Лекция: Непозиционные системы

Кроме позиционных систем счисления существуют и непозиционные системы счисления. Если в позиционной системе счисления значение циф-

ры зависит от позиции в записи числа, то в непозиционной системе такой зависимости не существует.

До наших дней сохранилась римская система счисления. В ней мы привыкли записывать юбилейные даты, главы в книгах, часы и так далее, До нас римские цифры дошли в следующем виде:

I – 1,

V – 5,

Х – 10,

L – 50,

С – 100,

D – 500,

М – 1000,

Z – 2000.

Эта система счисления возникла в Древнем Риме. Древние римляне говорили на латинском языке, поэтому все цифры представляют собой латинские буквы. Почему именно эти буквы стали обозначать соответствующие цифры, достоверных данных нет. Существует гипотеза о том, что цифра V — это обозначение кисти руки, на которой пять пальцев, а цифра X — это две сложенные пятерки.

Все целые числа до 5000 римской системы счисления записываются с помощью приведенных выше цифр по следующим правилам: если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются. А если меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей.

Например:

VI = 6, т.е. 5 + 1;

IV = 4, т.е. 5-1;

XL = 40, т.е. 50 — 10;

LX = 60, т.е. 50 + 10,

причем одна и та же цифра не может повторяться более трех раз. Число восемь записывается как VIII, а девять — уже IX.

Это говорит о том, что от позиции цифры в записи числа ее значение не зависит. В этом и заключается смысл непозиционной системы счисления.

В математике, а, следовательно, и в информатике понятие числа есть абстракция, которая понимается вне зависимости от системы, в которой оно представлено. Законы математики верны во всех системах счисления. Большая разница состоит в удобстве их использования. В разных системах счисления одни и те же действия, например сложение или умножение, могут производиться по разным правилам. Одни из них более удобны для нашего восприятия, другие лучше использовать при работе с вычислительной техникой, третьи настолько неудобны, что практически нигде не применяются. Например, в римской системе счисления выполнение арифметических действий является очень сложным процессом, поэтому данную систему счисления прекратили применять для расчетов еще в XVI веке.

Поскольку понятие числа — категория абстрактная, то одно и то же число может быть представлено в различных системах счисления, при этом не меняя своего абстрактного значения. В информатике существуют правила, которые позволяют производить перевод из одной системы счисления в другую. Рассмотрим те из них, которые необходимо знать и уметь применять при работе с вычислительной техникой [3].