Научная работа: Свойства чисел Периодическая система чисел

© Автор Бутарева Людмила

29 декабря 2006 г.

СВОЙСТВА ЧИСЕЛ

ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЧИСЕЛ.

Свойства чисел натурального ряда, а также производных от них находятся в различной периодической зависимости от порядковых номеров чисел.

Например, рассмотрим шестеричную периодизацию чисел.

1. Запишем натуральный ряд чисел по 6

---------------------------------------------------------------------------------------------

Группы! ABCDEF

-------------------!--------------------------------------------------------------------------

Периоды !

0! 1

1! 2 3 4 5 6 7

2! 8 9 10 11 12 13

3! 14 15 16 17 18 19

n! 6n- 4 6n- 3 6n- 2 6n- 1 6n 6n+ 1

-----------------!-------------------------------------------------------------------------

Условные обозначения: ABCDEF — группы чисел

0, 1, 2… n — ## периодов

2. Продолжим таблицу в область отрицательных чисел: --------------------------------------------------------------------------------------------

Группы! ABCDEF

— !------------------------------------------------------------------------

Периоды !

-4! -28 -27 -26 -25 -24 -23

-3! -22 -21 -20 -19 -18 -17

-2! -16 -15 -14 -13 — 12 -11

-1! -10 -9 -8 -7 -6 -5

0! -4 -3 -2 -1 0 1

1! 2 3 4 5 6 7

2! 8 9 10 11 12 13

3! 14 15 16 17 18 19

4! 20 21 22 23 24 25

n! 6n- 4 6n- 3 6n- 2 6n- 1 6n 6n+ 1

-----------------!-------------------------------------------------------------------------

Группы В и Е – самостоятельные группы. Отрицательные числа каждой из этих групп по абсолютной величине равны собственным положительным.

Группа А в отрицательной части переходит в группу С (и наоборот).

Группа Dв отрицательной части переходит в группу F (и наоборот).

По абсолютной величине ряды чисел A= C, D= F на всем протяжении от оо до – оо.

Группы Aи C, D и F называются близнецами.

В Таблице № 1 приведены некоторые общие свойства чисел по группам при шестеричной периодизации.

Таблица № 1

___________________________________________________________________

Группа! Общие свойства чисел

— !---------------------------------------------------------------------------------- А ( 6n– 4)! Четные (из них 1 простое)! имеет близнеца С

B ( 6n – 3)! Кратные 3-м ( из них 1 простое)!

С ( 6n– 2)! Четные! имеет близнеца А D ( 6n– 1)! Простые + произведения DxF! имеет близнеца F

E ( 6n)! Четные, кратные 3-м !

F ( 6n + 1)! Простые + произведения DxD, FxF! имеет близнеца D

— —

.

I. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

Таблица № 2 Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.

--------------------------------------------------------------

Группы! ABCDEF

----------------------!---------------------------------------

№№ периодов!

0! х х х х х х

1! 2 3 х 5 х 7

2! х х х 11 х 13

3! х х х 17 х 19

4! х х х 23 х х

n! х х х 6n- 1 х 6n+ 1

----------------------!-----------------------------------------

1. Числа 2 и 3 – первичные простые числа. Это единственные простые числа, стоящие рядом, без интервалов

Все остальные, типичные простые числа находятся в Dи F группах

Обозначим №№ периодов чисел группы Dбуквой d, а чисел группы F буквой f.

D = 6d -1 F = 6f +1.

2. Типичные простые числа, принадлежащие разным группам, но одному и тому же периоду, называются близнецами

Например

Числа 5 и7 – близнецы. Они имеют один и тот же период d = f= 1

( 6d – 1 ) = 6 х 1 – 1 = 5

( 6f+ 1 ) = 6 х 1 + 1 = 7.

Числа 29 и 31 – близнецы. Они имеют период d = f= 5

( 6d – 1 ) = 6 х 5 – 1 = 29

( 6f+ 1 ) = 6 х 5 + 1 = 31

3. Состав ряда чисел группы D ( Таблица №1)

а) простые числа

b) произведения Dх F:

( 6a – 1 ) х ( 6b + 1 ) = 36ab + 6a – 6b – 1 = 6 (6ab + a – b) – 1 = 6d — 1

Отсюда следует, что все D =/ 6 (6ab + a – b) – 1

( где aи b любое натуральное число) – это простые числа.

Все d =/ 6ab + a – b(где aи bлюбое натуральное число) – это периоды простых чисел.

4. Состав ряда чисел группы F ( Таблица №1)

а) простые числа

b) произведения Dх D

( 6a – 1 ) х ( 6b – 1 ) = 36ab – 6a – 6b + 1 = 6 (6ab – a – b) + 1

с) произведения Fх F:

( 6a + 1 ) х ( 6b + 1 ) = 36ab + 6a + 6b + 1 = 6 (6ab + a + b) + 1

Значит, простые числа это:

F =/ 6 (6ab – a – b) + 1

F =/ 6 (6ab + a + b) + 1( где aи b любое натуральное число)

Периоды простых чисел

f=/ 6ab — a – b

f=/ 6ab + a + b (где aи bлюбое натуральное число)

.

