Лекция: Дифференциальных уравнений

Важнейшую роль в синергетике играет качественная (топологическая) теория дифференциальных уравнений,которую иначе называют ещё теорией динамических систем. Традиционно теорию дифференциальных уравнений и основанную на ней теоретическую физику ХVII–ХIХ вв. интересовали конкретные решения уравнений, которым соответствуют вполне определённые числовые значения параметров исследуемых объектов. Например, значения пространственных координат и скоростей движения тела по траектории, уравнение самой траектории и т. п. В 10–30-х гг. ХХ в. А. Пуанкаре и Дж. Биркгофом были разработаны методы геометрического анализавсей совокупности возможных движений изучаемых объектов на их т. н. фазовых портретах. При этом акцент переносился с точного решения уравнения на анализ областей устойчивых и неустойчи- вых движений объектов, которые ими отражаются. Обыденным примером может служить область устойчивых движений детской юлы в широком диапазоне скоростей её вращения. В связи с разработкой гироскопических навигационных приборов в конце ХIХ в. теорию устойчивости подобных объектов разработал А. М. Ляпунов. Пуанкаре и Биркгоф обобщили её на широкие классы систем и придали ей геометрически наглядную форму. В отличие от частного решения дифференциального уравнения, его фазовый портрет позволяет целостно обозревать и исследовать всю совокупность его решений, которой соответствует вся совокупность областей устойчивого и неустойчивого поведения описываемого им динамичного объекта. Тем самым реализуется системный (целостный) подход к его динамике.