Методичка: Классический метод математического описания и исследования многосвязных систем

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ

1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Математическая модель линейной непрерывной многосвязной системы в физических переменных «вход-выход» при детерминированных воздействиях может быть представлена векторным дифференциальным уравнением в символическом виде [*]:

/>, (1.1.1)

где />– вектор размерности n выходных координат системы; />– вектор размерности m управляющих воздействий; />– вектор размерности m1 возмущающих воздействий; />, />, /> — полиномные матрицы размерностей />, />, />соответственно, элементы которых являются полиномами от р с постоянными коэффициентами (например />, /> — линейная комбинация относительно выходной координаты yj и ее производных); /> — символическое обозначение производной; t – время. При этом предполагается существование соответствующих производных от y(t), u(t), r(t) по t и kL>kG, kL>kN, где через kL, kG, kN обозначены порядки старших производных полиномов от р в соответствующих матрицах L(p), G(p) и N(p).

Уравнение движения САУ составляется на основе ее структуры и математического описания, входящих в систему элементов, и имеет вид уравнения (1.1.1), где u(t)=z(t) и z(t) — вектор задающих воздействий на систему.

Уравнение движения САУ (1.1.1), записанное относительно у(t), называется уравнением автоматического управления (УАУ)

/>, (1.1.2)

где />, /> — матричные передаточные функции по задающему z(t) и возмущающему r(t) каналам соответственно.

Для определения собственных движений системы (1.1.1), то есть когда u(t)=0 (или z(t)=0) и r(t)=0, и ее порядка необходимо записать характеристический определитель

/>, (1.1.3)

и найти корни λj характеристического уравнения

/>. (1.1.4)

Система будет устойчивой, если вещественная часть всех корней характеристического уравнения (нули функции />) будет неположительной.

Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений может быть представлено в виде суммы общего решения yo(t) однородной системы и частного решения уч(t) исходной неоднородной системы

/>, (i=1,…,n), (1.1.5)

где: Cij — коэффициенты, определяемые начальными условиями дифференциальных уравнений; q — степень характеристического уравнения.

1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1.1.1

Построить сигнальный граф математической модели динамического режима САУ, записанной в переменных «вход–выход» в символической форме векторно-дифференциальным уравнением вида:

/>,/>,/>(1.2.1)

и определить характер свободного движения процесса по каналу “возмущающее воздействие r2 – выходная переменная y1“.

Решение

Сигнальный граф рассматриваемой САУ, в соответствии с уравнением (1.2.1) представлен на рис. 1.1.

Независимость выходных переменных yi в САУ определяется ее физическими свойствами и математически выражается в виде диагональности матрицы процесса L(p). На рис.1.1 независимость выходных переменных между собой отображается не связанностью вершин у1 и у2 сигнального графа, то есть независимостью уравнений между собой. Это позволяет решать уравнения независимо (отдельно) друг от друга.

/>/>

/>/>/>/>/>/>z1 r1

/>/>/>/>z2 r2

Рис. 1.1. Сигнальный граф системы уравнений (1.2.1)

Для определения переходного процесса по каналу “возмущающее воздействие r2 – выходная переменная y1“ запишем его уравнение динамики

/>, (1.2.2)

которое представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения дается формулой (1.1.5) при j=2.

Для определения корней λ1,2 запишем характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения

/>, (1.2.3)

и решая его, получим />, />.т. е. переходный процесс по рассматриваемому каналу является колебательным асимптотически сходящимся.

Задача 1.1.2

Математические модели динамических режимов управляемой и управляющей подсистем в переменных «вход–выход» в символической форме описываются векторно-дифференциальными уравнениями вида:

а) управляемая подсистема

/>,

/>, (1.2.12)

б) управляющая подсистема

/>, (1.2.13)

при нулевых начальных условиях, где yi(t), ui(t), ri(t), zi(t) – выходные, управляющие, возмущающие переменные и задающие воздействия соответственно.

Задание

1. Составить структурную схему многомерной САУ на основе принципа управления по отклонению и сформировать в ней отрицательные обратные связи.

2. Получить уравнение динамики многомерной САУ и ее характеристическое уравнение.

Решение

1.Структурная схема двумерной САУ с информационными каналами в подсистемах представлена на рис. 1.2. Настоящая схема синтезируется на основе принципа управления по отклонению и уравнений (1.2.12), (1,2.13).

При формировании отрицательных обратных связей в системе необходимо учитывать, что количество элементов обратного действия в контуре управления должно быть нечетным.

1.1. Контур управления выходным параметром у1(t).

Управляемая подсистема по каналу “/>” – элемент обратного действия. Рассогласование />вводится в управляющее устройство в виде />/>, то есть сумматор (элемент сравнения) является элементом обратного действия. Следовательно, канал управляющей подсистемы в рассматриваемом контуре должен содержать элемент обратного действия, поэтому элемент (р+1) матрицы должен быть со знаком минус [-(p+1)].

--PAGE_BREAK--

/>/>/>

/>/>/>/>/>/>/>r1

/>r2

/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>z1 />u21 u11 y11

/>/>/>/>/>/>/>/>z2 />u22 u12 y12

/>/>/>/>/>

/>y22

/>/>/>y21

/>/>/>Рис. 1.2. Структурная схема двумерной САУ

1.2. Контур управления выходным параметром у2(t).

Управляемая подсистема по каналу “/>” – элемент прямого действия. Рассогласование />вводится в управляющее устройство в виде />/>, то есть сумматор (элемент сравнения) является элементом обратного действия. Следовательно, канал управляющей подсистемы в рассматриваемом контуре должен содержать элемент прямого действия.

2. Составление уравнения динамики многомерной САУ и определение ее характеристического уравнения.

Заданные уравнения (1.2.12), (1.2.13) в общем виде можно записать как

/>. (1.2.14)

Исключив из системы уравнений (1.2.14) промежуточную переменную u, получим

/>(1.2.15)

Перенося в левую часть уравнения многочлен от y(t) и оставляя в правой части многочлены от независимых переменных z(t), r(t) и учитывая, что />, получим уравнение динамики

/>/>(1.2.16)

Характеристическое уравнение

/>. (1.2.17)

Задача 1.1.3

Математические модели динамических режимов управляемой и управляющей подсистем в переменных «вход–выход» описываются дифференциальными уравнениями вида:

а) управляемая подсистема

/>, (1.2.24)

при нулевых начальных условиях;

б) управляющая подсистема

/>, (1.2.25)

где yi(t), ui(t), ri(t), zi(t) – выходные, управляющие, возмущающие переменные и задающие воздействия соответственно.

Задание

1. Записать данные уравнения в символической форме и представить в векторно-дифференциальном виде;

Решение

Для записи данных уравнений в символическом виде необходимо обозначение производной заменить на символ р, то есть положить />, а интеграл – на />. После замены получим

а) управляемая подсистема

/>, (1.2.26)

б) управляющая подсистема

/>. (1.2.27)

Вводя векторы y(t)=[y1(t), y2(t)]T, u(t)=[u1(t), u2(t)]T, r(t)=[r1(t), r2(t)]T и учитывая, что

/>, (1.2.28)

получим следующие уравнения:

а) управляемая подсистема

/>,

/>. (1.2.29)

б) управляющая подсистема

/>, (1.2.30)