Лекция: Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Определение: Математическим ожиданием М(Х)дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности: М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

 

Определение: Дисперсией D(X)случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))2

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х- случайная величина;

3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X2)-(M(X))2, где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

 

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Задача 2.Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х -1
р 0,1 Р2 0,3 0,2 0,3

Найти Р2, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞; х) нет ни одного значения данной случайной величины;

если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞; х) попадает только одно значение x1=-1;

если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток

(-∞; х) попадают два значения x1=-1 и x2=0;

если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)+Р(Х=1)=0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

если х>3, то F(х)=Р(Х=-1)+Р(Х=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞; х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1, х4=2 и х5=3.

Итак,

0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Изобразим функцию F(x)графически (рис.2):

рис. 2

Найдем числовые характеристики случайной величины:

М(Х)=∑ xκрκ =x1р1 + x2р2+…+ xnрn

M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5

D(X)= ∑ x2κрκ –(M(X))2 = x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2

D(X)=(-1)2 •0,1+12•3+22•0,2+32•0,3-(1,5)2=1,65

≈1,2845.

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (или случайных событий, процессов) по результатам наблюдений. Полученные в результате наблюдения (опыта, эксперимента) данные сначала надо каким-либо образом обработать: упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа виде. Это первая задача. Вторая задача, оценить, хотя бы приблизительно, интересующие нас характеристики наблюдаемой случайной величины. Следующей задачей, является проверка статистических гипотез, т.е. решение вопроса согласования результатов оценивания с опытными данными.

Предметом исследования в математической статистике является совокупность объектов, однородных относительно некоторых признаков. Совокупность всех подлежащих изучению объектов или возможных результатов всех мыслимых наблюдений, производимых в неизменных условиях над одним объектом, называется генеральной совокупностью.

Обычно применяют выборочный метод, который заключается в том, что из генеральной совокупности случайным образом извлекают n элементов. Эти элементы называются выборочной совокупностью или выборкой. Количество элементов в выборке называется ее объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.

Допустим, из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n, измерена некоторая величина Х, в результате чего получен ряд значений. Этот ряд называется простым статистическим рядом.

Пример. Измерена масса тела 10 девочек 6 лет. Полученные данные образуют простой статистический ряд:

24 22 23 28 24 23 25 27 25 25

Отдельные значения статистического ряда называются вариантами. Если варианта появилась m раз, то число m называют частотой, а ее отношение к объему выборки p=m/ nотносительной частотой.

Последовательность вариант, записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется ранжированным рядом.

Пример. Ранжированный ряд: 22 23 23 24 24 25 25 25 27 28

Полученная таким образом последовательность

значений случайной величины называется вариационным рядом.

Существуют характеристики вариационного ряда: меры уровня, или средние. Наиболее употребительными в статистических исследованиях являются три вида средних: средняя арифметическая, мода и медиана.

Cредняя арифметическая

Модой называется варианта, имеющая наибольшую частоту.

Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда.

Медианой называется варианта, расположенная в центре ранжированного ряда. Если ряд состоит из четного числа вариант, то медианой считают среднее арифметическое двух вариант, расположенных в центре ранжированного ряда.

Выборочная дисперсия

Выборочное стандартное отклонение

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

Задача 1. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей.

Решение.Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. x=2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий ряд распределения:

x
P 1/3 1/3 1/3

Задача 2.Построить функцию распределения Fx(x) для случайной величины x из задачи 1.

Решение. Случайная величина x имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка:. Если x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

Если 1£x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

Если 2£x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x<x)=P(x=1)+P(x=2)=2/3, т.е. Fx(x)=2/3.

И, наконец, в случае x³3 неравенство x£x выполняется для всех значений случайной величины x, поэтому P(x<x)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1, т.е. Fx(x)=1.

Итак, мы получили следующую функцию:

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин x и h задан c помощью таблицы

x h
–1 1/16 3/16
1/16 3/16
1/8 3/8

 

Вычислить частные законы распределения составляющих величин x и h. Определить, зависимы ли они. Вычислить вероятность .

