Лекция: П. ГОЛЬБАХ

При описі об'єкта керування за допомогою векторно-матричної моделі в просторі станів перший спосіб завдання якості керування може бути трансформований в оптимальний розподіл на комплексній площині полюсів замкненої системи.

Для системи, описуваної векторно-матричною моделлю в безперервному часі

полюса системи – це власні значення матриці, які звичайно позначаються через, де. У той же час власними значеннями матриці називається коріння її характеристичного рівняння

Для однозв'язних систем, які можуть бути описані загальною передатною функцією

полюса системи – це коріння характеристичного багаточлена. Відповідно нулями системи називається коріння багаточлена, при якого .

Розташування полюсів на комплексній площині багато в чому характеризує синтезовану систему, визначаючи її перехідні й частотні характеристики, а, отже, і динамічні показники якості. Так, наприклад, стійкість системи визначається розміщенням полюсів у лівій півплощині.

Наявність нулів у замкненій системі деякою мірою впливає на її динаміку.

Синтезу регуляторів стану передує розв'язок завдання побудови еталонної моделі системи керування, яка відповідає бажаному розподілу на комплексній площині корінь характеристичного рівняння замкненої системи. Якщо всі складові вектора стани об'єкта можуть бути обмірювані (є повна інформація про вектор стану), то забезпечення заданого розташування корінь не викликає труднощів. У цьому випадку виникає питання про те, яке розташування корінь вибрати.

Якщо передатна функція замкненої системи не має нулів, то при виборі її бажаного полінома можна керуватися стандартними формами (фільтрами), які знайшли досить широке застосування на практиці. Стандартні форми визначають коефіцієнти характеристичного полінома (знаменника) функції частотні характеристики, що забезпечують у системі перехідні й, з відомими показниками якості. Якщо ж система характеризується наявністю нулів, стандартні форми можуть служити в якості вихідного матеріалу для пошуку свого оптимального розташування корінь. Як правило, у характеристичному поліномі спочатку виділяються полюси для компенсації нулів, а поліном, що залишився, формується з умови бажаного розташування корінь.

На рис.2.1 приводяться формули характеристичного полінома й відповідні їм коефіцієнти для деяких найпоширеніших на практиці розподілів: розподілу Бесселя (томсоновская функція), фільтра Чебышева (нерівномірність передачі 0.5 дб), фільтра Баттерворта, біноміального розподілу (Ньютона). Часте поняття оптимального перехідного процесу зв'язують із мінімізацією якого-небудь функціонала. Подібні стандартні форми отримані емпірично, і область їх застосування обмежується системами невисокого порядку. До таких фільтрів ставляться наведені на рис.2.1 розподілу, минимизирующие інтеграл від квадрата помилки й оптимизирующий функціонал.

Рис. 2.1. Формули характеристичного полінома й відповідні їм коефіцієнти для деяких найпоширеніших розподілів.

Якість роботи системи керування характеризується, з одного боку, її точністю в режимі, що встановився, а з іншої – перехідним процесом від одного стану, що встановився, до іншого. При дослідженні перехідних процесів найчастіше вважаються, що вхідний сигнал є одиничною східчастою функцією. У цьому випадку крива перехідного процесу називається перехідною функцією й характеризується деякими показниками, прийнятими за захід якості системи керування. До таких показників можуть бути віднесені (рис.2.2):

– час наростання – час, необхідне для досягнення 95% кінцевого значення;

– час установлення (регулювання) – час, необхідний для влучення в деяку околицю кінцевого значення без виходу з нього;

– перерегулювання – максимальна відносна величина викиду (%) /;

– пульсації (коливання) – число коливань до виходу кривої в режим, що встановився.

Рис. 2.2. Показники якості перехідної характеристики.

Перерегулювання й коливання – небажані властивості фільтра.

Типові перехідні характеристики для різних фільтрів при вхідному ступеневому сигналі якісно представлені на рис.2.3.

Рис. 2.3. Перехідні характеристики стандартних розподілів.

Для розподілів Чебишева, Баттерворта, розподілу, минимизирующего оптимизирующий функціонал, у характеристиках спостерігаються коливальні викиди, які проявляються в результаті нелінійності їх фазочастотних характеристик (ФЧХ). Найбільшою мірою це проявляється для фільтра Чебышева (рис.2.4). ФЧХ є важливим параметром фільтра, що забезпечують передачу прямокутних і імпульсних сигналів. Забезпечення максимальне лінійної залежності від частоти фазового зрушення між вхідним і вихідним сигналами допомагає уникнути прояву в перехідних характеристиках небажаних коливальних викидів. Чим більш нелінійно ФЧХ, тим сильніше буде спотворюватися вихідний сигнал. Тобто в ідеальному випадку характеристика повинна мати вигляд прямої фільтри апроксимують бажану лінійну ФЧХ.

