Отчет по практике: Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики

--PAGE_BREAK--, <img width=«107» height=«28» src=«ref-1_1942633116-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">.

Властивості степеня

1) <img width=«131» height=«29» src=«ref-1_1942635886-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">

2) <img width=«100» height=«56» src=«ref-1_1942636179-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">

3) <img width=«100» height=«39» src=«ref-1_1942636513-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">;

Використовуя ці властивості, рівняння

<img width=«57» height=«24» src=«ref-1_1942636890-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">, де <img width=«144» height=«23» src=«ref-1_1942637156-569.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">,                                                          (1)

 потрібно розв’язувати так:<img width=«279» height=«31» src=«ref-1_1942637725-690.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">.

Якщо замість xу показнику степеня стоїть деяка функція f(x), тобто рівняння має вигляд

          <img width=«215» height=«29» src=«ref-1_1942638415-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">                                                     (2)

то за допомогою логарифмирования обох частин цього рівняння (це можливо, тому що обидві частини рівняння додатні), приходимо до еквівалентного рівняння

<img width=«109» height=«25» src=«ref-1_1942638952-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">.

Деякі показникові рівняння приводяться до виду (1) або (2) за допомогою рівностей          <img width=«143» height=«225» src=«ref-1_1942639363-1778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">

Приклад 1. Розв’язати рівняння

          <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1942641141-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">

          Розв’
язок: Оскільки

          <img width=«373» height=«44» src=«ref-1_1942641451-1086.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> то

          <img width=«303» height=«31» src=«ref-1_1942642537-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">

Рівняння виду

<img width=«183» height=«31» src=«ref-1_1942643337-507.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> 

рівносильно рівнянню <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1942643844-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">.

Приклад 2. Розв’язати рівняння

<img width=«104» height=«29» src=«ref-1_1942644211-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">

Розв
’
язок: Данне рівняння рівносильне рівнянню <img width=«111» height=«25» src=«ref-1_1942644538-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">. З цього данне  рівняння має два корня: <img width=«129» height=«25» src=«ref-1_1942644853-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">


Приклад 3. Розв’язати рівняння

<img width=«149» height=«25» src=«ref-1_1942645213-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

Розв
’
язок: Перепишемо данне рівняння у вигляді

<img width=«200» height=«25» src=«ref-1_1942645632-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">.

Використовуючи властивості членів пропорції, маємо

<img width=«129» height=«56» src=«ref-1_1942646120-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">

після спрощення <img width=«104» height=«25» src=«ref-1_1942646677-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> Перетворивши данне рівняння до виду <img width=«95» height=«57» src=«ref-1_1942646985-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078"> отримуємо 4-х
=0, звідки слідує, що х=4.

Розв’язування показникових рівняннь, які зводяться заміною змінних до алгебраїчного рівняння. Якщо показникове рівняння має вигляд

 <img width=«103» height=«44» src=«ref-1_1942647493-568.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">                                                                                    (3) то заміною <img width=«72» height=«32» src=«ref-1_1942648061-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> вого зводиться до рівняння виду <img width=«91» height=«33» src=«ref-1_1942648258-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"> де <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1942648582-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> — корні рівняння <img width=«67» height=«28» src=«ref-1_1942648682-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">. Так, наприклад, рівняння  <img width=«160» height=«28» src=«ref-1_1942649022-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> де <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_1942649425-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> — деякі числа, <img width=«105» height=«25» src=«ref-1_1942649646-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086"> зводиться до розв’язування рівносильної йому совокупності рівняннь <img width=«123» height=«29» src=«ref-1_1942649955-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> — де <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1942650246-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">-корні рівняння  <img width=«139» height=«29» src=«ref-1_1942650440-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">

Приклад 4. Розв’язати рівняння

<img width=«232» height=«29» src=«ref-1_1942650811-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">

Розв
’
язок: Позначимо <img width=«107» height=«35» src=«ref-1_1942651361-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> і роблячи заміну змінних, отримуємо квадратне рівняння

<img width=«127» height=«47» src=«ref-1_1942651679-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">

корнями якого будуть <img width=«124» height=«47» src=«ref-1_1942652158-417.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> Таким чином розв’язання данного рівняння звелося до розв’язування рівнянь

          <img width=«243» height=«47» src=«ref-1_1942652575-623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

Друге рівняння розв’язків не має, тому що <img width=«104» height=«29» src=«ref-1_1942653198-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">при всіх допустимих значеннях х. З першого рівняння отримуємо

          <img width=«127» height=«29» src=«ref-1_1942653544-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">

          <img width=«123» height=«29» src=«ref-1_1942653886-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> , підносимо обидві частини рівняння у квадрат маємо <img width=«132» height=«20» src=«ref-1_1942654217-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">. Приведемо подібні члени, отримуємо єдиний корінь <img width=«41» height=«41» src=«ref-1_1942654434-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">. Перевіркою переконуємося, що цей корінь задовольняє початковому рівнянню.