Решение. Частное распределение для x получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично получается частное распределение для h:

;

.

Полученные вероятности можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

 

x h px
–1 1/16 3/16 1/4
1/16 3/16 1/4
1/8 3/8 1/2
ph 1/4 3/4

 

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин x и h. С этой целью для каждой клетки совместного распределения вычислим произведение (т.е. сумм по соответствующей строке и столбцу) и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений x=-1 и h=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие так же проверяется в оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех. Следовательно, случайные величины x и h независимы.

Заметим, что если бы наше условие нарушалось хотя бы в одной клетке, то величины следовало бы признать зависимыми.

Для вычисления вероятности отметим клетки, для которых выполнено условие. Таких клеток всего три, и соответствующие вероятности в этих клетках равны 1/8, 3/16, 3/8. Их сумма равна 11/16, это и есть искомая вероятность. Вычисление этой вероятности можно записать так:

Задача 4.Пусть случайная величина ξ имеет следующий закон распределения:

x –1
P 1/4 1/4 1/2

Вычислить математическое ожидание Mx, дисперсию Dx и среднеквадратическое отклонение s.

Решение. По определению математическое ожидание x равно

.

Далее

,

а потому

.

Среднеквадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Воспользуемся формулой. А именно, в каждой клетке таблицы выполняем умножение соответствующих значений и, результат умножаем на вероятность pij, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Задача 6. Исходные данные: студенты некоторой группы, состоящей из 30 человек сдали экзамен по курсу «Информатика». Полученные студентами оценки образуют следующий ряд чисел:

Решение:

I. Составим вариационный ряд

x mx wx mxнак wxнак
0,2 0,2
0,37 0,57
0,3 0,87
0,13
Итого:

 

II. Графическое представление статистических сведений.

III. Числовые характеристики выборки.

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

222222333333333 | 334444444445555

5. Выборочная дисперсия

6. Выборочное стандартное отклонение

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задача 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х -2
р 0,3 0,2 Р3 0,1

Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Задача 2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х -1
р 0,3 0,1 0,2 Р4 0,3


Найти р4, функцию распределения F(X) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Задача 3. В коробке 9 фломастеров, из которых 2 фломастера уже не пишут. Наудачу берут 3 фломастера. Случайная величина Х- число пишущих фломастеров среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

Задача 4. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 6 учебников, причем 4 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу 4 учебника. Случайная величина Х-число учебников в переплете среди взятых. Составить закон распределения случайной величины.

Задача 5.В билете две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй-0,7. Случайная величина Х- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины, а также найти функцию распределения F(x) и построить ее график.

Задача 6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, для второго-0,8, для третьего -0,7. Случайная величина Х- число попаданий в мишень, если стрелки делают по одному выстрелу. Найти закон распределения, M(X),D(X).

Задача 7. Баскетболист бросает мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске 0,8. За каждое попадание он получает 10 очков, а в случае промаха очки ему не начисляют. Составить закон распределения случайной величины Х-числа очков, полученных баскетболистом за 3 броска. Найти M(X),D(X), а также вероятность того, что он получит более 10 очков.

Задача 8.На карточках написаны буквы, всего 5 гласных и 3 согласных. Наугад выбирают 3 карточки, причем каждый раз взятую карточку возвращают назад. Случайная величина Х-число гласных букв среди взятых. Составить закон распределения и найти M(X),D(X),σ(Х).

Задача 9. В среднем по 60% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения случайной величины Х- числа договоров, по которым была выплачена страховая сумма среди наудачу отобранных четырех договоров. Найти числовые характеристики этой величины.

Задача 10. Радиостанция через определенные промежутки времени посылает позывные сигналы (не более четырех) до установления двусторонней связи. Вероятность получения ответа на позывной сигнал равна 0,3. Случайная величина Х-число посланных позывных сигналов. Составить закон распределения и найти F(x).

Задача 11. Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х-числа испытанных приборов.

Задача 12 .Дискретная случайная величина Х имеет три возможные значения: х1=1, х2, х3, причем х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

еще рефераты
Еще работы по иностранным языкам