событий A и B справедлива формула для вероятности объединения (суммы) событий вида

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).

Мы определили ранее вероятность события как некоторую числовую характеристику возможности его наступления. Такую вероятность называют безусловной вероятностью, подчеркивая этим, что она не зависит ни от каких дополнительных условий испытания. В ряде случаев приходится рассматривать вероятность некоторого события A, которая зависит от того, произошло или не произошло другое случайное событие B. В таком случае говорят, что событие A зависит от события B, а вероятность появления событие A называют условной вероятностью. Условная вероятность событие A при условии, что произошло событие B, обозначается p(A ⎢B).

Определение условной вероятности.Если вероятность события В, р(В) > 0, то условной вероятностью события А при условии, что произошло событие В, называют число

p(A⎢B) =

Исходя из формулы условной вероятности, можно получить способ вычисления вероятности пересечения двух событий, т. е. вероятность пересечения (произведения) двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р(A ∩ B) = р(A) p(B ⎢A) или р(A ∩ B) = р(B) p(A ⎢B).

Определение независимых событий. Событие A называется

независимым от события В, если условная вероятность p(А⎢В) равна безусловной вероятности p(A), т. е. выполняется равенство

p(А ⎢В) = p(A).

Утверждение. Для независимых событий A и B имеет место теорема умножения вероятностей p(A ∩ B) = p(A) p(B).