Отчет по практике: Показатели надежности восстанавливаемого объекта
Лекция 13
НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ
1. Постановка задачи. Общая расчетная модель
При расчете показателей надежности восстанавливаемых объектов и систем наиболее распространенодопущение:
- экспоненциальное распределение наработки между отказами;
- экспоненциальное распределение времени восстановления.
Допущение во многом справедливо, поскольку во-первых, экспоненциальное распределение наработки описывает функционирование системы на участке нормальной эксплуатации, во-вторых, экспоненциальное распределение описывает процесс без «предыстории».
Применение экспоненциального распределения для описания процесса восстановления позволяет при ординарных независимых отказах представить анализируемые системы в виде марковских систем.
При экспоненциальном распределении наработки между отказами и времени восстановления, для расчета надежности используют метод дифференциальных уравнений для вероятностей состояний (уравнений Колмогорова-Чепмена).
Случайный процесс в какой либо физической системе S, называется марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента t вероятность состояния системы в будущем (t > t ) зависит только от состояния в настоящем (t = t ) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (иначе: при фиксированном настоящем будущее не зависит от предыстории процесса — прошлого).
t < t | t > t |
Для марковского процесса «будущее» зависит от «прошлого» только через «настоящее», т. е. будущее протекание процесса зависит только от тех прошедших событий, которые повлияли на состояние процесса в настоящий момент.
Марковский процесс, как процесс без последействия, не означает полной независимости от прошлого, поскольку оно проявляется в настоящем.
При использовании метода, в общем случае, для системы S, необходимо иметь математическую модель в виде множества состояний системы S 1 , S 2 , …, S n , в которых она может находиться при отказах и восстановлениях элементов.
Для рассмотрения принципа составления модели введены допущения:
— отказавшие элементы системы (или сам рассматриваемый объект) немедленно восстанавливаются (начало восстановления совпадает с моментом отказа);
— отсутствуют ограничения на число восстановлений;
— если все потоки событий, переводящих систему (объект) из состояния в состояние, являются пуассоновскими (простейшими), то случайный процесс переходов будет марковским процессом с непрерывным временем и дискретными состояниями S 1 , S 2 , …, S n .
Основные правила составления модели:
1. Математическую модель изображают в виде графа состояний.
Элементы графа:
а) кружки (вершины графа S 1 , S 2 , …, S n ) – возможные состояния системы S, возникающие при отказах элементов;
б) стрелки – возможные направления переходов из одного состояния Si в другое Sj .
Над/под стрелками указываются интенсивности переходов.
Примеры графа:
S – работоспособное состояние;
S 1 – состояние отказа.
«Петлей» обозначаются задержки в том или ином состоянии S0 и S1 соответствующие:
— исправное состояние продолжается;
— состояние отказа продолжается (в дальнейшем петли на графах не рассматриваем).
Граф состояний отражает конечное (дискретное) число возможных состояний системы S 1, S 2 , …, S n . Каждая из вершин графа соответствует одному из состояний.
2. Для описания случайного процесса перехода состояний (отказ/ восстановление) применяют вероятности состояний
P 1 (t), P 2 (t), …, Pi (t), …, P n (t) ,
где Pi (t) – вероятность нахождения системы в момент t вi -м состоянии, т. е.
Pi ( t) = P{ S( t) = si}.
Очевидно, что для любогоt
(1) |
(нормировочное условие, поскольку иных состояний, кроме S 1 , S 2 , …, S n нет).
3. По графу состояний составляется система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (уравнений Колмогорова-Чепмена), имеющих вид:
(2) |
В общем случае, интенсивности потоков ij и ij могут зависеть от времени t .
При составлении дифференциальных уравнений пользуются простым мнемоническим правилом:
а) в левой части – производная по времени t от Pi (t);
б) число членов в правой части равно числу стрелок, соединяющих рассматриваемое состояние с другими состояниями;
в) каждый член правой части равен произведению интенсивности перехода на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка;
г) знак произведения положителен, если стрелка входит (направлена острием) в рассматриваемое состояние, и отрицателен, если стрелка выходит из него.
Проверкой правильности составления уравнений является равенство нулю суммы правых частей уравнений.
