Практическая работа: Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональн

--PAGE_BREAK--4
. Оптимальное сочетание форм организации познавательной

деятельности.
Любая форма учебно-понавательной деятельности имеет свои преимущества и недостатки, выбор той или иной формы обусловлен рядом обстоятельств. В частности, необходимо учитывать специфику изучаемого предмета, его сложность, материал может иметь разную сложность, разную новизну. Трудный материал, обладающий большой степенью новизны на первом этапе, требует фронтальная работы, где главная роль в изложении принадлежит учителю. Подготовленность учащихся и их индивидуальные особенности, квалификация учителя- всё это влияет на выбор той или иной формы организации деятельности учащихся. Сочетание различных форм многовариантно. Оно осуществляется либо последовательно, когда одна форма следует за другой, либо параллельно, когда сочетание протекает одновременно и формы работы входят одна в другую.

Как показывает опыт и множество экспериментов, проведённых различными педагогами, сочетание форм организации деятельности следует применять, идя от сочетания простых, к более сложным, учитывая возраст учащихся, специфику предмета. Для определения оптимального варианта организации деятельности необходимо знать, как влияет конкретная форма на эффективность учебной деятельности различных групп учащихся. «Такое сочетание форм  учебной работы, при котором нейтрализуются  недостатки одних и обеспечивается более высокая результативность других при минимальных затратах времени, является оптимальным». (Чередов И.М. «Методика планирования школьных форм организации обучения»).

«Оптимальным вариантом сочетания коллективной, групповой и индивидуальной форм работы учащихся будет тот, который в соответствии с дидактической целью и спецификой учебного материала создаёт наилучшие условия для обучения и воспитания». (Виноградова М.Д., Первин И.В. «Коллективная  познавательная деятельность и воспитание школьников»).

Выбор формы зависит от многих факторов, но в большей степени от этапа в процессе обучения. Педагоги, которые занимаются этим вопросом, выявили некоторые закономерности и разработали рекомендации по выбору оптимального сочетания форм работы учеников на уроке.
При ознакомлении с новым материалом:



Специфика учебного материала.

Метод учебной работы.

Форма учебной работы.

Материал лёгкий, доступный для самостоятельного обучения.

Самостоятельная работа с учебником, книгой.



И+Ф



Материал труден некоторым учащимся или доступен, но велик по объёму.

Объяснение, беседа, самостоятельная работа.



Ф+Г

Материал трудный или велик по объёму, или неполно освещён в учебнике.

Объяснение, рассказ, лекции, демонстрация.


Ф+И+Ф или Ф+Г+Ф


При закреплении и применении знаний:



Материал лёгкий, доступный для самостоятельного обучения.

Самостоятельная работа, упражнения, лабораторная или практическая работа.



И+Ф

Материал представляет трудность для отдельных учеников.

Самостоятельная работа, лаборатор., практические занятия.



И+Г или Г+Ф

Материал трдный, усвоение требует постоянного руководства учителя.

Упражнения с коментариями, объяснение.



Ф+Г+Ф или Ф+И+Ф



 

При опросе и проверке знаний:



Материал хорошо усвоен всеми учащимися класса.

Фронтальный опрос, общеклассная контрольная работа.



Ф

Материал недостаточно усвоен отдельными учениками.

Самостоятельная работа по вариантам с учётом уровня знаний.



Г+Ф

Материал сложен, большой по объёму, требует глубокого осмысления, анализа, синтеза.

Индивидуальный опрос с его коллективным обсуждением.



И+Ф


Конечно, эти рекомендации не являются идеальными для всех случаев, они требуют определённой корректировки и доработки в конкретных условиях, на конкретном уроке и предмете.
Выводы по 1-й главе:
В первой главе дипломной работы исследуется теоретическая сторона данной проблемы, характеризуется самостоятельная работа учащихся, другие формы организации познавательной деятельности, раскрывается история развития форм обучения с древнейших времён до наших дней. Существуют три основные формы организации учебно-познавательной деятельности учащихся на уроке: индивидуальная (самостоятельная работа учащихся), фронтальная и групповая. Каждая форма имеет свои недостатки и преимущества, поэтому, планируя урок, учитель должен подбирать сочетание форм так, чтобы усилить сильные и нейтрализовать слабые стороны каждой формы.
ГЛАВА II.
АНАЛИЗ ОПЫТНО- ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ПРИМЕНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ И ДРУГИХ ФОРМ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЯХ В ВЫПУСКНЫХ КЛАССАХ.
1. Изучение учебных возможностей учащихся. Методика проведения факультативных занятий.


Для проведения эксперимента необходим предварительный анализ коллектива, в котором  будет проходить эксперимент, и того, который будет являться контрольным. В данном случае опытная работа проводилась в выпускных классах средней школы №9 г. Куйбышева НСО. На факультатив учащиеся записывались по желанию. Записалось 18 человек. Это те ребята, которые собираются поступать в ВУЗы и на вступительных экзаменах должны сдавать математику. Была определена цель факультативных занятий: подготовка к экзаменам в ВУЗы.

Для изучения учебных возможностей учащихся проводился констатирующий эксперимент. Он включает в себя разнообразные методы исследования. В частности проводилось наблюдение за работой каждого учащегося на уроках алгебры, изучение письменных работ по предмету, беседы с учащимися и учителем, самостоятельная работа.

Учебные возможности складываются из обучаемости и работоспособности каждого учащегося.

Обучаемость- способность ученика за более короткий срок  достигать более высокого уровня знаний. Обучаемость зависит от знаний, которыми ученик уже обладает, от продуктивности и ёмкости мышления.

Выделяют следующие уровни обучаемости учащихся:

Высокий уровень— ребята свободно усваивают изучаемый материал, выделяют существенное, в частном видят общее, закономерное, способны самостоятельно развивать раскрытые на уроке положения, легко переносят знания в новые ситуации, достигают высокого уровня знаний за самое короткое время.

Средний уровень— изучаемый материал усваивают после тренировки; выделяют существенное, закономерное не сразу, а после выполнения определённых тренировочных упражнений, такие ученики умеют в частном видеть общее.

Низкий уровень— усваивают материал после длительной тренировочной работы и не всегда в полном объёме, затрудняются видеть существенное, закономерное после общей тренировочной работы со всем классом, задания выполняют преимущественно по аналогии.

Работоспособность ученика — состояние, характеризующее уровень и длительность доступных ему усилий в учебной деятельности. Работоспособность зависит от физических и психологических возможностей ученика, от состояния его здоровья, эмоционального состояния в данный момент, настроя на работу.

Также как и у обучаемости, у работоспособности выделяют три уровня:

Высокий уровень— учащийся способен на сравнительно длинный, напряжённый учебный труд, выполняет всё тщательно, аккуратно, в полном объёме, без побуждения учителя.

Средний уровень— учащиеся способны трудиться сравнительно длительное время, но не всегда и не всё выполняют тщательно, аккуратно и в полном объёме, временами требуют контроля.

Низкий уровень— учащиеся сосредотачиваются на учебной работе только на весьма ограниченное время, выполняют задание не в полном объёме, требуют постоянного контроля учителя.

Всего существуют 4 основных уровня учебных возможностей: высший, высокий, средний, низкий.

Среди ребят, записавшихся на факультатив, определение уровня учебных возможностей проводилось по итогам наблюдений, ранее проведённых уроков, бесед с учителем, основываясь на теорию. На 1-ом занятии факультатива была проведена самостоятельная работа на повторение на 2 варианта.

Результаты её следующие:



Фамилия уч-ся

С/р

Уровень уч. возм.

1. Афанасьева И.

4

В

2. Бондаренко А.

3

С

3. Горина О.

5

ВС

4. Галкин А.

4

В

5. Карелин Е.

4

С

6. Ковалёва Н.

4

В

7. Круглова С.

5

ВС

8. Марченко Н.

3

С

9. Михалечко А.

5

ВС

10. Михалечко И.

4

В

11. Носов Д.

3

С

12. Пивкина Д.

4

В

13. Рыжкова С.

4

С

14. Соколова Н.

3

С

15. Семёнов Д.

4

В

16. Хафизова Я.

5

ВС

17. Экмарова Д.

5

В

18. Ясиновский О.

4

С


В целом результаты определения уровня учебных возможностей оказались высокие:

высшие учебные возможности — 4 ученика,

высокие учебные возможности — 7 учеников,

средние учебные возможности — 7 учеников.

Это объясняется тем, что на факультатив пришли ребята, заинтересованные в изучении предмета, имеющие хорошие знания и высокие оценки.        По уровню учебных возможностей ребята на первом занятии были разбиты на 2 группы для проведения эксперимента. Учитывалось также желание учащихся.



1 группа (экспериментальная)

2 группа (контрольная)

1. Афанасьева И.

1. Ковалёва Н.

2. Галкин А.

2. Пивкина Е.

3. Михалечко А.

3. Экмаров Д.

4. Михалечко И.

4. Хафизова Я.

5. Семёнов Д.

5. Круглова С.

6. Горина О.

6. Марченко Н.

7. Ясиновский О.

7. Носов Д.

8. Бондаренко А.

8. Рыжкова С.

9. Карелин Е.

9. Соколова Н.

 
Получились примерно равные по учебным возможностям группы.

Задачей эксперимента было построение факультативных занятий так, чтобы у учащихся не пропал интерес, а наоборот ещё больше повысился к предмету; помочь ребятам углубить и расширить знания по алгебре; активизировать самостоятельную работу учеников с книгами, дополнительной литературой. Показать, что построение факультативных занятий по принципу сочетания самостоятельной работы с другими формами организации познавательной деятельности способствует выполнению этой задачи.

Опытно- экспериментальная работа проводилась в 1 группе, 2 группа была контрольной. Все ребята посещали одни и те же занятия, изучали один и тот же материал на уроках. Но ребята из 1 группы в качестве домашнего задания получали задания самостоятельно изучить новую тему, написать доклады, найти и прорешать примеры на эту тему. На занятиях эти ребята читали доклады, объясняли решённые примеры. Непонятные места разбирались вместе всем классом и учителем у доски. Ребята из 2 группы изучали новую тему, слушая доклады и объяснения своих товарищей, затем  все учащиеся решали одни задания, а на дом учащиеся второй группы получали задания повторить пройденное на уроке, прорешать заданные примеры по теме. По такому принципу были проведены 8 занятий. В конце была проведена итоговая контрольная работа.
2. Результаты опытно-экспериментальной работы.
В ходе опытно-экспериментальной работы была проверена и подтверждена гипотеза, выдвинутая в начале работы над данной темой.

Для ребят из экспериментальной группы факультатив проходил гораздо интереснее, чем для ребят из контрольной группы. Учащиеся  из 1 группы более активно работали  в течение всех занятий, старались находить как можно больше интересных примеров, с большой ответственностью подходили к выполнению домашних заданий, т. к. знали, что от их ответов зависит ход всего занятия. Повышение активности учащихся в экспериментальной группе, повышение интереса к предмету — всё это подтверждает выдвинутую нами гипотезу.

В экспериментальной группе ребята продуктивнее работали, нежели в контрольной группе, быстрее справлялись с заданиями, у них меньше возникало вопросов и затруднений при решении задач, у учащихся 1 группы появилась большая уверенность в себе.

В конце факультативных занятий была проведена в обеих группах контрольная работа. Задания для всех были одинаковы, рассчитаны на 2  варианта. Результаты контрольной работы следующие:



1 группа

Оценка

2 группа

Оценка

1. Афанасьева И.

5

1. Ковалёва Н.

4

2. Галкин А.

4

2. Пивкина Е.

5

3. Михалечко А.

5

3. Экмаров Д.

4

4. Михалечко И.

4

4. Хафизова Я.

5

5. Семёнов Д.

5

5. Круглова С.

5

6. Горина О.

5

6. Марченко Н.

3

7. Ясиновский О.

3

7. Носов Д.

3

8. Бондаренко А.

3

8. Рыжкова С.

3

9. Карелин Е.

4

9. Соколова Н.

4

В экспериментальной группе «5» получили 4 ученика, «4»- 3, «3»- 2,  в контрольной «5»- 3, «4»- 3, «3»- 3. Результаты данной контрольной работы показали, что в экспериментальной группе ребята справились с заданием лучше, чем в контрольной.

