Лекция: Фундаментальный принцип природы: прирост величины пропорционален самой величине.

Вернёмся к формуле Панова, описывающей всё более ускоряющееся развитие, и попробуем понять, можно ли в ней применять число е.

Весьма любопытное исследование свойств числа е относительно основных законов физики и физиологии провёл Б. Горобец. Конечно, оно не является строгим подтверждением возможности использования в формуле развития(tn = -T/еn), именно числа е, однако, некоторое обоснование этому оно даёт. Приведём небольшой отрывок из его работы:

«Всем известно, что незатухающую волну во времени можно описать синусоидой или суммой синусоид и косинусоид. В математике, физике, электротехнике такую волну (с амплитудой, равной 1) описывает экспоненциальная функция (формула Эйлера)

еiBt = cos Bt + i sin Bt,

где B — частота гармонических колебаний.

… Далее, представим себе волну не во времени, а в пространстве. Наглядным примером ее может служить стоячая волна (колебания струны, неподвижной в нескольких точках-узлах) или прибрежная песчаная рябь. Математически эта волна вдоль оси Оxзапишется как

еix=cos x + i sin x.

...Число е как основание функции комплексного переменного отражает два основных закона сохранения: энергии — через однородность времени, импульса — через однородность пространства.

… Важнейший класс процессов — линейные и линеаризованные процессы — сохраняет свою линейность именно благодаря однородности пространства и времени. Математически линейный процесс описывается функцией, которая служит решением дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (этот тип уравнений изучается на первом-втором курсах вузов и колледжей). А ее ядром служит приведенная выше формула Эйлера. Так что решение содержит комплексную функцию с основанием е, такую же, как уравнение волны. Причем именно е, а не другое число в основании степени! Потому что только функция еx не изменяется при любом числе дифференцирований и интегрирований. И следовательно, после подстановки в исходное уравнение только решение с основанием е даст тождество, как и надлежит правильному решению.

А теперь запишем решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, описывающее распространение гармонической волны в среде с учетом неупругого взаимодействия с ней, приводящего к рассеянию энергии или же к приобретению энергии от внешних источников:

f(t) = е(a+ib)t = еat(cos Bt + i sin Bt).

… А теперь положим B = 0, то есть уничтожим колебательный множитель с числом i в решении, содержащем формулу Эйлера. От бывших колебаний останется только затухающая (или нарастающая) по экспоненте „амплитуда“.

… При отсутствии мнимой, чисто колебательной части функции f(t), при B= 0 (то есть при нулевой частоте) действительная часть экспоненциальной функции описывает множество природных процессов, которые идут в соответствии с фундаментальным принципом: прирост величины пропорционален самой величине.

Сформулированный принцип математически выглядит так: ?I ~ I?t, где, допустим, I — сигнал, a ?t — малый интервал времени, за который происходит прирост сигнала ?I. Поделив обе части равенства на I и проинтегрировав, получим lnI ~ kt. Или: I ~ еkt — закон экспоненциального нарастания либо убывания сигнала (в зависимости от знака k). Таким образом, закон пропорциональности прироста величины самой величине приводит к натуральному логарифму и тем самым к числу е.

...По экспоненте с действительным аргументом, без колебаний, идет множество процессов в физике, химии, биологии, экологии, экономике и т. д.

Этому закону подчиняются зрение, слух, обоняние, осязание, вкус, эмоции, память (естественно, пока физиологические процессы не переходят скачком в патологические, когда рецепторы подверглись видоизменению или разрушению).… Возьмем для примера чай: стакан чая с двумя кусками сахара воспринимается раза в два более сладким, чем чай с одним куском сахара; но чай с 20 кусками сахара едва ли покажется заметно слаще, чем с 10 кусками...

Наверное, подобный принцип оптимально экономичен и при развитии многих организмов. Это можно наглядно наблюдать по образованию логарифмических спиралей в раковинах моллюсков, рядах семян в корзинке подсолнуха, чешуек в шишках. Расстояние от центра прирастает по закону

р = aеkj.

В каждый момент скорость прироста линейно пропорциональна самому этому расстоянию (что легко видеть, если взять производную от записанной функции). По логарифмической спирали выполняют профили вращающихся ножей и фрез». [16]