4. Чтобы решить систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний P 1(t), Pi (t), …, P n(t) необходимо задать начальное значение вероятностей
P 1(0), Pi (0), …, P n(0), при t = 0 ,
сумма которых равна единице:
Если в начальный моментt = 0 состояние системы известно, например, S(t=0) = Si, то Pi (0) = 1, а остальные равны нулю.
2. Показатели надежности восстанавливаемых систем
Все состояния системы S можно разделить на подмножества:
SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;
SMS – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.
S = SKSM ,
SKSM = 0.
1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в моментt
где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j -м состоянии;
Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z -м состоянии.
2. Функция простоя П(t) системы
3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются
Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi (t)/dt = 0, т.к. Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:
(3) |
и коэффициент готовности:
есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .
4. Параметр потока отказов системы
(4) |
где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.
5. Функция потока отказов
(5) |
6. Средняя наработка между отказами на интервале t
(6) |
Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj, средняя наработка между отказами
T = kг .с ./ ,
где () = .
В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока
= = 1/ T 0,
а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления
= 1/ T В ,
где T – средняя наработка между отказами;
T В – среднее время восстановления.
P 0(t) – вероятность работоспособного состояния при t ;
P 1 (t) – вероятность неработоспособного состояния при t.
Система дифференциальных уравнений:
(7) |
Начальные условия: при t = 0 P 0(t = 0) = P 0(0) = 1; P 1 (0) = 0, поскольку состояния S и S 1 представляют полную группу событий, то
P (t) + P 1 (t) = 1. | (8) |
Выражая P 0(t) = 1 — P 1 (t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P 1 (t ):
dP 1 (t)/dt = (1 – P 1 (t)) — P 1 (t). | (9) |
Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi (t):
т. е. Pi (S) = L{Pi (t)} – изображение вероятности Pi (t).
Преобразование Лапласа для производной dPi (t)/dt:
После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:
(9) |
где L{ } = L{1} = /S .
ПриP 1 (0) = 0
SP 1 (S) + P 1 (S)(+ ) = /S.
P 1 (S)( S + + ) = /S,
откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:
(10) |
Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:
Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:
L{ f( t)} = 1/ S, то f( t) = 1;
L{ f( t)} = 1/( S + a), то f( t) = e- at ,
вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:
(11) |
Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 — P1(t), равна
(12) |
С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t .
Коэффициент готовности системы kг.с… определяется при установившемся режиме t , при этом Pi (t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку
dPi (t)/dt = 0.
Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .
При t алгебраические уравнения имеют вид:
(13) |
Дополнительное уравнение:P0 + P 1 = 1.
Выражая P 1 = 1 — P , получаем 0 = P — (1 — P ), или = P (+ ), откуда
(14) |
Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:
-функция готовности Г(t), функция простоя П(t)
Г (t) = P (t); П (t) = 1 — Г (t) = P 1 (t) .
— параметр потока отказов (t) по (4)
(t) = P 0(t) = Г(t).
При t (стационарный установившийся режим восстановления)
( t) = () = = P0 = kг.с.
— ведущая функция потока отказов (t )
— средняя наработка между отказами (t )
t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .
На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.
Рис. 1
Анализ изменения P 0(t) позволяет сделать выводы:
1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности (= )
/= 0 и P0(t) = 1.
2) При отсутствии восстановления (= 0)
/= и P0(t) = e-t ,
и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.
Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.
Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).
В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.
Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:
Система дифференциальных уравнений:
Начальные условия: P (0) = 1; P 1 (0) = 0.
Изображение по Лапласу первого уравнения системы:
После группировки:
откуда
Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t :
3. Связь логической схемы надежности с графом состояний
Переход от логической схемы к графу состояний необходим:
1)при смене методов расчета надежности и сравнении результатов;
2) для оценки выигрыша в надежности при переходе от невосстанавливаемой системы к восстанавливаемой.
Рассмотрим типовые логические структуры надежности. Типовые соединения рассмотрены для невосстанавливаемых систем (граф – однонаправленный, переходы характеризуются ИО ).
Для восстанавливаемых систем в графах состояний добавляются обратные стрелки, соответствующие интенсивностям восстановлений .