Результаты опытно-экспериментальной работы показывают, что применение самостоятельной работы на занятиях способствуют лучшему усвоению знаний, повышает активность ребят, интерес к данному предмету.
Выводы по 2 главе.
Во 2 главе давался анализ опытно- экспериментальной работе, проведённой на факультативных занятиях в выпускных классах средней школы №9 г. Куйбышева НСО. Первым этапом этой работы было выявление учебных возможностей учеников. В данной главе рассказано о том, как были построены занятия на факультативе. Во второй главе приводятся результаты опытно-экспериментальной работы, которые подтверждают выдвинутую нами рабочую гипотезу о том, что самостоятельная работа учащихся является одной из эффективнейших форм обучения, способствует лучшему усвоению знаний, развитию навыков и умений по применению этих знаний, повышает уровень активности учащихся.
    продолжение
--PAGE_BREAK--ГЛАВА
III
.  ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
1. Краткие исторические сведения
          Потребность в действиях возведения в степень и извлечения корня была вызвана, как и другие четыре арифметические действия, практической жизнью. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026"> известна, с давних времен встречалась обратная задача: какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">?

Еще 4000 лет назад вавилонские ученые составляли наряду с таблицами умножения и таблицами обратных величин таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел? При этом они умели находить приближенное значение квадратного корня из любого целого числа. Вавилонский метод извлечения квадратного корня можно иллюстрировать на следующем примере, изложенном в одной из найденных при раскопках клинописных табличек:  Найти квадратный корень из 1700.

Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых:

<img width=«275» height=«28» src=«ref-1_295049078-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">,

первое из которых является полным квадратом. Затем указывается, что
<img width=«248» height=«56» src=«ref-1_295049528-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">       
          Правило, применявшееся вавилонянами, может быть выражено так: чтобы извлечь корень из числа <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295050039-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">, разлагают его на сумму <img width=«55» height=«27» src=«ref-1_295050238-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"> (<img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">должно быть достаточно малым в сравнении с <img width=«23» height=«27» src=«ref-1_295050703-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">) и вычисляют по приближенной формуле:
<img width=«207» height=«55» src=«ref-1_295050920-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">
          Вавилонский метод извлечения квадратного корня был заимствован греками. Так, например, у Герона Александрийского находим:
<img width=«320» height=«56» src=«ref-1_295051416-673.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">
          Для обозначения высших степеней употреблялись позже составные выражения «биквадрат» или «квадрато-квадрат» для четвертой степени, или «кубоквадрат» для пятой и т.д. Современные названия предложены голландским ученым С.Стевином (1548-1620), который обозначал степени в виде 2, 3 и т.д. Он же начал систематически употреблять дробные показатели степени для обозначения корней.

          В настоящее время для извлечения корня употребляется два обозначения: знак радикала и дробные показатели. Предпочтительнее использовать обозначения со знаком радикала — обозначения с дробными показателями являются скорее данью традиции. Степени с отрицательными показателями ввел английский математик Д.Уоллис.

          Неравенства встречаются в математике еще в глубокой ревности. Рассмотрим некоторые из них.

1. Среднее геометрическое двух положительных чисел <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295052089-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">меньше их среднего арифметического (Евклид).

2. Архимед установил неравенства
<img width=«157» height=«56» src=«ref-1_295052344-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">
          3. Если <img width=«23» height=«27» src=«ref-1_295050703-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037"> — наибольший квадрат, содержащийся в числе, а <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295053101-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038"> — остаток, то

<img width=«163» height=«56» src=«ref-1_295053297-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> при <img width=«81» height=«28» src=«ref-1_295053727-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">

<img width=«292» height=«56» src=«ref-1_295053998-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> при <img width=«113» height=«28» src=«ref-1_295054619-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">
(Аль-Кальсади, Трактат «Раскрытие тайн науки Габар», XVвек).

          Дальнейшие обобщения натуральных, целых, рациональных и т.д. чисел привели к понятию алгебраической системы, в частности, к понятию кольца и поля. Так, иррациональные числа с алгебраической точки зрения являются элементами поля <img width=«25» height=«28» src=«ref-1_295054938-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">, они не содержатся в поле <img width=«27» height=«33» src=«ref-1_295055151-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">, и поле <img width=«25» height=«28» src=«ref-1_295054938-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">является расширением поля <img width=«27» height=«33» src=«ref-1_295055151-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">.
2. Неравенства и их основные свойства
          Мы будем рассматривать положительные, отрицательные действительные числа и число <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295055828-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">. Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную вправо и числа на ней.
          При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в порядке их возрастания. Ясно, что <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295056026-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">. Но <img width=«83» height=«28» src=«ref-1_295056282-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">, так как точка, изображающая <img width=«36» height=«28» src=«ref-1_295056555-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">, расположена правее точки, изображающей <img width=«35» height=«28» src=«ref-1_295056775-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">. Таким образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения неравенства:

          Пусть <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">и<img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> — какие-нибудь два действительных числа, изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева направо. Тогда <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054"> в том и только том случае, когда точка, изображающая число <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">, лежит правее точки, изображающей число <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">.

          Это геометрическое правило можно заменить простым арифметическим правилом, если принять понятие положительного числа за основное:

          Пусть <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">и <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> — какие-нибудь два действительных числа. Тогда <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">в том и только том случае, когда <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295058725-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">положительно. В частности всякое положительное число больше нуля, ибо разность <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_295058962-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">положительна. Поэтому неравенство <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295059223-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">употребляется для символической записи утверждения, что число <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">положительно. Отрицательное число определяется как число, противоположное положительному числу относительно точки <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295055828-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">на числовой прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">отрицательно, то <img width=«99» height=«28» src=«ref-1_295060058-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">положительно. Запись <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295060327-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">употребляется для обозначения утверждения, что <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">отрицательное число.

          Число нуль обладает тем свойством, что <img width=«88» height=«28» src=«ref-1_295060761-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">для любого действительного числа <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">.

          Итак, числа <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">и <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">могут относиться друг к другу следующим образом:

          1). <img width=«156» height=«28» src=«ref-1_295061637-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

          2). <img width=«159» height=«28» src=«ref-1_295061990-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">

          3). <img width=«159» height=«28» src=«ref-1_295062322-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

          Причем всегда имеет место одно и только одно из этих соотношений.

          Рассмотрим теперь основные свойства неравенств.
Теорема 1.  Если и <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295062643-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">, то <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295062891-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">.

          Это свойство называется свойством транзитивности неравенств.

          В самом деле,

<img width=«236» height=«35» src=«ref-1_295063129-480.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование свойства транзитивности: точка <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">на числовой прямой расположена левее точки <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, а точка <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">левее точки <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295050039-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">, при этих условиях точка <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> расположена левее точки  <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295050039-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">. 
Теорема 2.  Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">, то <img width=«79» height=«28» src=«ref-1_295065080-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">, т.е. при изменении знака обеих частей неравенства смысл знака неравенства меняется на обратный.

          Действительно,

<img width=«2» height=«40» src=«ref-1_295065337-157.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028"><img width=«267» height=«35» src=«ref-1_295065494-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">

          Следовательно, по определению <img width=«79» height=«28» src=«ref-1_295065969-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">.

          Геометрическая иллюстрация:
Теорема 3. Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">и <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295066478-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">, то <img width=«103» height=«28» src=«ref-1_295066711-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, т.е. обе части неравенства можно умножить  на положительное число.

          Действительно,

<img width=«204» height=«35» src=«ref-1_295067001-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">

Но <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_295067405-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">и <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295066478-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">. Следовательно, <img width=«121» height=«35» src=«ref-1_295067908-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">. Итак, <img width=«129» height=«28» src=«ref-1_295068246-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, т.е. <img width=«103» height=«28» src=«ref-1_295068569-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">, что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">и <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295069116-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, то <img width=«103» height=«28» src=«ref-1_295069349-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">, т.е. при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

          Действительно,

<img width=«229» height=«35» src=«ref-1_295069645-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">.

Но <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_295067405-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">, <img width=«152» height=«28» src=«ref-1_295070359-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">, следовательно, и <img width=«133» height=«28» src=«ref-1_295070679-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">, т.е. <img width=«103» height=«28» src=«ref-1_295071000-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">.
Теорема 5.  Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">и <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295071553-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">, то <img width=«103» height=«28» src=«ref-1_295071779-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">, т.е. при умножении обеих частей неравенства на нуль неравенство переходит в равенство.

          Действительно,

<img width=«340» height=«35» src=«ref-1_295072055-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">
Теорема 6.  Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">и <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295050039-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">  — произвольное число, то <img width=«117» height=«28» src=«ref-1_295073060-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">, т.е. к обеим частям неравенства можно прибавить произвольное число.

          Действительно, <img width=«85» height=«28» src=«ref-1_295073352-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">, где <img width=«51» height=«28» src=«ref-1_295073633-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">. Следовательно, <img width=«261» height=«35» src=«ref-1_295073869-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">, а так как <img width=«51» height=«28» src=«ref-1_295073633-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">, имеем: <img width=«117» height=«28» src=«ref-1_295073060-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">.
Теорема 7.  Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295059223-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">, <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295075091-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">и <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">, то <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_295075590-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">. Предварительно напомним, что <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_295075866-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">есть обратное число, т.е. такое, что <img width=«83» height=«31» src=«ref-1_295076077-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">. Имеем <img width=«80» height=«28» src=«ref-1_295076343-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">. Но, с другой стороны,

<img width=«12» height=«21» src=«ref-1_295076614-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"><img width=«224» height=«32» src=«ref-1_295076783-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">

Следовательно, и <img width=«96» height=«31» src=«ref-1_295077244-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">, так как, если произведение и один из множителей положительны, то и другой множитель положителен. Значит <img width=«64» height=«27» src=«ref-1_295077547-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">. <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_295077826-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

 Теорема 8.  Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295077997-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">, то <img width=«55» height=«31» src=«ref-1_295078234-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">, т.е. квадрат любого отличного от нуля числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и отрицательных чисел.
Теорема 9.  Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">и <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295078741-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> , то <img width=«121» height=«28» src=«ref-1_295078993-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">, т.е. два неравенства одинакового смысла можно сложить.

          Имеем  <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_295079315-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">, <img width=«88» height=«33» src=«ref-1_295079597-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">  , где <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295079886-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">и <img width=«53» height=«33» src=«ref-1_295080123-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">. Следовательно,
<img width=«369» height=«40» src=«ref-1_295080371-697.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

или

<img width=«207» height=«36» src=«ref-1_295081068-453.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">
где <img width=«85» height=«33» src=«ref-1_295081521-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, что и требовалось доказать.
Теорема 10.  Если <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295081798-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">и <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295082051-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">, то <img width=«120» height=«28» src=«ref-1_295082301-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">. Как легко показать, разность <img width=«141» height=«35» src=«ref-1_295082608-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> положительна.
Теорема 11.  (о перемножении неравенств)

Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"><img width=«12» height=«21» src=«ref-1_295076614-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">, <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295078741-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">и <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295050039-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> и <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> положительны, то <img width=«108» height=«28» src=«ref-1_295084066-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, т.е. обе части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство того же смысла, больший член которого положителен.

          Имеем последовательно:

<img width=«540» height=«35» src=«ref-1_295084377-739.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">

Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и требовалось доказать.
Теорема 12.  (о делении неравенств)

Если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">, <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295082051-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">, <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">, <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295050039-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">  — положительны, то <img width=«63» height=«56» src=«ref-1_295086228-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">  .

Действительно, здесь <img width=«65» height=«27» src=«ref-1_295086557-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">, и, на основании теоремы о перемножении неравенств, имеем  <img width=«109» height=«31» src=«ref-1_295086827-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> , что и требовалось доказать.
Теорема 13.  Если <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> — четное число, <img width=«80» height=«29» src=«ref-1_295087357-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">, а<img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295077997-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">, то<img width=«55» height=«31» src=«ref-1_295087876-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">,т.е. четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.

          Теорема вытекает из положений, что <img width=«89» height=«40» src=«ref-1_295088127-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> и <img width=«55» height=«31» src=«ref-1_295078234-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">.
Теорема 14.  Если <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> — нечетное число,   <img width=«113» height=«28» src=«ref-1_295088939-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> и <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295089246-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, то <img width=«53» height=«31» src=«ref-1_295089491-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">, т.е. отрицательное число в нечетной степени отрицательно.

Теорема вытекает из следующих соотношений: <img width=«87» height=«27» src=«ref-1_295089746-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">и <img width=«64» height=«31» src=«ref-1_295090051-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Теорема 15.  Если  <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> — нечетное число, <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">и <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> — положительно, а <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295090981-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">-  отрицательно, то <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_295091188-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">. Из предыдущего видно, что <img width=«55» height=«31» src=«ref-1_295087876-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">, а <img width=«53» height=«31» src=«ref-1_295089491-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, откуда <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_295091188-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">.
Теорема 16.  Если числа <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">и <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295048870-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">положительны и <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">, то <img width=«79» height=«33» src=«ref-1_295092909-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">, где <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> — целое положительное число.