Показникові рівняння, основи степенів яких є послідовними членами геометричної прогресії, а показники степеня однакові, приводяться до рівнянь виду (3) діленням на будь-який з крайніх членів.

Приклад 5. Розв’язати рівняння

<img width=«167» height=«20» src=«ref-1_1942654582-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">

Розв
’
язок:Розділіим обидві частини рівняння на <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_1942654839-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">. Маємо

<img width=«176» height=«53» src=«ref-1_1942654937-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">

Позначаючи <img width=«72» height=«53» src=«ref-1_1942655414-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> і виконуючи заміну змінних, отримуємо рівняння  <img width=«120» height=«24» src=«ref-1_1942655669-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> коренями якого будуть <img width=«104» height=«41» src=«ref-1_1942655906-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105"> Таким чином розв’язок рівняння зводиться до розв’язування двох простіших показникових рівнянь

<img width=«160» height=«49» src=«ref-1_1942656156-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> Відповідь: <img width=«99» height=«21» src=«ref-1_1942656588-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">

Рівняння виду <img width=«204» height=«39» src=«ref-1_1942656767-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">, де <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1942657477-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">-дійсні числа, а основи aтаbє взаємооберненими додатніми числами (ab
=1), можна розв’язувати слідуючим чином. Ввести змінну <img width=«68» height=«27» src=«ref-1_1942657686-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110"> та, використовуючи рівність (ab
=1), перейти від рівняння <img width=«204» height=«39» src=«ref-1_1942656767-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> до рівняння <img width=«123» height=«29» src=«ref-1_1942658579-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">

 Тоді рівняння <img width=«204» height=«39» src=«ref-1_1942656767-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> буде рівносильно совокупності двох показникових рівнянь: <img width=«160» height=«32» src=«ref-1_1942659621-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> де <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1942660023-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> — корні рівняння  <img width=«123» height=«29» src=«ref-1_1942658579-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">, якщо це рівняння немає розв’язків, то і рівняння <img width=«204» height=«39» src=«ref-1_1942656767-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117"> також не має розв’язків.

          Рівняння виду <img width=«189» height=«37» src=«ref-1_1942661248-833.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> де <img width=«136» height=«28» src=«ref-1_1942662081-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">функції невідомого х, називаються степенево-показниковими рівняннями. Еквівалентні цьому рівнянню <img width=«40» height=«28» src=«ref-1_1942662688-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">=1 та системі <img width=«104» height=«59» src=«ref-1_1942662949-774.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> Тобто розв’язуються слідуючим чином:

1.   Перевіряємо, чи не будуть для <img width=«40» height=«28» src=«ref-1_1942662688-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">>0корні рівняння <img width=«40» height=«28» src=«ref-1_1942662688-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">=1 корнями рівняння <img width=«175» height=«35» src=«ref-1_1942664245-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">;

2.   Перевіряємо, якщо при <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1942664928-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">, функції <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1942665207-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">, <img width=«35» height=«25» src=«ref-1_1942665443-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127"> одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1942664928-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">, будуть і корнями рівняння <img width=«175» height=«35» src=«ref-1_1942664245-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">.

3.   Тоді для <img width=«79» height=«59» src=«ref-1_1942666638-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130"> рівняння <img width=«175» height=«35» src=«ref-1_1942664245-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131"> еквівалентно рівнянню <img width=«95» height=«28» src=«ref-1_1942667950-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">

Приклад 6. Розв’язати рівняння

<img width=«213» height=«45» src=«ref-1_1942668413-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">

Розв
’
язок:<img width=«97» height=«28» src=«ref-1_1942669068-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">

1) Знаходимо корніпочаткового рівняння серед розв’язків рівняння

          <img width=«280» height=«35» src=«ref-1_1942669549-935.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">

Перевіркою переконаємось, що х=0 належить області допустимих значень та зодовольняє початковому рівнянню, тобто є коренем рівняння.

2) Для <img width=«97» height=«60» src=«ref-1_1942670484-596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> данне рівняння еквівалентно рівнянню

<img width=«231» height=«35» src=«ref-1_1942671080-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">

Отримуємо невірну числову рівність. Це говорить про те, що у данному випадку рівняння не має розв’язків.

Відповідь: х=0.

Приклад 7: Розв’язати рівняння  <img width=«185» height=«33» src=«ref-1_1942671829-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">.

Розв
’
язок:<img width=«92» height=«25» src=«ref-1_1942672330-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

1) x-2=1 Û<img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1942672697-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">. Бачимо, що <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1942672827-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141"><img width=«55» height=«25» src=«ref-1_1942672923-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">і задовільняє даному рівнянню, тобто є його коренем.