Рис. 2.4. Характеристики ФЧХ.

Відсутність перерегулювання в перехідних характеристиках для розподілу Бесселя й біноміального розподілу показують, наскільки добре ці фільтри апроксимують бажану лінійну ФЧХ. Однак ФЧХ не описує повністю властивості передачі фільтра. Іншим важливим фактором оцінки фільтра є його амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) (рис.2.5).

Рис. 2.5. Характеристики АЧХ.

Ідеальний фільтр (рис.2.6) характеризується наступними показниками:

– нульовими втратами й пульсаціями в смузі пропущення;

– нульовою шириною в перехідній області (нескінченна крутість на частоті зрізу);

– нескінченним загасанням у смузі пропущення.

Рис. 2.6. АЧХ ідеального фільтра.

Як видно з рис.2.4 найбільше повно сформульованим вимогам відповідає фільтр Баттерворта, що має максимально плоску АЧХ у смузі пропущення й достатньо гарну крутість загасання. Розподіл Чебышева використовується в тому випадку, коли більш важливим параметром виступає крутість наростання загасання. Високу швидкість наростання загасання забезпечує відсутність гладкої характеристики в смузі пропущення. Найгірші показники по АЧХ у фільтра Бесселя. Слід помітити, що при поліпшенні АЧХ фазочастотна характеристика погіршується й навпаки. Тому між ними важливо знайти компроміс.

При синтезі системи керування серед частотних і тимчасових характеристик перевага віддається останнім, тому що перехідні криві дозволяють більш наочно представити поведінка системи з урахуванням всебічного впливу лінійних і нелінійних зовнішніх факторів. Порівняльна таблиця зразкових показників якості перехідних процесів для стандартних розподілів, а також рис.2.3 дають наочна вистава про переваги або недоліки кожного з розглянутих тут фільтрів. Як видне, найкращими показниками в тимчасовій області має фільтр Бесселя. Широке поширення одержали також розподіл Баттерворта й розподіл, минимизирующее оптимизирующий функціонал. У кожному разі до вибору розташування корінь слід підходити виходячи з конкретних цілей і завдань і з урахуванням властивостей об'єкта проектування.

Вимоги, пропоновані до поведінки системи в динаміку, залежать від її призначення, характеру й конкретних умов роботи і т.д. Розрізняють наступні категорії технічних вимог: стійкість системи (запаси стійкості системи); значення помилки в установившемся стані (статична точність); поведінка системи в перехідному процесі (умови якості); динамічна точність системи (значення помилки при безупинно мінливих впливах).

Проектуючи САР, слід ураховувати й такі показники, як витрата енергії на керування, економічна ефективність системи регулювання, вартість і окупність устаткування, надійність і ін.

Найбільш істотним з перерахованих вимог є стійкість системи. САР через наявність зворотних зв'язків схильні до коливань. У стійко працюючій системі коливання із часом загасають, і система приходить у погоджений стан. Стійкість системи не повинна порушуватися при зміні в певних межах зовнішніх і внутрішніх умов (наприклад температури, що оточує, напруги живильної мережі і т.д.). Запаси стійкості повинні бути такими, щоб забезпечувалася можливість зміни параметрів системи під час її роботи.

Слід зазначити, що принцип зворотного зв'язку САР, застосовуваний для придушення коливань і зменшення помилки, за певних умов може привести не тільки до генерації коливань і збільшенню помилки, але й до аварійних режимів.

Як приклад розглянемо автомат курсу, що реагує на відхилення літака від необхідного напрямку. Нехай у початковий момент часу під дією сил, що обурюють, поздовжня вісь літака не збігається з необхідним напрямком руху. У результаті чутливий елемент автомата курсу виробляє сигнал, який змушує відхилитися рули напрямку. При цьому виникає обертаючий момент, що повертає літак на заданий, курс. Однак у момент, коли поздовжня вісь літака збігається з необхідним напрямком руху, це повернення не припиниться, по-перше, тому, що літак має значний момент інерції й при підході до заданого курсу буде мати певний запас кінетичної енергії; по-друге, тому що автомат курсу, що володіє деяким запізнюванням, поверне кермо в нейтральне положення лише через деякий проміжок часу після того, як поздовжня вісь літака збіжиться із заданим курсом. Тому літак буде відхилятися від заданого курсу в напрямку, протилежному первісному, доти, поки автомат курсу не зробить перекладку керма й поки не виникне обертаючий момент, достатній для повернення літака до заданого курсу. Якщо при цьому демпфірування літака невелике, а інерція й запізнювання автомата курсу значні, то амплітуда коливань літака щодо заданого курсу зросте й збереження заданого курсу стане неможливим.

Таким чином, стійкість є необхідною характеристикою динамічних властивостей САР у реальних умовах роботи при наявності різних впливів.

П. ГОЛЬБАХ