          Действительно, если предположить, что <img width=«79» height=«33» src=«ref-1_295093441-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> , то возведя обе части неравенства в степень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">. получим <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295093976-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">, т.е. придем к противоречию.
Теорема 17.  Если <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_295094229-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">, то <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_295091188-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">, где <img width=«59» height=«67» src=«ref-1_295094789-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">  — произвольное положительное рациональное число.

          В самом деле, из <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295057399-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">имеем <img width=«57» height=«27» src=«ref-1_295095342-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> и дальше <img width=«85» height=«33» src=«ref-1_295095627-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">.
          Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две функции <img width=«53» height=«36» src=«ref-1_295095983-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> и <img width=«51» height=«36» src=«ref-1_295096263-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">. Если поставить между ними один из знаков неравенства (>,<, <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_295096546-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">,<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_295096740-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">), получим условное неравенство. В дальнейшем такие условные неравенства мы будем называть просто неравенства.

Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ) неравенства <img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> называется множество таких значений <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, при которых и функция <img width=«56» height=«36» src=«ref-1_295097517-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">, и функция <img width=«51» height=«36» src=«ref-1_295096263-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">определены. Иными словами, ОДЗ неравенства <img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> — это пересечение ОДЗ функции <img width=«55» height=«36» src=«ref-1_295098459-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">и ОДЗ функции <img width=«51» height=«36» src=«ref-1_295096263-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">.

Частным решением неравенства <img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">. Решением неравенства называется множество всех его частных решений.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений). Если каждое частное решение неравенства <img width=«119» height=«35» src=«ref-1_295099605-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> является в то же время частным решением неравенства <img width=«123» height=«35» src=«ref-1_295099951-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">, полученного после преобразований неравенства <img width=«119» height=«35» src=«ref-1_295099605-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">, то неравенство <img width=«123» height=«35» src=«ref-1_295099951-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">называется следствием неравенства <img width=«119» height=«35» src=«ref-1_295099605-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">. В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к равносильным неравенствам.
Теорема 18.  Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже функцию <img width=«52» height=«36» src=«ref-1_295101455-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, которая определена при всех значениях <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, неравенства
<img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">(1)

и

<img width=«251» height=«36» src=«ref-1_295102320-575.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">(2)

равносильны.

Доказательство: Пусть <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">=<img width=«23» height=«25» src=«ref-1_295103100-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> — произвольное решение неравенства <img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">. Тогда <img width=«121» height=«33» src=«ref-1_295103693-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> — истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям число <img width=«55» height=«35» src=«ref-1_295104085-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> (по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2) имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство <img width=«252» height=«35» src=«ref-1_295104373-605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> — истинное. Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2).

          Обратно, пусть <img width=«53» height=«31» src=«ref-1_295104978-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> — произвольное решение неравенства (2), значит <img width=«251» height=«36» src=«ref-1_295105228-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> — истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей этого неравенства числа <img width=«53» height=«36» src=«ref-1_295105813-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">по свойству 6 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство <img width=«120» height=«36» src=«ref-1_295106101-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">. Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие. Неравенства

 <img width=«180» height=«36» src=«ref-1_295106486-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

и

<img width=«180» height=«36» src=«ref-1_295106938-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

равносильны.
Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию <img width=«52» height=«36» src=«ref-1_295101455-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, которая при всех значениях <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному.

          Таким образом, если <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295107874-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">, то неравенства

<img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">(1)

и

<img width=«237» height=«36» src=«ref-1_295108575-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">(2)

(или <img width=«124» height=«72» src=«ref-1_295109090-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">) равносильны.

Доказательство: пусть <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295109663-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> произвольное решение неравенства (1). Тогда <img width=«121» height=«33» src=«ref-1_295103693-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> — истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число <img width=«55» height=«35» src=«ref-1_295104085-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">(по условию это число существует, ибо функция <img width=«52» height=«36» src=«ref-1_295101455-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">имеет смысл при всех <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">из области определения неравенства (1), причем <img width=«87» height=«35» src=«ref-1_295111065-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">). Н основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое неравенство (2) тоже истинное при <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295109663-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">.

          Обратно, пусть <img width=«53» height=«31» src=«ref-1_295104978-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> — произвольное решение неравенства (2), значит <img width=«236» height=«36» src=«ref-1_295111877-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">  — истинное числовое неравенство. После деления обеих частей неравенства на число <img width=«85» height=«36» src=«ref-1_295112459-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">(по условию) по свойству 12 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство <img width=«120» height=«36» src=«ref-1_295106101-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">.

Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и ту же функцию <img width=«52» height=«36» src=«ref-1_295101455-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">, которая при всех значениях <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство. равносильное исходному.

          Таким образом, если <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295113655-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">, то неравенства

<img width=«121» height=«36» src=«ref-1_295113974-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">(1)

и

<img width=«237» height=«36» src=«ref-1_295114365-531.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">(2)

(или <img width=«128» height=«72» src=«ref-1_295114896-572.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">) равносильны.

Доказательство:Пусть <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295109663-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">произвольное решение неравенства (1). Тогда <img width=«121» height=«33» src=«ref-1_295103693-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> — истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число <img width=«87» height=«35» src=«ref-1_295116098-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">(по условию это число существует, ибо функция <img width=«52» height=«36» src=«ref-1_295101455-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">имеет решение при всех <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4 числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство <img width=«239» height=«35» src=«ref-1_295116905-580.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> тоже истинное.

          Обратно, пусть <img width=«53» height=«31» src=«ref-1_295104978-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">  — произвольное решение неравенства (2), значит <img width=«239» height=«37» src=«ref-1_295117735-596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">-истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на число <img width=«88» height=«64» src=«ref-1_295118331-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое неравенство <img width=«120» height=«36» src=«ref-1_295106101-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">.

          Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.

Следствие.Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 21.  Пусть дано неравенство  <img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">, причем <img width=«85» height=«36» src=«ref-1_295119445-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">и <img width=«83» height=«36» src=«ref-1_295119763-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">при всех <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство

 <img width=«164» height=«49» src=«ref-1_295120493-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">,

равносильное данному.

Доказательство: пусть <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295109663-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> — произвольное решение неравенства <img width=«116» height=«36» src=«ref-1_295096931-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">. Причем <img width=«88» height=«35» src=«ref-1_295121650-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">и <img width=«85» height=«35» src=«ref-1_295121975-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">(по условию). Тогда <img width=«121» height=«33» src=«ref-1_295103693-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> — истинное числовое неравенство. Но по свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство <img width=«181» height=«49» src=«ref-1_295122698-569.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">тоже истинно. Что и требовалось доказать.

Замечание.При выполнении тождественных преобразований возможно изменение области определения выражения. Например, при приведении подобных членов, при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При решении неравенства в результате тождественных преобразований может получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения тождественных преобразований, которые привели к расширению области определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства.
3. Корень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> — й степени. Иррациональные неравенства.
          Определение. Корнем <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> — й степени из действительного числа <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">называется действительное число <img width=«25» height=«28» src=«ref-1_295123877-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">такое, что <img width=«60» height=«31» src=«ref-1_295124084-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">.

          В частности, если <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295124342-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">, <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295124595-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">, то из <img width=«59» height=«31» src=«ref-1_295124829-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">получаем, что <img width=«59» height=«28» src=«ref-1_295125087-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">или <img width=«73» height=«28» src=«ref-1_295125337-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">. Если <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295125592-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">, <img width=«68» height=«28» src=«ref-1_295125839-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">, то из <img width=«72» height=«31» src=«ref-1_295126086-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">получаем, что <img width=«73» height=«28» src=«ref-1_295125337-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">. Заметим, что если <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> — четное, а <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295060327-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">, то по свойствам действительных чисел не существует действительных <img width=«25» height=«28» src=«ref-1_295123877-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">таких, что <img width=«60» height=«31» src=«ref-1_295124084-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">. Если <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> — четное, а <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295127712-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">, то существует ровно два действительных различных корня <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> — й степени из <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">. Положительный корень обозначается через <img width=«35» height=«33» src=«ref-1_295128354-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296"> — арифметический корень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> — й степени из <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">, отрицательный <img width=«47» height=«33» src=«ref-1_295129002-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">. Если <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295129243-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">, то при любом <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">существует единственный корень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> — й степени из <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295055828-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> — число <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295055828-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">.

          Если, <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> — нечетное, то для любого действительного  числа <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">существует единственный корень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> — й степени из <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">. Этот корень называется арифметическим корнем <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> — й степени из числа и обозначается <img width=«35» height=«33» src=«ref-1_295128354-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">.

          Итак:

1. <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> — четное, <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295131738-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">, <img width=«65» height=«33» src=«ref-1_295131977-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> — арифметический корень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> — й степени из неотрицательного числа <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">.

2. <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> — нечетное, <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> — любое действительное число, <img width=«35» height=«33» src=«ref-1_295128354-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> — арифметический корень <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> — й степени из действительного числа <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">.
          Значит, если показатель корня — число нечетное, то действия с такими корнями не вызывают затруднений (<img width=«41» height=«27» src=«ref-1_295133719-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> имеет тот же знак, что и <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">), Основной случай для исследования — когда <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295087153-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323"> — четное.

          Пусть функция <img width=«55» height=«36» src=«ref-1_295098459-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> — иррациональная, т.е. задается с помощью иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством называется неравенство вида <img width=«89» height=«36» src=«ref-1_295134640-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">. Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного иррационального уравнения.

                Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство,эквивалентное исходному.

          Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. 
    продолжение
--PAGE_BREAK--4. Решение простейших иррациональных неравенств
          Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства — в другой его части, то есть неравенству вида <img width=«128» height=«41» src=«ref-1_295134957-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> или <img width=«133» height=«41» src=«ref-1_295135379-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">, где <img width=«55» height=«36» src=«ref-1_295098459-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">и <img width=«51» height=«36» src=«ref-1_295096263-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> — рациональные алгебраические выражения относительно переменной <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">. Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду

<img width=«128» height=«41» src=«ref-1_295134957-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">(1)

или

<img width=«133» height=«41» src=«ref-1_295135379-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">(2),

называется уединением радикала.

          Разобьем простейшие неравенства на две группы:

I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. <img width=«72» height=«28» src=«ref-1_295137436-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">.

II— неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. <img width=«101» height=«28» src=«ref-1_295137714-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">.

I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого неравенства является в то же время решением неравенства <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295138009-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">(при этом условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295138327-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">(поскольку <img width=«167» height=«41» src=«ref-1_295138649-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">). Значит, неравенство

<img width=«132» height=«41» src=«ref-1_295139132-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">(3)
равносильно системе неравенств:

<img width=«12» height=«59» src=«ref-1_295139569-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339"><img width=«140» height=«125» src=«ref-1_295139740-702.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">

где <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295138009-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">и <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295138327-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат на указанном множестве есть равносильное преобразование неравенства. В результате получаем, что неравенство (3) равносильно системе неравенств:

<img width=«160» height=«141» src=«ref-1_295141082-743.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">

                Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).
Теорема 1. Неравенство вида <img width=«137» height=«41» src=«ref-1_295141825-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">равносильно системе неравенств:

<img width=«160» height=«141» src=«ref-1_295141082-743.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">

                Аналогично для неравенств вида  <img width=«136» height=«41» src=«ref-1_295143013-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">.

Теорема 2. Неравенство вида <img width=«136» height=«41» src=«ref-1_295143013-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">равносильно системе неравенств

<img width=«164» height=«144» src=«ref-1_295143887-757.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">

          Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.