2) <img width=«73» height=«16» src=«ref-1_1942673185-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> Û<img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1942673324-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">. Перевіряємо значення <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1942673453-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> при <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1942673324-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, <img width=«104» height=«28» src=«ref-1_1942673924-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">, <img width=«111» height=«25» src=«ref-1_1942674262-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">;                                    <img width=«109» height=«25» src=«ref-1_1942674589-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">, <img width=«139» height=«25» src=«ref-1_1942674933-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">. Отримали, що функції набувають одночасно непарні значення. Тобто <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1942673324-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> є коренем рівняння.

3) для <img width=«79» height=«52» src=«ref-1_1942675422-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> початкове рівняння еквівалентно рівнянню

<img width=«372» height=«52» src=«ref-1_1942675709-967.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">

Відповідь: <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_1942676676-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">

Тобто коренями рівняння  <img width=«181» height=«36» src=«ref-1_1942676950-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> вважаються тільки розв’язки змішаної системи <img width=«95» height=«81» src=«ref-1_1942677655-768.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">,

і ті значення х, для яких <img width=«39» height=«28» src=«ref-1_1942678423-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">=1, якщо при цих значеннях визначені <img width=«40» height=«28» src=«ref-1_1942678715-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> та <img width=«40» height=«28» src=«ref-1_1942679023-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">, та додатково перевіряють, якщо при <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1942664928-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">, функції <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1942665207-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, <img width=«35» height=«25» src=«ref-1_1942665443-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> одночасно дорівнюють або парному, або непарному числу, то корні рівняння <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1942664928-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">, будуть і корнями рівняння <img width=«175» height=«35» src=«ref-1_1942664245-683.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">.Функція виду <img width=«81» height=«37» src=«ref-1_1942681046-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">визначена тільки при  <img width=«39» height=«28» src=«ref-1_1942678423-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">>0, тому те значення  х, яке формально задовольняє рівності <img width=«181» height=«36» src=«ref-1_1942676950-705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> але при яких  <img width=«39» height=«28» src=«ref-1_1942678423-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"><img width=«29» height=«17» src=«ref-1_1942682849-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, не прийнято считать корнями рівняння <img width=«181» height=«37» src=«ref-1_1942683039-886.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">.


Деякі спеціальні методи розв’язування показникових рівнянь. Деякі  рівняння зводяться до розглянутих вище, якщо перетворити окреми їх елементи, використавши основне логарифмічне тождество.

Приклад 8. Розв’язати рівняння

<img width=«168» height=«41» src=«ref-1_1942683925-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

Розв
’
язок:Перетворимо другий доданок у лівій частині рівняння:

<img width=«241» height=«44» src=«ref-1_1942684459-755.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">                  

Підставляючи одержаний вираз в початкове рівняння, отримаємо

          <img width=«121» height=«29» src=«ref-1_1942685214-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">                                          

Рівняння <img width=«121» height=«29» src=«ref-1_1942685214-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> еквівалентно рівнянню <img width=«83» height=«31» src=«ref-1_1942686118-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> яке в свою чергу еквівалентно двом рівнянням

          <img width=«196» height=«25» src=«ref-1_1942686493-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

Розв’язуючи останні рівняння, отримуємо <img width=«111» height=«47» src=«ref-1_1942687012-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

Відповідь: <img width=«111» height=«47» src=«ref-1_1942687012-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">

Деякі рівняння, які містять невідоме у показнику степеня, вдається розв’язати за допомогою дослідження функції, які входять до до лівої та правої частини рівняння. Монотонність функції часто дозволяє визначити число коренів рівняння, а іноді і знайти значення.

Приклад 9. Розв’язати рівняння

<img width=«103» height=«25» src=«ref-1_1942687826-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

Розв
’
язок:Корінь x=5 може бути знайденим підбором. Інших розв’язків рівняння не має, так як функція <img width=«95» height=«32» src=«ref-1_1942688125-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> монотонно спадає, а <img width=«95» height=«28» src=«ref-1_1942688495-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> монотонно зростає, тобто графіки цих функцій можуть перетинатися не більше ніж один раз.

Тобто графічним способом не важко знайти наближенні розв’язки рівннянь такого виду <img width=«100» height=«32» src=«ref-1_1942688867-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">. Знання графиків функції <img width=«73» height=«31» src=«ref-1_1942689327-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> та <img width=«73» height=«28» src=«ref-1_1942689633-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> не рідко дозволяє визначити число розв’язків рівняння та їх наближені, а іноді і точні значення.


Означення:Нерівності, де хоча б одна з функцій показникова, називаються  показниковими нерівностями.

Розв’язування найпростійших показникових нерівностей базується на використанні властивостей монотонності показникової функції.

Розглянемо розв’язання найпростійших показникових нерівностей.

1. Нерівність <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1942689999-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, де <img width=«41» height=«16» src=«ref-1_1942690129-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">    продолжение
--PAGE_BREAK--