Лекция: Интегро-интерполяционный метод построения разностных схем (метод баланса).

Обычно дифференциальное уравнение выражает некоторый физический закон сохранения. Этот закон можно записать в интегральной форме для интервала сетки (уравнение баланса). Дифференциальное уравнение получается из уравнения баланса при стремлении шага сетки к нулю в предположении существования непрерывных производных, входящих в уравнение.

Входящие в уравнение баланса на сетке производные и интегралы следует заменить приближенными выражениями на сетке. Такой метод называется интегро-интерполяционным методом или методом баланса.

Применим этот метод для построения разностной схемы следующей краевой задачи для ОДУ 2-го порядка:

(10.1)

(10.2)

где — заданные, достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям

Для построения разностной схемы введем на отрезке [0,1] равномерную сетку с шагом h:

Обозначим,,. Проинтегрируем уравнение (10.1) на отрезке, тогда получим уравнение

(10.3)

Это уравнение представляет собой уравнение баланса тепла на отрезке .

Чтобы получить из (10.3) трехточечное разностное уравнение, заменим и интегралы в уравнении (10.3) линейной комбинацией значений подынтегральных функций в узлах сетки, например

Проинтегрируем равенства по x от xi-1 до xi

В результате получаем из (10.3) схему

(10.4)

При выводе мы фактически предполагали лишь, что при, при .

Напишем разностную аппроксимацию для краевого условия третьего рода

Для этого воспользуемся уравнением баланса при, где

Подставим сюда,,, .

Заменим всюду u на y, получим разностное краевое условие

Перепишем его в следующем виде

, (10.5)

где,

Оценим на решении u = u(x) уравнения (10.1) величину невязки