<img width=«136» height=«41» src=«ref-1_295144644-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">(4)

          Оно равносильно системе

<img width=«159» height=«91» src=«ref-1_295145083-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">(5)

          Но в отличие от неравенства (3) <img width=«51» height=«36» src=«ref-1_295096263-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">может здесь принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, рассмотрев систему (5) в каждом из двух случаев <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295145987-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">и <img width=«85» height=«36» src=«ref-1_295146308-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">, получим совокупность систем:

<img width=«12» height=«47» src=«ref-1_295146630-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"><img width=«144» height=«125» src=«ref-1_295146801-732.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">

<img width=«12» height=«59» src=«ref-1_295139569-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356"><img width=«145» height=«125» src=«ref-1_295147704-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">

          В первой их этих систем последнее неравенство можно опустить как следствие двух первых неравенств. Во второй системе обе части последнего неравенства можно возвести в квадрат (так как обе его части положительны).
Итак, неравенство (4) равносильно совокупности двух систем неравенств

<img width=«170» height=«77» src=«ref-1_295148440-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">

<img width=«164» height=«141» src=«ref-1_295148979-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">

          Заметим, что второе неравенство второй системы можно опустить — оно является следствием последнего неравенства системы.
Теорема 3. Неравенство вида <img width=«136» height=«41» src=«ref-1_295144644-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">равносильно совокупности двух систем неравенств
<img width=«170» height=«77» src=«ref-1_295148440-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">

<img width=«164» height=«141» src=«ref-1_295148979-749.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">

Аналогично.
Теорема 4. Неравенство вида <img width=«136» height=«41» src=«ref-1_295151455-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">равносильно совокупности двух систем неравенств

<img width=«170» height=«77» src=«ref-1_295148440-539.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">
<img width=«164» height=«141» src=«ref-1_295152431-756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">

          Неравенства вида <img width=«133» height=«41» src=«ref-1_295153187-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">, <img width=«133» height=«41» src=«ref-1_295153611-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">, <img width=«132» height=«41» src=«ref-1_295154030-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">, <img width=«132» height=«41» src=«ref-1_295154450-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">являются частными случаями рассмотренных выше неравенств, когда <img width=«80» height=«28» src=«ref-1_295154868-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">.

Пример 1. Решим неравенство

<img width=«145» height=«33» src=«ref-1_295155152-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">

Решение. Заданное неравенство — неравенство вида (3), поэтому по теореме 1 оно равносильно системе неравенств:

<img width=«168» height=«128» src=«ref-1_295155522-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">              <img width=«136» height=«143» src=«ref-1_295156143-563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">
                Так как квадратный трехчлен <img width=«128» height=«31» src=«ref-1_295156706-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">. Поэтому решения последней системы таковы: <img width=«56» height=«56» src=«ref-1_295157267-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">.

Ответ: <img width=«96» height=«59» src=«ref-1_295157549-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> 
Пример 2. Решить неравенство

<img width=«127» height=«36» src=«ref-1_295157888-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">

Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем неравенств

<img width=«93» height=«64» src=«ref-1_295158248-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">                             <img width=«155» height=«68» src=«ref-1_295158646-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">

<img width=«149» height=«128» src=«ref-1_295159123-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">                  <img width=«155» height=«152» src=«ref-1_295159734-585.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">

Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.

Решение первой системы:
Второй:
Получаем совокупность <img width=«88» height=«96» src=«ref-1_295160319-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">

Ответ: <img width=«64» height=«28» src=«ref-1_295160749-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">и <img width=«49» height=«28» src=«ref-1_295160988-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">.
Пример 3. Решить неравенство

<img width=«107» height=«36» src=«ref-1_295161223-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">
Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе

<img width=«104» height=«99» src=«ref-1_295161571-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">        <img width=«231» height=«107» src=«ref-1_295162067-738.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">  <img width=«117» height=«200» src=«ref-1_295162805-697.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">

Последнее неравенство системы выполняется всегда. если <img width=«51» height=«31» src=«ref-1_295163502-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">и <img width=«61» height=«28» src=«ref-1_295163752-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">.

Итак, решением неравенства является <img width=«108» height=«68» src=«ref-1_295163993-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">исключая <img width=«49» height=«28» src=«ref-1_295164357-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">.

Ответ: <img width=«169» height=«68» src=«ref-1_295164576-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">.

II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. <img width=«95» height=«28» src=«ref-1_295165016-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">. Решение также проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:

<img width=«145» height=«41» src=«ref-1_295165301-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">         <img width=«160» height=«51» src=«ref-1_295165750-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">

<img width=«145» height=«41» src=«ref-1_295166234-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">         <img width=«165» height=«51» src=«ref-1_295166683-481.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">

При <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295145987-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">при возведении в степень <img width=«63» height=«28» src=«ref-1_295167485-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">знак не изменится, т.к. <img width=«231» height=«49» src=«ref-1_295167733-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">, <img width=«109» height=«49» src=«ref-1_295168354-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">. Значит <img width=«173» height=«49» src=«ref-1_295168751-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">при <img width=«87» height=«36» src=«ref-1_295145987-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">.

<img width=«55» height=«36» src=«ref-1_295098459-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">может быть любое, т.к. под знаком радикала нечетной степени может стоять как отрицательная, так и положительная функция.

Пример 4. Решить неравенство

<img width=«109» height=«36» src=«ref-1_295169850-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"> 

Решение. Возведем в куб обе части неравенства:

<img width=«96» height=«31» src=«ref-1_295170223-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">

или

<img width=«161» height=«35» src=«ref-1_295170543-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">

<img width=«145» height=«35» src=«ref-1_295170939-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">

<img width=«172» height=«35» src=«ref-1_295171329-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">   

Решим полученное неравенство методом интервалов
Ответ: <img width=«173» height=«36» src=«ref-1_295171765-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">.


5. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов четной степени
          Пусть дано иррациональное неравенство

<img width=«148» height=«41» src=«ref-1_295172133-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">(1)

          В неравенстве (1) левые и правые части положительные, поэтому при возведении в четную степень эквивалентность не нарушается, если подкоренные выражения будут неотрицательны. Поэтому имеют место следующие эквивалентные преобразования:

<img width=«143» height=«39» src=«ref-1_295172596-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413">                             <img width=«123» height=«107» src=«ref-1_295173062-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">  (2)

<img width=«152» height=«41» src=«ref-1_295173704-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">                  <img width=«131» height=«117» src=«ref-1_295174181-652.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">(3)

Пример 1. Решить неравенство

<img width=«149» height=«36» src=«ref-1_295174833-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> 

Решение. Заменим данное неравенство эквивалентной системой неравенств

<img width=«133» height=«96» src=«ref-1_295175230-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">

и далее

<img width=«76» height=«149» src=«ref-1_295175749-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">

откуда получаем решение неравенства <img width=«87» height=«56» src=«ref-1_295176210-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">.

Ответ: <img width=«87» height=«56» src=«ref-1_295176210-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">.

Пример 2. Решить неравенство

<img width=«172» height=«65» src=«ref-1_295176884-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">

Решение. Предварительно упростим данное неравенство. умножив его на положительное выражение  <img width=«91» height=«37» src=«ref-1_295177375-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">(т.к. мы рассматриваем всегда <img width=«64» height=«33» src=«ref-1_295177701-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">). Проведем затем эквивалентные преобразования:

<img width=«204» height=«35» src=«ref-1_295177975-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">

или

<img width=«115» height=«33» src=«ref-1_295178440-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">

заменяем неравенство равносильной системой неравенств:

<img width=«143» height=«128» src=«ref-1_295178795-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">

откуда получаем

<img width=«167» height=«108» src=«ref-1_295179402-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"> 
решением последнего неравенства системы является объединение <img width=«49» height=«28» src=«ref-1_295179957-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">и <img width=«61» height=«28» src=«ref-1_295180191-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">, а решением всей системы, а в силу равносильности проведенных преобразований и исходного неравенства, будет луч <img width=«61» height=«28» src=«ref-1_295180191-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">.

Ответ: <img width=«61» height=«28» src=«ref-1_295180191-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">.

Пример 3. Решить неравенство

<img width=«196» height=«33» src=«ref-1_295180983-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">

Решение. Перепишем неравенство так, чтобы левая и правая его части были неотрицательными

<img width=«199» height=«33» src=«ref-1_295181413-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">        <img width=«108» height=«33» src=«ref-1_295181861-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> всегда

                                                <img width=«141» height=«33» src=«ref-1_295182174-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">

и решим его, используя ранее рассмотренные эквивалентные преобразования:

<img width=«228» height=«136» src=«ref-1_295182528-738.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">

откуда получаем

<img width=«103» height=«104» src=«ref-1_295183266-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">

последнее неравенство системы является уже знакомым нам неравенством вида <img width=«128» height=«41» src=«ref-1_295183761-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> и решая его возведением в квадрат, получаем <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295184191-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">.

<img width=«71» height=«61» src=«ref-1_295184450-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">

Ответ: <img width=«95» height=«28» src=«ref-1_295184806-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">.

Пример 4. Решим неравенство

<img width=«291» height=«33» src=«ref-1_295185107-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444">

Решение. Это неравенство равносильно следующей системе неравенств. где первые четыре неравенства являются ОДЗ

<img width=«299» height=«165» src=«ref-1_295185663-974.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">

или

<img width=«96» height=«21» src=«ref-1_295186637-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"><img width=«299» height=«67» src=«ref-1_295186816-712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">

Так как <img width=«85» height=«28» src=«ref-1_295187528-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">, то <img width=«83» height=«28» src=«ref-1_295187828-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">, а потому <img width=«107» height=«33» src=«ref-1_295188101-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">. Далее <img width=«84» height=«28» src=«ref-1_295188437-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451">, поэтому <img width=«112» height=«41» src=«ref-1_295188734-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">. Значит, <img width=«227» height=«33» src=«ref-1_295189097-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">, и тем более <img width=«172» height=«33» src=«ref-1_295189595-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">.

Но <img width=«175» height=«33» src=«ref-1_295189994-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">, следовательно. второе неравенство нашей системы выполняется при любых допустимых значения <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">из ОДЗ исходного неравенства, т.е. система, а вместе с ней и исходное неравенство имеют решение <img width=«85» height=«28» src=«ref-1_295187528-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">.

Ответ: <img width=«85» height=«35» src=«ref-1_295190920-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">.

Пример 5. Решить неравенство

<img width=«184» height=«49» src=«ref-1_295191227-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">

Решение. Правая часть данного неравенства неотрицательная, поэтому левая его часть должна быть положительной. В противном случае неравенство не имеет смысла. Учитывая это, проведем следующие эквивалентные преобразования:

<img width=«197» height=«139» src=«ref-1_295191739-841.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">

второе неравенство имеет смысл при любом <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">из ОДЗ, т.е. при <img width=«112» height=«35» src=«ref-1_295192785-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">. если упростить третье неравенство системы, то получим

<img width=«177» height=«129» src=«ref-1_295193132-668.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">

или

<img width=«165» height=«72» src=«ref-1_295193800-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">

Последнее неравенство системы имеет положительную левую часть при <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295194306-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">, значим имеем право возвести неравенство в квадрат и затем легко решаем его, получаем

<img width=«69» height=«61» src=«ref-1_295194564-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">

Ответ: <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_295194306-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">.


6. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов нечетной степени
          Рассмотрим решение неравенств, содержащих переменную под знаком двух радикалов нечетной степени. Решение проводится также путем последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место следующие эквивалентные преобразования:
 <img width=«173» height=«41» src=«ref-1_295195165-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">             <img width=«119» height=«36» src=«ref-1_295195665-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">    

Пример 1. Решить неравенство

<img width=«115» height=«33» src=«ref-1_295196022-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470">

Решение. Возводим обе части неравенства в куб:

<img width=«92» height=«28» src=«ref-1_295196401-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">

<img width=«61» height=«28» src=«ref-1_295196695-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">

<img width=«57» height=«56» src=«ref-1_295196943-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">

Ответ: <img width=«57» height=«56» src=«ref-1_295196943-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474">.

          Рассмотрим отдельно решение неравенств вида:

<img width=«221» height=«41» src=«ref-1_295197481-588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">

                После возведения его в куб получим неравенство

<img width=«485» height=«45» src=«ref-1_295198069-1002.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">.

          Многократное возведение в куб неравенства в общем случае не приводит к освобождению от радикалов. Для решения таких неравенств целесообразно использовать метод интервалов. Суть его заключается в следующем.

                Пусть требуется решить неравенство вида:

<img width=«223» height=«41» src=«ref-1_295199071-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">(1)

или

<img width=«223» height=«41» src=«ref-1_295199666-590.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">(2)

          Сначала установим, при каких значениях переменной левая часть неравенства равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение, которое назовем соответствующим

<img width=«223» height=«41» src=«ref-1_295200256-588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">(3)

          Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает с областью определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни уравнения (3) на числовую ось, на которой отмечаем также область определения неравенства. Пусть, например, область определения неравенства (1) или (2) состоит из двух числовых промежутков <img width=«88» height=«28» src=«ref-1_295200844-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">и <img width=«89» height=«28» src=«ref-1_295201138-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">, <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_295048668-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">, <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_295201630-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">, <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_295201839-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">, <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_295202051-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> — корни уравнения (3).

          Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на промежутки знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень нечетной кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный. В рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут промежутки <img width=«89» height=«28» src=«ref-1_295202264-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">, <img width=«89» height=«28» src=«ref-1_295202563-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">, <img width=«88» height=«28» src=«ref-1_295202868-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">, <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_295203179-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">, <img width=«91» height=«28» src=«ref-1_295203470-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">.
          Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак функции <img width=«255» height=«41» src=«ref-1_295203784-627.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">. Для определения знака функции достаточно взять любое число из соответствующего промежутка. подставить в функцию вместо переменной <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_295097312-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">и установить знак полученного числового выражения. Те числовые промежутки, в которых функция положительная, будут решением неравенства (1), ибо любое значение переменной, взятое из этих числовых промежутков, обращает его в истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки образуют множество решений неравенства (2).

Пример 2. Решить неравенство

<img width=«224» height=«33» src=«ref-1_295204616-477.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">

Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения

<img width=«223» height=«33» src=«ref-1_295205093-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">

возведем уравнение в куб:

<img width=«503» height=«40» src=«ref-1_295205561-793.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">

Так как по условию выражение <img width=«149» height=«33» src=«ref-1_295206354-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">должно равняться <img width=«63» height=«33» src=«ref-1_295206737-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">, то, сделав соответствующую замену, получим:

<img width=«291» height=«39» src=«ref-1_295207005-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">

Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295207530-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> и <img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295207757-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">.

Проверка 1.

<img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295207530-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">

<img width=«151» height=«33» src=«ref-1_295208321-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">

<img width=«65» height=«28» src=«ref-1_295208689-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"> — ложно, корень <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295207530-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> — посторонний.

Проверка 2.

<img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295207757-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">

<img width=«264» height=«61» src=«ref-1_295209486-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">

<img width=«168» height=«60» src=«ref-1_295210187-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">  — истинно, <img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295207757-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">  — корень уравнения.

                Областью определения неравенства является множество действительных чисел. Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два числовых промежутка:

<img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295211077-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> и <img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295211419-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">.

Взяв любое число (например, <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295207530-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">) из первого промежутка и подставив в неравенство, получим <img width=«183» height=«33» src=«ref-1_295211983-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">. Значит,числовой промежуток  не входит в решение неравенства. Значение <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295212382-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">, взятое из числового промежутка <img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295211419-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">, обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство <img width=«115» height=«33» src=«ref-1_295212967-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">. Значит, числовой промежуток <img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295211419-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> является решением неравенства.

Ответ: <img width=«69» height=«56» src=«ref-1_295211419-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">.

Пример 3. Решить неравенство

<img width=«236» height=«40» src=«ref-1_295214023-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">

Решение. Решим соответствующее уравнение
<img width=«236» height=«40» src=«ref-1_295214579-549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">

после возведения в куб обеих частей уравнения получим

 <img width=«324» height=«40» src=«ref-1_295215128-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">

сделаем подстановку <img width=«236» height=«40» src=«ref-1_295214579-549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> получим уравнение

<img width=«271» height=«40» src=«ref-1_295216331-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">

<img width=«287» height=«45» src=«ref-1_295216904-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">

<img width=«195» height=«35» src=«ref-1_295217491-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">

<img width=«51» height=«28» src=«ref-1_295217949-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">и <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295218169-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">

Отмечаем корни на числовой оси
Областью определения неравенства являются все действительные числа, поэтому рассматриваем  три числовых промежутка: <img width=«51» height=«28» src=«ref-1_295218415-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">, <img width=«83» height=«28» src=«ref-1_295218645-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">, <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295218918-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">. Пусть <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295207530-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">, тогда <img width=«141» height=«33» src=«ref-1_295219399-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> — ложное числовое неравенство. Значит числовой промежуток <img width=«51» height=«28» src=«ref-1_295218415-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">не входит в решение. Пусть <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295220001-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">, тогда <img width=«117» height=«33» src=«ref-1_295220249-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"> — истинное числовое неравенство и числовой промежуток <img width=«83» height=«28» src=«ref-1_295218645-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">входит в решение. Аналогично, числовой промежуток <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295218918-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">тоже входит в решение.

Ответ: <img width=«83» height=«28» src=«ref-1_295218645-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">, <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295218918-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">.

Пример 4. Решить неравенство

<img width=«172» height=«33» src=«ref-1_295221661-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">

Решение. Возведем в куб части неравенства:

<img width=«417» height=«35» src=«ref-1_295222080-722.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">

откуда

<img width=«244» height=«35» src=«ref-1_295222802-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">

ОДЗ неравенства <img width=«87» height=«28» src=«ref-1_295223306-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">или  <img width=«69» height=«28» src=«ref-1_295223598-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">.

При значения <img width=«69» height=«28» src=«ref-1_295223863-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">    <img width=«127» height=«28» src=«ref-1_295224128-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">всегда, а <img width=«168» height=«35» src=«ref-1_295224451-424.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">. Значит последнее неравенство истинно при <img width=«69» height=«28» src=«ref-1_295223863-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">.

Ответ: <img width=«69» height=«28» src=«ref-1_295223863-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">.
Пример 5.Решить неравенство

<img width=«181» height=«33» src=«ref-1_295225405-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">
Решение. Возведем обе части неравенства в куб, предварительно перенеся <img width=«63» height=«33» src=«ref-1_295225803-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">в правую часть:

<img width=«189» height=«48» src=«ref-1_295226056-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">

<img width=«211» height=«35» src=«ref-1_295226515-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">

Последнее неравенство эквивалентно системе неравенств

<img width=«261» height=«127» src=«ref-1_295226969-728.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">

или

<img width=«225» height=«68» src=«ref-1_295227697-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">

Решением последней системы является <img width=«99» height=«28» src=«ref-1_295228243-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">.

Ответ: <img width=«99» height=«28» src=«ref-1_295228243-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">.


7. Решение иррациональных неравенств с параметрами
          Параметром называют такую переменную, значения которой постоянны в пределах рассматриваемой задачи.

          Значения параметров <img width=«105» height=«31» src=«ref-1_295228839-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">, для которых функции <img width=«221» height=«35» src=«ref-1_295229168-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">и  <img width=«219» height=«35» src=«ref-1_295229642-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">определены, называются множеством допустимых значений параметров.

          Неравенство, содержащее параметры, только тогда считается решенным, когда указано множество всех его решений при произвольной допустимой системе значений параметров. Решение параметрических иррациональных неравенств рассмотрим на примерах. Чтобы проанализировать все допустимые значения параметров и найти соответствующие искомые значения переменной, целесообразно данное неравенство заменить эквивалентной совокупностью неравенств, как это будет показано ниже на примерах.

Пример 1. Решить и исследовать неравенство:

<img width=«93» height=«33» src=«ref-1_295230120-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">(1)

Решение. Найдем ОДЗ неравенства (1) <img width=«64» height=«28» src=«ref-1_295230418-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564">. Неравенство (1) заменим эквивалентной совокупностью неравенств

<img width=«199» height=«71» src=«ref-1_295230655-526.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">

                Ясно, что второе неравенство будет истинно при любом <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295231181-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">из ОДЗ, т.к. <img width=«93» height=«33» src=«ref-1_295231386-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">, <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295231682-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">. Первое неравенство совокупности имеет и правую и левую положительные части. Возведем в квадрат обе его части.

<img width=«83» height=«31» src=«ref-1_295231917-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">

<img width=«83» height=«31» src=«ref-1_295232197-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">

Все значения <img width=«83» height=«31» src=«ref-1_295232197-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">будут принадлежать ОДЗ, так как <img width=«55» height=«31» src=«ref-1_295232779-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">, значит <img width=«79» height=«31» src=«ref-1_295233039-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">.

Ответ: 1. <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295233309-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"><img width=«49» height=«28» src=«ref-1_295233542-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">; 2. <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_295233775-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"><img width=«83» height=«31» src=«ref-1_295232197-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">.

Пример 2. Решить неравенство

<img width=«161» height=«33» src=«ref-1_295234307-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">

Решение. Легко видеть, что при <img width=«56» height=«29» src=«ref-1_295234728-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">данное неравенство не имеет решений, т.к. получаем положительную левую часть меньше отрицательно правой. что не имеет смысла. Рассмотрим неравенство при <img width=«57» height=«29» src=«ref-1_295234977-242.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">. ОДЗ неравенства

<img width=«105» height=«61» src=«ref-1_295235219-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">

Неравенство имеет смысл лишь при <img width=«97» height=«33» src=«ref-1_295235624-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">. Получаем систему неравенств, эквивалентную исходному неравенству:

<img width=«185» height=«205» src=«ref-1_295235924-837.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">                   <img width=«151» height=«128» src=«ref-1_295236761-630.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">

<img width=«151» height=«104» src=«ref-1_295237391-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">

Решим последнее неравенство системы. Видим, что оно имеет смысл лишь при <img width=«85» height=«28» src=«ref-1_295237999-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">. Возведем в квадрат обе части неравенства <img width=«128» height=«44» src=«ref-1_295238281-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">

<img width=«128» height=«45» src=«ref-1_295238652-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">при <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_295239041-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">

<img width=«119» height=«73» src=«ref-1_295239298-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">

Сравним <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_295239692-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">и <img width=«84» height=«73» src=«ref-1_295239909-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">, чтобы определить верхнюю границу значений <img width=«21» height=«28» src=«ref-1_295231181-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">.

<img width=«437» height=«87» src=«ref-1_295240463-939.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">

при <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295241402-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">значит <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_295239692-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">><img width=«84» height=«73» src=«ref-1_295239909-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">.

<img width=«159» height=«105» src=«ref-1_295242227-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">

Ответ: если  <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295241402-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">, то <img width=«155» height=«92» src=«ref-1_295243037-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">

            если <img width=«55» height=«28» src=«ref-1_295243494-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">. то <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_295243758-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">.
Пример 3. Решить неравенство

<img width=«199» height=«36» src=«ref-1_295243968-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">
Решение.Данное неравенство перепишем так

<img width=«199» height=«36» src=«ref-1_295244463-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">(1)
Легко видеть, что при а = 0 неравенство решения не имеет. Рассмотрим значение параметра а > 0 и а < 0:левая и правая части неравенства положительные, поэтому при возведением неравенства в квадрат получим неравенства, эквивалентное данному в области его определения. При a < 0 данное неравенство тождественно истинное в области  его  определения (левая часть

неотрицательная, а правая отрицательная). Поэтому данное неравенство можно заменить следующей эквивалентной совокупностью систем неравенств:
<img width=«273» height=«287» src=«ref-1_295244962-1802.coolpic» v:shapes="_x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037 _x0000_s1038 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045">  <img width=«375» height=«349» src=«ref-1_295246764-1331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">
Рассмотрим неравенство (2). После выполнения преобразований получим:
<img width=«250» height=«34» src=«ref-1_295248095-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">
При a > 0  значения х = а и х = 0 не   удовлетворяют    неравенству, а при   всех значениях 0 < x < a указанное неравенство тождественно истинное, поэтому первая система совокупности эквивалентна системе:
  <img width=«270» height=«106» src=«ref-1_295248617-747.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">

Итак, решение неравенства (1)
1) если а> 00 < x < a

2) если а = 0нет решений

3) если a < 0a £x £
Пример 4.Решить неравенство:
  <img width=«241» height=«29» src=«ref-1_295249364-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">
Решение.  Возводим неравенство в квадрат. Так как левая и правая части неравенства неотрицательны, то эквивалентность не нарушается в области определения неравенства. Первый радикал имеет смысл при x £а, второй при x £b. При этих же значениях переменной имеет смысл и выражение, стоящее в правой части неравенства.

Итак,
<img width=«241» height=«29» src=«ref-1_295249364-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">        
равносильно системе

<img width=«241» height=«90» src=«ref-1_295250244-632.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">
но

<img width=«596» height=«33» src=«ref-1_295250876-955.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">,
значит последнее неравенство системы равносильно неравенству:

<img width=«154» height=«31» src=«ref-1_295251831-396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">

или

<img width=«142» height=«31» src=«ref-1_295252227-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">

А система равносильна системе

<img width=«231» height=«94» src=«ref-1_295252616-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">

* выполняется, если оба множителя под корнем больше нуля или оба меньше нуля, значит наша система равносильна совокупности двух систем:
<img width=«142» height=«231» src=«ref-1_295253167-528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">                                               
после выполнения преобразований получаем:

  <img width=«63» height=«89» src=«ref-1_295253695-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">
Видим, что в первой системе может быть два случая:

1)     a ³b,

2)     b ³a.
    продолжение
--PAGE_BREAK--В первом случае решением системы будет x < b, а во втором x < a.
Ответ:         1) a ³b x < b

            2) a £b x < а

8. Решение иррациональных неравенств,способом введения новой переменной.