II ТЕСТЫ ПРОСТОТЫ

1. РЕШЕТО

Запишем любой из числовых рядов групп Dили F до нужного нам числа. Знак ( — ) опустим без ущерба для нашей задачи.

53 47 41 35 29 23 17 11 5 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55

Центр этого ряда — число 1. Оно не является простым. Обозначим его [х]. Первое после 1

число 5 – простое. От 5 влево и вправо отсчитываем каждое 5-ое число и вычеркиваем.

53 47 41 х 29 23 17 11 5 х 7 13 19 х 31 37 43 49 х

Следующее по величине невычеркнутое число 7 – простое. От 7 влево и вправо отсчитываем каждое 7-е число и вычеркиваем.

53 47 41 х 29 23 17 11 5 х 7 13 19 х 31 37 43 х х

Мы получили ряд типичных простых чисел в интервале от 5 до 55. Достаточным является вычеркиваемое число [корень квадратный из наибольшего квадрата в ряду].

2. ПЕСОЧНЫЕ ЧАСЫ

Таблица № 1 Определение простоты чисел «Песочные часы»

____________________________________________________________________

!!!!!!! _________!x!

!!!!!! _________!_!_!_!_!_!x!_!

!!!! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!

!!!! _________!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!

!! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!

! !_________ !_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!

! ____!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!0!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!

!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!! !

!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!!! !

!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!!!! !

!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!!!!! !

!_!x!_!_!_!_!_!_!_!!!!!! !

!x!_!_!_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_!

1Разрежем Таблицу № 1 на вертикальные колонки шириной 6 клеток.

2. Отрежем от каждой колонки белую неразлинованную часть.

3 Совместим колонки, наложив друг на друга. Если первая колонка имеет ширину меньше, чем 6 клеток, то она сдвигается вправо, а последняя – влево до боковой линии.

4 Допустим, что лист прозрачный. Тогда пустые клетки в совмещенной колонке

соответствуют простым числам ( Таблицы № 2А и2В ). Формулы вверху Таблицы № 2В для чисел f периодов от 0 и выше, формулы внизу – для чисел dпериодов от 0 и ниже. (Периоды fи d — №№ строчек ).

