Лекция: Р Е Ф Е Р А Т

49. Доказать, что оператор градиента является антиэрмитовым на базисе функций, обращающихся в нуль на бесконечности.

50. Доказать равенство [L´L] = iL,где L – оператор орбитального момента.

51. Найти среднее значение кинетической энергии в n-состоянии линейного гармонического осциллятора.

52. Найти среднее значение потенциальной энергии в n-состоянии линейного гармонического осциллятора.

53. Найти матрицу оператора x3 на базисе |nñ функций линейного гармонического осциллятора.

54. Найти матрицу оператора px3 на базисе |nñ функций линейного гармонического осциллятора.

55. Рассчитать коммутатор [H, r], где H – одночастичный оператор Гамильтона, r — радиус-вектор частицы.

56. Найти распределение вероятностей различных значений импульса в основном состоянии |y0ñ частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме. Указание: рассмотреть ‹y0|jp›, где jp – c.ф. оператора импульса.

57. Проверить непосредственным расчётом справедливость теоремы вириала для линейного гармонического осциллятора.

58. Построить оператор, эрмитово сопряжённый к (∂/∂r), где r – радиальная переменная в сферической системе координат.

59. Частица помещена в трёхмерную бесконечно глубокую потенциальную яму (U(x,y,z) = ∞, |x| > a, |y| > b, |z| > c).Определить среднее давление частицы на стенки ямы. Указание: рассмотреть выражение для работы, совершаемой при бесконечно малом изменении объёма области, доступной для частицы.

60. Линейный одномерный гармонический осциллятор, несущий заряд Q, помещён в однородное электрическое поле с напряжённостью E. Найти среднее значение координаты осциллятора в n-м состоянии.

61. Найти среднее значение x2 для линейного гармонического осциллятора, находящегося в своём третьем возбуждённом состоянии. Можно ли получить ответ, не прибегая к прямому расчёту матричного элемента ?

62. Найти с.з. и нормированные с.ф. оператора ∂/∂j, где j — угловая переменная в полярной системы координат.

63. Определить энергетические уровни дискретного спектра частицы в потенциальной яме: U(x) = ∞, x < 0; 0, 0<x<a; U0, x>a.

64. Вычислить среднее значение оператора в n-м стационарном состоянии jn гамильтониана:, где — оператор вириала. Получить отсюда соотношение между средней кинетической и потенциальной энергией для случая U(x) ~ xa (теорема вириала). Указание: учесть, что, по определению, H jn = Enjn

65. Частица, помещённая в бесконечно глубокую потенциальную яму ширины a (0<x<a), находится в состоянии с волновой функцией Y = A x (x — a). Найти для неё распределение различных значений энергии и среднюю энергию, определив константу A из условия нормировки. Указание: для нахождения распределения энергий рассмотреть ‹Y|jn›, где jn – в.ф. n-го стационарного состояния.

66. Частица, помещённая в бесконечно глубокую потенциальную яму ширины a (0<x<a), находится в состоянии с волновой функцией Y = A sin2(px/a). Найти для неё распределение различных значений энергии и среднюю энергию, определив константу A из условия нормировки. Указание: для нахождения распределения энергий рассмотреть ‹Y|jn›, где jn – в.ф. n-го стационарного состояния.

67. Вычислить коэффициент отражения от потенциального барьера: U = 0, x<0; U0, x>0.

68. Оператор спина электрона (в единицах ħ) имеет вид: = ½ s, где s=(sx, sy, sz), si – матрицы Паули. Составить оператор Sn проекции спина на ось n. Найти среднее значение Sn в состояниях с Sz = ± ½? Каковы вероятности проекций Sn = ± ½ в указанных состояниях?

69. Проверить непосредственным расчётом справедливость теоремы вириала для линейного гармонического осциллятора.

70. В одномерной потенциальной яме сколь угодно малой глубины всегда имеется по крайней мере одно связанное состояние (один уровень дискретного спектра). Доказать эту теорему для случая симметричной прямоугольной ямы.

71. Рассчитать среднюю величину произведения неопределённостей DxDp для основного состояния линейного гармонического осциллятора (DA = ‹A2› — ‹A›2).

72. Рассчитать среднюю величину произведения неопределённостей DxDp для основного состояния частицы в бесконечно глубокой симметричной потенциальной яме ширины a осциллятора (DA = ‹A2› — ‹A›2).

73. Частица находится в бесконечно глубокой симметричной потенциальной яме ширины a. Какова вероятность нахождения частицы в области 1/3 a < x < 2/3 a, когда она пребывает в основном состоянии?

Р Е Ф Е Р А Т