Отчет по практике: Показатели надежности восстанавливаемого объекта

Лекция 13

НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ

1. Постановка задачи. Общая расчетная модель

При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространенодопущение:

  • экспоненциальное распределение наработки между отказами;
  • экспоненциальное распределение времени восстановления.

Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».

Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.

При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).

Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t вероятность состояния системы в будущем (t > t ) зависит только от состояния в настоящем (t = t ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса — прошлого).

t < t

t > t

Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.

Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.

При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S 1 , S 2 , …, S n , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.

Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:

— отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);

— отсутствуют ограничения на число восстановлений;

— если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S 1 , S 2 , …, S n .

Основные правила составления модели:

1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.

Элементы графа:

а) кружки (вершины графа S 1 , S 2 , …, S n ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;

б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj .

Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.

Примеры графа:

S – работоспособное состояние;

S 1 – состояние отказа.

«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:

— исправное состояние продолжается;

— состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).

Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S 1, S 2 , …, S n . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.

2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний

P 1 (t), P 2 (t), …, Pi (t), …, P n (t) ,

где Pi (t) – вероятность нахождения системы в момент t вi -м состоянии, т. е.

Pi ( t) = P{ S( t) = si}.

Очевидно, что для любогоt

(1)

(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S 1 , S 2 , …, S n нет).

3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:

(2)

В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t .

При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:

а) в левой части – производная по времени t от Pi (t);

б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;

в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;

г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.

Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.

4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P 1(t), Pi (t), …, P n(t) необходимо задать начальное значение вероятностей

P 1(0), Pi (0), …, P n(0), при t = 0 ,

сумма которых равна единице:

Если в начальный моментt = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi (0) = 1, а остальные равны нулю.

2. Показатели надежности восстанавливаемых систем

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

SMS – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = SKSM ,

SKSM = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в моментt

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j -м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z -м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi (t)/dt = 0, т.к. Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

(3)

и коэффициент готовности:

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4. Параметр потока отказов системы

(4)

где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

(5)

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

(6)

Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj, средняя наработка между отказами

T = kг ./ ,

где () = .

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T 0,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ T В ,

где T – средняя наработка между отказами;

T В – среднее время восстановления.

P 0(t) – вероятность работоспособного состояния при t ;

P 1 (t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

(7)

Начальные условия: при t = 0 P 0(t = 0) = P 0(0) = 1; P 1 (0) = 0, поскольку состояния S и S 1 представляют полную группу событий, то

P (t) + P 1 (t) = 1.

(8)

Выражая P 0(t) = 1 — P 1 (t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P 1 (t ):

dP 1 (t)/dt = (1 – P 1 (t)) — P 1 (t).

(9)

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi (t):

т. е. Pi (S) = L{Pi (t)} – изображение вероятности Pi (t).

Преобразование Лапласа для производной dPi (t)/dt:

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

(9)

где L{ } = L{1} = /S .

ПриP 1 (0) = 0

SP 1 (S) + P 1 (S)(+ ) = /S.

P 1 (S)( S + + ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

(10)

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{ f( t)} = 1/ S, то f( t) = 1;

L{ f( t)} = 1/( S + a), то f( t) = e- at ,

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

(11)

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 — P1(t), равна

(12)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t .

Коэффициент готовности системы kг.с… определяется при установившемся режиме t , при этом Pi (t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

dPi (t)/dt = 0.

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t алгебраические уравнения имеют вид:

(13)

Дополнительное уравнение:P0 + P 1 = 1.

Выражая P 1 = 1 — P , получаем 0 = P — (1 — P ), или = P (+ ), откуда

(14)

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

-функция готовности Г(t), функция простоя П(t)

Г (t) = P (t); П (t) = 1 — Г (t) = P 1 (t) .

параметр потока отказов (t) по (4)

(t) = P 0(t) = Г(t).

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

( t) = () = = P0 = kг.с.

ведущая функция потока отказов (t )

средняя наработка между отказами (t )

t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

Рис. 1

Анализ изменения P 0(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности (= )

/= 0 и P0(t) = 1.

2) При отсутствии восстановления (= 0)

/= и P0(t) = e-t ,

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

Система дифференциальных уравнений:

Начальные условия: P (0) = 1; P 1 (0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

После группировки:

откуда

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t :

3. Связь логической схемы надежности с графом состояний

Переход от логической схемы к графу состояний необходим:

1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;

2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.

Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).

Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .

еще рефераты
Еще работы по информатике