Иррациональные неравенства, как и иррациональные уравнения можно решать способом введения новой переменной. Рассмотрим использование этого метода на примерах.
Пример 1.Решить неравенство:
  <img width=«316» height=«31» src=«ref-1_295254049-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">
Решение.Положив <img width=«146» height=«32» src=«ref-1_295254542-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">, находим что х2 + 5х + 4 = у2 – 24, тогда неравенство (1) преобразуется к виду:
  у2 – 5y – 24 < 0
и далее решим уравнение:
  у2 – 5y – 24 = 0

  D = 25 + 96 = 121

  y1 = -3,    y2 = 8
получаем (у – 8)(у + 3) <0.

Решением этого неравенства является промежуток  -3 < y < 8.

Мы пришли к следующей системе неравенств:
  <img width=«174» height=«30» src=«ref-1_295254925-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">

Так как  <img width=«134» height=«30» src=«ref-1_295255332-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617"> при всех допустимых значениях х, то тем более <img width=«145» height=«30» src=«ref-1_295255698-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">   при всех х их ОДЗ неравенства (1), а поэтому достаточно решить неравенство:
  <img width=«145» height=«33» src=«ref-1_295256073-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">
Это неравенство равносильно системе
  <img width=«145» height=«62» src=«ref-1_295256457-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">
Так как неравенство х2 + 5х + 38 ³0 выполняется  при   любых значениях х  (D= 25 – 4 ×28 <0 и а = 1 >0), то последняя система равносильна неравенству:
  х2 + 5х + 38 <
или
  (х + 9)(х – 4) <
откуда методом интервалов находим решение неравенства (1)
<img width=«320» height=«62» src=«ref-1_295256901-502.coolpic» v:shapes="_x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049">



  Ответ:  х Î]-9; 4[

Неравенство (1) – неравенство вида
  <img width=«225» height=«32» src=«ref-1_295257403-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">   .
Здесь применима подстановка      <img width=«145» height=«34» src=«ref-1_295257879-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">    и неравенство  заменяется равносильным ему неравенством:
  у2 – ky + d – c < 0, которое легко разрешимо.
Рассмотрим неравенство вида:
  <img width=«135» height=«28» src=«ref-1_295258238-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">  , где можно применить подстановку  <img width=«101» height=«31» src=«ref-1_295258592-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">.
Пример 2.Решить неравенство:
  <img width=«106» height=«27» src=«ref-1_295258893-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">
Решение.Найдем ОДЗ неравенства: х £5. Положим <img width=«83» height=«28» src=«ref-1_295259202-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">, тогда у> x – 3, y ³. Выразим х через у: у2 = 5 – х Þх = 5 – у2.

Получаем систему:
  <img width=«87» height=«96» src=«ref-1_295259487-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">
Откуда:
  <img width=«231» height=«144» src=«ref-1_295259954-691.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">
  <img width=«78» height=«51» src=«ref-1_295260645-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">
Значения x < 4принадлежат ОДЗ.

Ответ: x < 4.
Пример 3.Решить неравенство
  <img width=«308» height=«35» src=«ref-1_295260976-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">
Решение.Найдем ОДЗ неравенства
  <img width=«222» height=«91» src=«ref-1_295261498-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">
при х ³2 второе и третье неравенства системы истинны. ОДЗ х ³2.

Пусть  <img width=«85» height=«29» src=«ref-1_295262117-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">, тогда исходное неравенство примет вид:
  <img width=«212» height=«30» src=«ref-1_295262404-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">                         (1)
Так как под радикалами в левой части неравенства (1) стоят полные квадраты, то оно может быть представлено в следующем эквивалентном виде:

  |t + 1| — |t – 1| > 1
Разобьем решение на три промежутка:
1)     t £-1

-t – 1 + t – 1 > 1Æ

2)     –1 < t £1

t + 1 + t – 1 > 1

2t > 1

t > ½

3)     t > 1

t + 1 – t + 1 > 1  2 > 1 – истинно


    продолжение
--PAGE_BREAK--Решением неравенства на всех трех промежутках будет  t > ½
Подставляем  <img width=«87» height=«29» src=«ref-1_295262847-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">
  <img width=«83» height=«121» src=«ref-1_295263133-500.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">
Эти значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: x > 2,25.
Пример 4.  Решить неравенство:
  <img width=«164» height=«40» src=«ref-1_295263633-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">

Решение.Положим <img width=«95» height=«42» src=«ref-1_295264065-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">, тогда <img width=«104» height=«42» src=«ref-1_295264386-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">  и мы получаем неравенство:
  у2 – у – 2 >0,
откуда находим y < -1,  y>2.

Теперь задача свелась к решению двух неравенств:
  <img width=«269» height=«42» src=«ref-1_295264730-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">
Первое неравенство не имеет корней во множестве действительных чисел, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.
<img width=«88» height=«42» src=«ref-1_295265203-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">                       (1)
Пусть a < 0. В школьном курсе рациональная степень числа а не определяется, и это не случайно. Пусть (1) верно, тогда:
  <img width=«452» height=«42» src=«ref-1_295265519-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">
Противоречие.

Итак, получаем: левая положительная часть меньше отрицательной правой, что не имеет смысла.

Решим неравенство

<img width=«97» height=«43» src=«ref-1_295266349-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">

Возведем обе части неравенства в пятую степень, получим x – 2 > 32, откуда  x > 34.

Ответ: x > 34.

9. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на некоторое число, либо выражение.


Этот способ мы можем использовать, основываясь на теоремах 19 и 20 из параграфа «Неравенства и их основные свойства».
Пример 1.Решить неравенство:
  <img width=«250» height=«31» src=«ref-1_295266675-498.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">                                    (1)
Решение.Уединение радикала и возведение обеих частей полученного неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время, если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ неравенства:
  2х2 – 3х + 2 ³
откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части неравенства (1) на 2 получим
  <img width=«269» height=«32» src=«ref-1_295267173-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">
и далее
  <img width=«274» height=«30» src=«ref-1_295267675-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">

Полагая <img width=«133» height=«31» src=«ref-1_295268195-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">, получим   у2 – 2у — 8 ³0, откуда у £-2, у ³4.

Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:

  <img width=«154» height=«69» src=«ref-1_295268564-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">
Второе неравенство системы имеет решения  х £-2, х ³3,5,  а первое – не имеет решений, так левая часть неравенства неотрицательна, а правая отрицательна, это противоречит смыслу неравенства.

Все решения второго неравенства принадлежат ОДЗ неравенства  (1)  и получены при переходах к равносильным неравенствам.

Ответ: х £-2, х ³3,5.
Пример 2.Решить неравенство
<img width=«141» height=«28» src=«ref-1_295269021-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">                               (1)
Решение.ОДЗ неравенства:
  <img width=«145» height=«55» src=«ref-1_295269369-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">
Домножим обе части неравенства на выражение
  <img width=«145» height=«27» src=«ref-1_295269780-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">, имеющее ту же ОДЗ, что и неравенство (1).

Получим:
  <img width=«289» height=«33» src=«ref-1_295270136-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> 

или:
  <img width=«222» height=«57» src=«ref-1_295270702-564.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">

Последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ, т. к. –3 всегда будет меньше положительной правой части неравенства.

Ответ:  х ³1.
Пример 3.Решить неравенство
  <img width=«154» height=«50» src=«ref-1_295271266-413.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">
Решение.Найдем ОДЗ неравенства
  <img width=«260» height=«63» src=«ref-1_295271679-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">
Домножим обе части неравенства на  <img width=«82» height=«27» src=«ref-1_295272272-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">:
  <img width=«145» height=«58» src=«ref-1_295272555-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">
Последнее неравенство равносильно совокупности:

  <img width=«174» height=«143» src=«ref-1_295273045-648.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">

Из первой системы получаем  x < -2, а решением второй   системы  является    промежуток  <img width=«133» height=«28» src=«ref-1_295273693-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">

Объединяя их получаем:

            Ответ: <img width=«134» height=«28» src=«ref-1_295274053-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659">
10. Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях при решении иррациональных неравенств, либо разложения подкоренного выражения на множители.



Пример 1.Решить неравенство
<img width=«318» height=«34» src=«ref-1_295274422-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">
Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства, которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:
<img width=«404» height=«68» src=«ref-1_295274984-1071.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">
Решение.Найдем ОДЗ исходного неравенства
  <img width=«154» height=«118» src=«ref-1_295276055-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">                 <img width=«116» height=«51» src=«ref-1_295276754-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">               <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_295277084-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">
На промежутке [-1;4]третье и четвертое неравенства системы истинны.

Значит, ОДЗ  х Î[-1;4].

Перепишем заданное неравенство так:
  <img width=«270» height=«36» src=«ref-1_295277315-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">
откуда  <img width=«206» height=«37» src=«ref-1_295277870-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">

Но <img width=«102» height=«27» src=«ref-1_295278296-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">     и      <img width=«112» height=«28» src=«ref-1_295278603-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">, поэтому получаем:
  <img width=«193» height=«27» src=«ref-1_295278897-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669">
или:
  <img width=«145» height=«27» src=«ref-1_295279301-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">
В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в квадрат обе части неравенства
  <img width=«116» height=«27» src=«ref-1_295279656-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">
решение этого неравенства х Î[0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.

Ответ: х Î[0; 3].
Пример 2.Решить неравенство:
  <img width=«375» height=«33» src=«ref-1_295279986-623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">
Решение.Найдем ОДЗ неравенства:
  <img width=«135» height=«97» src=«ref-1_295280609-603.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">
откуда получаем x £1, х ³5, х = 2
Перепишем наше неравенство следующим образом:
<img width=«395» height=«31» src=«ref-1_295281212-723.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">
Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ, возведем в квадрат обе части этого неравенства, получим:
  <img width=«471» height=«109» src=«ref-1_295281935-1528.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">
Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна, поэтому имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное неравенство:
  (х – 2)2(х – 5)(х – 1) £9(х – 2)2(х – 1)2
или:
  (х – 2)2(х – 1) (х – 5 – 9х + 9)£

  (х – 2)2(х – 1) (4 – 8х)£
откуда методом интервалов получаем:  х £½,  х ≥ 1

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ: х £½,  х = 1, х ≥ 5, х = 2
11. Решение иррациональных неравенств путем проб, выводов.



Пример 1.Решить неравенство:
  <img width=«250» height=«27» src=«ref-1_295283463-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">                 (1)
Решение.Область определения неравенства  (1):       2 £х £3.

Прежде, чем возводить в квадрат обе части неравенства (1), необходимо убедиться в том, что обе его части  неотрицательны.

Однако, оказывается, что это не так.

Действительно, так как 2 £х £3, то 1 £х – 1 £2    и    3 £6 – х £4. А это значит, что <img width=«116» height=«27» src=«ref-1_295283927-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677"> или  <img width=«145» height=«27» src=«ref-1_295284257-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">.  Но <img width=«147» height=«27» src=«ref-1_295284602-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679">.  Таким образом, при всех значениях  х  из отрезка  2 £х £3   неравенство (1) выполняется. Итак, 2 £х £3  — решение неравенства.
Пример 2.  Решим неравенство:
  <img width=«202» height=«27» src=«ref-1_295284964-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">
Решение.Найдем ОДЗ неравенства:
  <img width=«87» height=«87» src=«ref-1_295285403-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681">
откуда получаем, что  ОДЗ неравенства  х = 2 – единственная точка. Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного неравенства.

Ответ:  х = 2.
12. Решение более сложных примеров.



Пример 1.Решить неравенство
  <img width=«279» height=«34» src=«ref-1_295285848-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">
Решение.Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.
  <img width=«279» height=«33» src=«ref-1_295286443-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">
Решением уравнения являются значения переменной  х = 0  и <img width=«57» height=«41» src=«ref-1_295287030-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684"> при любом действительном значении параметра   а.

Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно истинное, или тождественно ложное.
а) если a > 0, то <img width=«56» height=«41» src=«ref-1_295287307-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">  и числовая ось разбивается на следующие промежутки знакопостоянства:  x < 0, <img width=«153» height=«41» src=«ref-1_295287591-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">
<img width=«292» height=«81» src=«ref-1_295287955-645.coolpic» v:shapes="_x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1052 _x0000_s1053">



Рассмотрим промежуток  <img width=«57» height=«41» src=«ref-1_295288600-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687">.  Возьмем значение  х = а  из этого промежутка и подставим в данное неравенство. Получим:  <img width=«156» height=«34» src=«ref-1_295288885-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">  — истинное числовое неравенство. Следовательно, промежуток <img width=«66» height=«47» src=«ref-1_295289297-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689"> принадлежит решению.  Любое значение переменной  х, взятое из промежутка знакопостоянства  <img width=«83» height=«42» src=«ref-1_295289600-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">          , обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например,  при <img width=«40» height=«40» src=«ref-1_295289905-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">  имеем ложное числовое неравенство  <img width=«187» height=«55» src=«ref-1_295290143-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">.

Следовательно, промежуток <img width=«91» height=«46» src=«ref-1_295290743-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693"> не принадлежит решению.

Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства  x < 0, в данное неравенство, получим истинное числовое неравенство  <img width=«143» height=«34» src=«ref-1_295291081-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">. Значит, числовой промежуток  x < 0принадлежит решению. Итак, при  a > 0решением неравенства является объединение двух числовых промежутков  x < 0 и  <img width=«63» height=«45» src=«ref-1_295291489-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">.

б) если a < 0,то <img width=«56» height=«41» src=«ref-1_295291784-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">  и числовая ось разбивается на промежутки знакопостоянства <img width=«222» height=«44» src=«ref-1_295292069-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">.  Как и в первом случае, устанавливаем, что данное неравенство тождественно истинное в промежутках <img width=«62» height=«41» src=«ref-1_295292554-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698">  и  x > 0  и тождественно ложное в промежутке  <img width=«91» height=«38» src=«ref-1_295292837-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">.  Следовательно, при a < 0решением неравенства будет объединение двух числовых  промежутков  <img width=«65» height=«38» src=«ref-1_295293133-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"> и   x > 0.

в) при а = 0  <img width=«59» height=«43» src=«ref-1_295293412-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701">. Получим два промежутка знакопостоянства:  x < 0и x > 0, каждый из которых, как легко установить принадлежит решению.

Ответ:  1) при <img width=«145» height=«41» src=«ref-1_295293693-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">

             2) при <img width=«147» height=«41» src=«ref-1_295294066-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">.

Пример 2.Решить неравенство
  <img width=«243» height=«33» src=«ref-1_295294442-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">
ОДЗ:   5х – 7 ≥ 0

            log57 ≤ x < +∞

 

<img width=«250» height=«34» src=«ref-1_295294954-518.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">
Возводим обе части в квадрат:
          <img width=«297» height=«123» src=«ref-1_295295472-955.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">
решением последнего неравенства является промежуток  х ≤ 2. Учитывая ОДЗ получаем решение исходного неравенства log57 ≤ x ≤ 2.

Ответ: log57 ≤ x ≤ 2.
13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».



<img width=«541» height=«509» src=«ref-1_295296427-5609.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708">

<img width=«510» height=«248» src=«ref-1_295302036-2656.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">
14. Классические неравенства.



Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа неравенства. Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно используют специалисты, работающие в этой области математики.
Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.


Теорема 1.Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и bне меньше их среднего геометрического, т. е.:
          <img width=«97» height=«47» src=«ref-1_295304692-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">                             (1)
Равенство имеет место в том и только том случае, когда  a = b.
Доказательство.Поскольку квадратный корень может доставить немало хлопот, мы постараемся от него избавиться, положив  a = c2, b = d2, что допустимо, ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и bнеотрицательны. При этом соотношение (1), в справедливости которого для произвольных неотрицательных чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий вид:
          <img width=«106» height=«53» src=«ref-1_295305041-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">,                         (2)
где с и d– произвольные действительные числа.

Неравенство  (2) имеет место в том и только том случае, когда
          <img width=«126» height=«49» src=«ref-1_295305409-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712">,

что в силу основных правил, относящихся к неравенствам, равносильно тому, что
          с2 + d2 – 2cd ≥ 0                      (3)
Но с2 + d2 – 2cd = (с – d)2, значит неравенство  (3) равносильно
          (с – d)2  ≥ 0                              (4)
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно, что соотношение (4) всегда имеет место. Значит справедливы и неравенства (3), (2), (1). Равенство в формуле (4), а значит и в формуле (1) достигается в том и только в том случае, когда  c – d = 0, т.е. c = d, или, иначе говоря, когда a = b.

Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести геометрическим путем простого сравнения некоторых площадей.

Рассмотрим график функции  у = х, изображенный на рисунке.
<img width=«417» height=«378» src=«ref-1_295305779-4535.coolpic» v:shapes="_x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073 _x0000_s1074 _x0000_s1075 _x0000_s1076 _x0000_s1077">



Пусть  Sи Т точки прямой у = х  с координатами  (с, с) и (d, d). Рассмотрим также точки  Р(с, 0), Q(0, d), R(c, d). Так как длина отрезка ОР равна с, то длина отрезка PSтакже равна с. Поэтому площадь  ∆OPS, полупроизведение длин его основания и высоты равна <img width=«25» height=«44» src=«ref-1_295310314-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">.

Рассмотрим теперь прямоугольник OPRQ. Он полностью покрывается ∆OPS и ∆OQT, так что
 SOPS + SOQT ≥ SOPRQ                          (5)
Так как площадь прямоугольника OPRQ – произведение длин его основания и высоты – равна сd, то при помощи алгебраических символов соотношение (5) можно записать так:
          <img width=«106» height=«53» src=«ref-1_295305041-368.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">
Кроме того, легко видеть, что равенство достигается только тогда, когда площадь ∆TRS равна нулю, что возможно только при условии совпадания точек Sи Т, т. е. когда с = d.
Теорема 2. Среднее арифметическое любых трех неотрицательных чисел a, b и с не меньше их среднего геометрического, т.е.

          <img width=«137» height=«48» src=«ref-1_295310925-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">                     (1)

Равенство достигается в том случае и только том случае, когда а = b= с.

Доказательство: пусть а = х3, b= у3, с = z3.

Подставим эти значения в неравенство (1):

          <img width=«143» height=«52» src=«ref-1_295311343-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716">,                  (2)

что равносильно неравенству

          x3 + y3 + z3 – 3xyz ³0              (3)

Мы докажем теорему 2, если установим, что неравенство (3) имеет место для произвольных неотрицательных чисел x, y, z.

x3 + y2 + z2– 3xyz = (x + y + z + )(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) (4)

x + y + z – неотрицательное число, покажем, что

x2+ y2+ z2– xy – xz – yz ³0            (5)

Выпишем три неравенства x2 + y2³2xy, x2 + z2³2xz, y2 + z2³2yz (эти неравенства истинны по теореме 1) и сложим их почленно:

          2(x2 + y2 + z2) ³2(xy + xz + yz)

это неравенство равносильно неравенству (5). Равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = z.

Мы получили, что в (4) левая часть ³0, т.е. неравенство (3) имеет место. Но неравенство (3) равносильно (1). Теорема доказана. Условие x = y = zравносильно условию a = b = c.

Теорема будет верна и для nчисел, примем ее без доказательства.
Теорема 3.
Среднее  арифметическое   любых n  неотрицательных   чисел   а1, а2,…аnне меньше их среднего геометрического, т.е.

          <img width=«261» height=«60» src=«ref-1_295311754-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">

Равенство достигается в том и только том случае, когда а1 = а2 = аn.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Неравенство Коши.


а) Двумерный вариант:

          <img width=«261» height=«35» src=«ref-1_295312314-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">               (1)
для любых неотрицательных чисел a, b c, d.

Доказательство. Так как  a, b, c, d – неотрицательные, то ac + bd ³0 и имеем право возвести в квадрат обе части неравенства (1):

          (a2 + b2)(c2 + d2) ³(ac + bd)2                       (2)

В первую очередь отметим, что неравенство a2 + b2³2ab, на котором основывались все выводы в предыдущих теоремах, является простым следствием тождества a2 – 2ab + b2 = (a – b)2, верного для всех действительных чисел. Рассмотрим произведение

          (a2 + b2)(c2 + d2)

Произведя умножение, получим многочлен a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2,

Совпадающий с тем, который получается после раскрытия скобок в выражении (ac + bd)2 + (bc – ad)2

Отсюда получаем

          (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (bc – ad)2             (3)

Так как квадрат (bc – ad)2неотрицателен, то из (3) следует неравенство

          (a2 + b2)(c2 + d2) ³(ac + bd)2

для любых  действительных чисел a, b, c, d.

Мы получили неравенство (2) – неравенство Коши для любых действительных чисел a, b, c, d.

Для любых неотрицательных чисел a, b, c, dнеравенство Коши примет вид (1). Из соотношения (3) вытекает, что равенство в (2), а значит и в (1) достигается тогда и только тогда, когда

bc – ad = 0           (4)

В этом случае говорят, что две пары чисел (a, b) и (c, d)пропорциональны. При с ¹0 и d ¹0 условие (4) можно записать следующим образом:

          <img width=«60» height=«54» src=«ref-1_295312855-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">

Геометрическая интерпретация.

Рассмотрим треугольник, изображенный на рисунке.

<img width=«321» height=«244» src=«ref-1_295313166-2850.coolpic» v:shapes="_x0000_s1078 _x0000_s1079 _x0000_s1080 _x0000_s1081 _x0000_s1082 _x0000_s1083 _x0000_s1084 _x0000_s1085 _x0000_s1086 _x0000_s1087 _x0000_s1088 _x0000_s1089 _x0000_s1090 _x0000_s1091">



Очевидно, что длины отрезков  OР и OQ и PQопределяются равенствами

          ОР = (a2 + b2)½

          ОQ= (c2 + d2)½

                РQ= [(a – c)2 + (b – d)2]½

Обозначим угол между сторонами ОР и OQчерез q.На основании теоремы косинусов имеем:

          PQ2 = OP2 + OQ2 – 2OP ×OQ cosq

Подставляя значения OP, OQ, и РQ и упрощая полученное выражение, имеем
<img width=«271» height=«64» src=«ref-1_295316016-714.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">

Поскольку значение косинуса всегда заключено между –1 и +1, мы имеем

          -1 £cos q£1

или

          <img width=«261» height=«61» src=«ref-1_295316730-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">

значит

          <img width=«261» height=«37» src=«ref-1_295317370-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">

А это двумерный вариант неравенства Коши. Кроме того, мы видим, что равенство здесь   достигается тогда и только   тогда, когда сosq=1, т.е. когда  q= 0 или q= p, — другими словами в том и лишь в том случае, когда точки О, Р, и Qлежат на одной прямой. При этом должно иметь место равенство подъемов прямых ОР и OQ; иначе говоря, если с ¹0 и d¹0, то должно быть

<img width=«60» height=«54» src=«ref-1_295312855-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">
б) Трехмерный вариант неравенства Коши.

Вышеприведенная интерпретация неравенства Коши для двумерного случая хороша еще и тем, что позволяет нам при помощи геометрической интуиции легко сообразить, какой вид будут иметь аналогичные результаты, относящиеся к более сложному случаю любого числа измерений. Перейдем к случаю трехмерного пространства. Пусть Р(а1, а2, а3) и Q(b1, b2, b3)– две точки, не совпадающие с началом координат О (0, 0, 0). Тогда косинус угла qмежду прямыми ОР и OQбудет определяться равенством

          <img width=«374» height=«66» src=«ref-1_295318235-928.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">

которое, в силу того, что сosq£1, приводит к трехмерному варианту неравенства Коши для неотрицательных чисел аiи bi, i = 1, 2, 3

          <img width=«437» height=«44» src=«ref-1_295319163-764.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725">         (1)

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда три точки О, Р и Qлежат на одной прямой, что выражается соотношениями

          <img width=«117» height=«60» src=«ref-1_295319927-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">

имеющими смысл при условии, что все числа bi, стоящии в знаменателях отличны от нуля.

Чисто алгебраическое доказательство трехмерного варианта неравенства Коши (1) можно вывести из следующего тождества:

(a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)2 = (a12b22 + a22b12) +

+ (a12b32 + a32b12) + (a22b32 + a32b22) – 2a1b1a2b2 – 2a1b1a3b3 – 2a2b2a3b3 =

= (a1b2 – a2b1)2 + (a1b3 – a3b1)2 + (a2b3 – a3b2)2                         (2)

Очевидно, что последнее выражение в (2) неотрицательно, так как оно состоит из суммы трех неотрицательных членов. Поэтому

          (a12 + a22 + a32)(b12 + b22 + b32) – (a1b1 + a2b2 + a3b3)2  ³0.

Приведем еще одно доказательство этого неравенства, которое пригодится нам дальше.