Таблица № 2А Таблица № 2В Периоды

_____________________________________________

!_36f+25 !_36f+19!_36f+13 !_36f+7_!_36f+1_!_36f-5_! F

___________ ______________________________________________

! х! х! х!_!_! х! !_______!_______!_______!__547__!__541__!_______! 15

! х!_! х! х! х!_! !_______!__ 523_ !_______!_______!_______!__499__! 14

! х!_! х! х! х!_! !_______!__487__!_______!_______!_______!__463__! 13

!_! х! х!_!_! х! !__457__!_______!_______!__439__!__433__!_______! 12

!_! х!_! х!_! х! !__421__!_______!__409__!_______!__397__!_______! 11

! х!_!_!_! х! х! !_______!__379__!__373__!__367__!_______!_______! 10

!_! х!_!_! х! х! !__349__!_______!__337__!__331__!_______!_______! 9

!_!_! х! х! х!_! !__313__!__307__!_______!_______!_______!__283__! 8

!_!_! х! х! х! х! !__277__!__271__!_______!_______!_______!_______! 7

!_! х!_!_! х!_! !__241__!_______!__229__!__223__!_______!__211__! 6

! х!_!_! х!_! х! !_______!__199__!__193__!_______!__181__!_______! 5

! х!_!_!_! х!_! !_______!__163__!__157__!__151__!_______!__139__! 4

! х!_! х! х!_!_! !_______!__127__!_______!_______!__109__!__103__! 3

!_! х! х!_!_!_! !___97__!_______!_______!___79__!___73__!___67__! 2

!_! х! х!_!_!_! !___61__!_______!_______!___43__!___37__!___31__! 1

! х!_!_!_!0!_! !_______!___19__!___13__!____7__!_______!____5__! 0

!_!_!_!_! х!_! !___11__!___17__!____23_!___29__!_______!___41__! 1

!_!_!_! х!_! х! !___47__!___53__!___59__!_______!___71__!_______! 2

!_!_! х!_!_!_! !___83__!___89__!_______!__101__!__107__!__113__! 3

! х! х!_!_! х!_! !_______!_______!__131__!__137__!_______!__149__! 4

! х! х!_!_!_! х! !_______!_______!___167_!__173__!__179__!_______! 5

!_!_! х! х! х! х! !__191__!__197__!_______!_______!_______!_______! 6

!_!_!_! х!_!_! !__227__!__233__!__239__!_______!__251__!__257__! 7

!_!_! х!_! х!_! !__263__!__269__!_______!__281__!_______!__293__! 8

! х! х!_!_! х! х! !_______!_______!__311__!__317__!_______!_______! 9

! х! х!_!_!_! х! !_______!_______!__347__!__353__!__359__!_______! 10

! х! х!_!_! х!_! !_______!_______!__383__!__389__!_______!__401__! 11

! х! х!_! х!_! х! !_______!_______!__419__!_______!__443__!_______! 12

!_!_! х!_!_! х! !__443__!__449__!_______!__461__!__467__!_______! 13

!_! х!_! х!_!_! !__479__!_______!__491__!_______!__503__!__509__! 14

! х!_! х! х! х! х! !_______!__521__!_______!_______!_______!_______! 15

! х!_!_!_! х! х! !_______!__557__!__563__!__569__!_______!_______! 16

!_!_!_! х! х!_! !__587__!__593__!__599__!_______!_______!__617 _! 17

_______________________________________________

!36d -25 _!36d-19_!36d-13_!_36d-7_ !_36d-1_ !_36d+5_! D

Построение Таблицы № 1

1. Числовая ось. ( Таблица № 3А)

Числовая ось — это два ряда натуральных чисел, которые идут вверх и вниз от 0 в центре таблицы. Числа на оси — номера периодов.

2. Периоды чисел. ( Таблица № 3А)

Период чисел – это одна строчка (6 клеток) в колонке. Вверх от 0 идут №№ периодов f чисел вида (6а + 1), вниз от 0 идут №№ периодов d чисел вида (6а — 1).

3. Числовые узлы. ( Таблица № 3В)

Числовые узлы — это числа d на оси, равные квадратам чисел (1 4 9 16… n^ 2).

4. Числовые цепочки. ( Таблицы № 3В и №3С)

Числовые цепочки – парные. Они симметричны относительно оси. Каждая клетка в цепочке сдвинута относительно предыдущей на 1 клетку в сторону от числовой оси, на nклеток вверх или вниз (похоже на «ход конем» в шахматах.)

а) Числовые цепочки внизу от 0 исходят из числовых узлов d. Клетки в них сдвинуты на 1 в стороны от числовой оси и на n вниз (Таблица № 3В). Параметры построения цепочек вниз от 0 приведены в Таблице № 4А

Таблица № 3

А. Числовая ось. В. Числовые узлы d = n^2 C. Числовые

Периоды чисел и числовые цепочки d’ цепочки f’

_______f___ ________ ________ _______________

!_!_!_!_!4!_! !_!_! х!_!_! !_!_! х!_!_!! х!_!_!_!3!_!_!_! х!

!_!_!_!_!3!_! !_! х!2! х!_! !_!_!5!_!_! !_! х!_!_!2!_!_! х!_!

!_!_!_!_!2!_!! х!_!3!_! х! !_! х!6! х!_! !_!_! х!_!1!_! х!_!_!

!_!_!_!_!1!_! !_!_!7!_!_! !_!_!_!_!0!_!_!_!_!

!_!_!_!_!0!_! d = 1^2! х!_!8!_! х!

!_!_!_!_!1!_! f = 1^2

!_!_!_!_!2!_! d = 2^2

!_!_!_!_!4!_!

d

b) Цепочки вверх от 0 начинаются на расстоянии 2nклеток по обе стороны от f = n^2 (клетка fпри этом отсчете выполняет роль 0) и сдвинуты на 1 клетку в стороны от оси и на nклеток вверх (Таблица № 3С)

Параметры построения цепочек от 0 и выше приведены в Таблице № 4В

Таблица № 4А.Параметры Таблица № 4В. Параметры

цепочек чисел вида (6а – 1) цепочек чисел вида (6а + 1)

(вниз от 0) (вверх от 0)

___________________________ ________________________________________

! Числовые! Колич.! Колич.!! Число! Количество! Колич,! Колич.!

! узлы! клеток! клеток в!! на оси! клеток от числа! клеток! клеток в !

!! вниз! сторону!!! на оси до! вниз! сторону !

!!!!!! начала цепочки!! !

!--------------!-----------!-----------! !-----------!-------------------- !-----------!-------------!

! 1 ^ 2= 1! 1! 1!! 1 ^ 2=!!! 1 х 2! 1! 1 !

! 2 ^ 2 = 4! 2! 1!! 2 ^2 = 4! 2 х 2! 2! 1 !

! 3 ^ 2 = 9! 3! 1!! 3 ^ 2= 9! 3 х 2! 3! 1 !

! n ^ 2! n! 1!! n ^ 2! 2n! n! 1 !

!--------------!----------!-----------! !-----------!---------------------!-----------!------------ !

Построим числовые цепочки до нужного нам числа. Все непомеченные знаком {x} клетки соответствуют простым числам. Следует предусмотреть, что запись цифр на числовой оси не является зачеркиванием клеток

Таким способом можно определить все простые числа от 5 и больше до технически возможных пределов.