Начнем с основного неравенства (х – у2) ³0, которое можно записать в следующем виде:

          <img width=«117» height=«57» src=«ref-1_295320356-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">                                  (3)

Неравенство (3) имеет место для любых действительных чисел х и у. Вместо х и у последовательно подставим в (3) следующие выражения:

сначала:

          <img width=«195» height=«66» src=«ref-1_295320771-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">         <img width=«191» height=«66» src=«ref-1_295321281-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">

затем

         

          <img width=«195» height=«66» src=«ref-1_295321819-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">         <img width=«191» height=«66» src=«ref-1_295322335-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">

и, наконец,

         

          <img width=«195» height=«66» src=«ref-1_295322875-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732">         <img width=«191» height=«66» src=«ref-1_295323386-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">

где ai, bi– действительные числа.

Складывая три полученных таким образом неравенства, имеем

          <img width=«358» height=«135» src=«ref-1_295323923-1614.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">,

что бесспорно равносильно неравенству

          (a12 + a22 + a32)½(b12 + b22 + b32)½³a1b1 + a2b2 + a3b3

А это неравенство равносильно неравенству (1) при ai, bi– неотрицательных.
в) n– мерный вариант неравенства Коши будет выглядеть так

          <img width=«559» height=«44» src=«ref-1_295325537-872.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735"> ,

где ai, bi, i = 1, 2, … n – неотрицательные числа.
Неравенство Гёльдера.



Одно из наиболее полезных неравенств математического анализа – неравенство Гёльдера. Оно утверждает, что для любой системы неотрицательных чисел aiи bi (i – 1, 2, …, n)

<img width=«482» height=«42» src=«ref-1_295326409-875.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">         (1)

где числа р и q удовлетворяют условию

          <img width=«89» height=«58» src=«ref-1_295327284-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">           и р > 1
Фактически мы докажем неравенство (1) только для рациональных р и q. Однако окончательный результат сохраняет силу и для иррациональных р и q.

Начнем с неравенства

          <img width=«122» height=«64» src=«ref-1_295327579-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">                        (2)

Оно выводится как частный случай теоремы о среднем арифметическом среднем геометрическом. Положим, что первые m чисел xiв неравенстве

          <img width=«290» height=«59» src=«ref-1_295328021-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">

равны некоторому неотрицательному числу х, тогда остается N-mчисел и пусть они равны неотрицательному числу у, т.е.

          x1 = x2 = … = xm = x

          xm+1 = xm+2 = … = xn = y

В этом случае теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом для чисел  x1, x2, …, xnпримет вид

          <img width=«242» height=«53» src=«ref-1_295328614-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">

или

          <img width=«252» height=«60» src=«ref-1_295329184-674.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">

Здесь n– любое целое число, а m– целое число значения которого заключены в пределах 1 £m £n – 1. Отсюда  следует, что число m/nможет быть любой рациональной дробью r, принадлежащей интервалу 0 < r < 1. Теперь последнее неравенство можно переписать так:

          rx + (1 – r)y ³xr y1-r                                    (3)

Это неравенство имеет место для любых неотрицательных чисел х и у и для любой дроби r, значения которой заключены между 0 и 1. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда х = у.

Обозначим число rчерез 1/р; поскольку 0 < r < 1, то p > 1. Отсюда
<img width=«156» height=«52» src=«ref-1_295329858-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742"> . Пусть <img width=«78» height=«51» src=«ref-1_295330222-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">, тогда <img width=«68» height=«50» src=«ref-1_295330529-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">  и  <img width=«89» height=«58» src=«ref-1_295327284-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745">

В этих обозначениях неравенство (3) принимает вид

          <img width=«142» height=«58» src=«ref-1_295331080-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746">                             (4)

С целью исключить из рассмотрения дробные показатели степени положим

х = ар, у = bр.

При этом неравенство (4) принимает вид

          <img width=«117» height=«62» src=«ref-1_295331566-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">, где a и b– неотрицательные числа, а р и q– такие рациональные числа, что <img width=«89» height=«58» src=«ref-1_295327284-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748">. Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда ар  = bр. Итак, мы вывели неравенство (2).

Положим

<img width=«204» height=«69» src=«ref-1_295332283-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">                 <img width=«194» height=«69» src=«ref-1_295332817-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">

затем

          <img width=«213» height=«72» src=«ref-1_295333365-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">               <img width=«194» height=«69» src=«ref-1_295333923-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">

и т. д. (как в доказательстве неравенство Коши) и сложим неравенства, получающиеся после последовательных подстановок этих значений в (2). При этом получим

<img width=«357» height=«135» src=«ref-1_295334488-1645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">                         (5)

Используя равенство <img width=«89» height=«58» src=«ref-1_295327284-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">, получаем неравенство, равносильное (1). Равенство в (5) достигается тогда и только тогда, когда все отношения bi/aiравны между собой.

Неравенство треугольника.



Из геометрии мы знаем, что сумма длин двух сторон треугольника не меньше длины его третьей стороны. Посмотрим, как можно выразить эту теорему алгебраически.

Рассмотрим треугольник ORP, расположенный так, как показано на рисунке.
<img width=«383» height=«244» src=«ref-1_295336428-4004.coolpic» v:shapes="_x0000_s1092 _x0000_s1093 _x0000_s1094 _x0000_s1095 _x0000_s1096 _x0000_s1097 _x0000_s1098 _x0000_s1099 _x0000_s1100 _x0000_s1101 _x0000_s1102 _x0000_s1103 _x0000_s1104 _x0000_s1105">



Геометрическое неравенство ОР + PR ³ORравносильно алгебраическому неравенству треугольника

          <img width=«425» height=«42» src=«ref-1_295340432-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">           (1)

Для доказательства возведем обе части неравенства (1) в квадрат, при этом мы придем к неравенству, равносильному (1):

<img width=«540» height=«38» src=«ref-1_295341218-925.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">

Легко видеть, что последнее неравенство в свою очередь равносильно неравенству:

<img width=«281» height=«38» src=«ref-1_295342143-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757">

Но это неравенство является простым следствием неравенства Коши

          <img width=«294» height=«34» src=«ref-1_295342725-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">,

что и доказывает неравенство треугольника.

Равенство в неравенстве треугольника, как и в неравенстве Коши достигается тогда и только тогда, когда х1 = кх2 и у1 = ку2, где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности.

Доказательство неравенства треугольника можно обобщить, следуя по тому же пути, что и при выводе неравенства Гёльдера, а именно доказать, что неравенство

<img width=«397» height=«79» src=«ref-1_295343369-1087.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">

имеет место для любых действительных значений xi, yi. Равенство достигается в том и только том случае, когда числа xiи yiпропорциональны и коэффициент пропорциональности положителен.

Рассмотрим еще одно доказательство неравенства треугольника, которое можно использовать также и для получения более общих результатов. Имеет место тождество

(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2 = х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2) + х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2)

Неравенство Коши в форме, использующей квадратные корни, применим по очереди к двум выражениям:

          х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2)   и

х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2).

Мы получим

(х12 + у12)1/2[(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2³  х1(х1 + х2) + у1(у1 + у2)         и

(х22 + у22)1/2[(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2³  х2(х1 + х2) + у2(у1 + у2)

Сложим эти два неравенства

[(х12 + у12)1/2 + (х22 + у22)1/2]*[(х1 + х2)2 + (y1+ у2)2]1/2³(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2

разделив обе части на общий множитель

[(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2 ,

будем иметь

(х12 + у12)1/2 + (х22 + у22)1/2³[(х1 + х2)2 + (у1 + у2)2]1/2

таким образом, мы еще раз доказали неравенство треугольника. Равенство опять будет иметь место тогда и только тогда, когда х1 = кх2 и у1 = ку2, где к – неотрицательный коэффициент пропорциональности, другими словами, тогда и только тогда, когда три точки О, Р и Qлежат на одной прямой, причем точки Р и Qрасположены по одну сторону от точки О.
Неравенство Минковского.



Неравенство Минковского утверждает, что для любых неотрицательных чисел х1, у1, х2, у2 при любом р>1

          (х1р + у1р)1/р + (х2р + у2р)1/р³[(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1/р             (1)

Неравенство треугольника составляет частный случай неравенства Минковского для р = 2 и их доказательства подобны.

Запишем тождество

(х1 + х2)р + (у1 + у2)р = [х1(х1 + х2)р-1 + у1(у1 + у2)р-1]×

×[х2(х1 + х2)р-1 + у2(у1 + у2)р-1]

и применим неравенство Гёльдера к каждому члену правой части этого тождества. В результате получим:

(х1р + у1р)1/р= [(х1 + х2)(р-1)q+ (у1 + у2)(р-1)q]1/q³  х1(х1 + х2)р-1 + у1(у1 + у2)р-1

и

(х2р+ у2р)1/р= [(х1 + х2)(р-1)q+ (у1 + у2)(р-1)q]1/q³  х2(х1 + х2)р-1 + у2(у1 + у2)р-1

Так как  <img width=«84» height=«55» src=«ref-1_295344456-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760"> , то (p – 1)q = p. Складывая последние два неравенства, имеем

[(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1/q[(х1р + у1р)1/р + (х2р + у2р)1/р]³(х1 + х2)р + (у1 + у2)р

Разделив затем на [(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1/q

получим

(х2р + у2р)1/р + (х1р + у1р)1/р³[(х1 + х2)р + (у1 + у2)р]1-1/q

Так как <img width=«87» height=«58» src=«ref-1_295344747-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">, то последнее неравенство полностью совпадает с требуемым неравенством Минковского (1).

Знак равенства в неравенстве (1) имеет место тогда и только тогда, когда точки (х1 у1) и (х2 у2) лежат на одной прямой с точкой (0, 0).

Аналогично обобщением неравенства Гёльдера и неравенства треугольника можно получить и неравенство Минковского для двух систем их nнеотрицательных чисел х1, х2, …, хnи у1, у2, …, уn. Оно имеет вид:

[х1р+х2р+… хnр]1/р+ [у1р + у2р+…+уnр]1/р³

³[(х1 + у1)р + (х2 + у2)р+ … +(хn+ уn)р]1/р, где р ³1

При p <1 знак неравенства следует изменить на обратный.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В дипломной работе изучен и дан анализ самостоятельной работе учащихся наряду с другими формами организации познавательной деятельности. На основе изученной психолого-педагогической  литературы дается характеристика этих форм, разработана методика применения самостоятельной работы вместе с иными формами организации познавательной деятельности на факультативных занятиях в выпускных классах средней школы, изучены учебные возможности учащихся в экспериментальной группе, проведена опытно- экспериментальная работа по включению самостоятельной работы школьников в процесс обучения.

Разработано и проведено 8 занятий по теме «Иррациональные неравенства». На основе изученной литературы дается анализ иррациональных неравенств и способов их решения.

Проведение опытно- экспериментальной работы подтверждает выдвинутую гипотезу. Применение самостоятельной работы учащихся способствует лучшему усвоению знаний, о чем свидетельствуют результаты контрольной работы, способствует повышению активности познавательной деятельности учащихся. Конечно, если бы эксперимент длился дольше, то результаты были бы более ощутимы.
ЛИТЕРАТУРА.
1.         Андреева И.Н. Индивидуальные творческие работы учащихся в обучении // Автореферат, МГПИ- М; 1967

2.       Аношнин А.П. Оптимизация форм организации учебной деятельности школьников на уроке. // Автореферат, ЧГУ- Челябинск: 1986

3.       Бабанский Ю.К. Оптимизация процесса обучения // Советская педагогика- М.: Просвещение

4.       Верцинская Н.Н. Индивидуальная работа с учащимися- Минск: 1983

5.       Дьяченко В.К. Организационные формы обучения и их развитие. //Советская педагогика- М: Просвещение, 1985, № 9

6.       Дьяченко В.К. Организационная структура учебного процесса и ее развитие- М: Педагогика, 1989

7.       Зотов Ю.Б. Организация современного урока.- М: Просвещение, 1984

8.       Лийметс Х.И. Групповая работа на уроке. – М: Просвещение, 1975

9.       Махмутов М.И. Вопросы организации процесса проблемного обучения. – Казань: Издательство Казанского университета, 1972

10.  Николаева Т.М. Сочетание общеклассной, групповой и индивидуальной работы учащихся на уроке как одно из средств повышения эффективности учебного процесса. //Автореферат, М: 1972

11.  Семенов Н.А. О способах организации обучения. //Советская педагогика, 1966, № 11

12.  Стрезикозин В.П. Организация процесса обучения в школе. //М: Просвещение, 1968

13.  Уфимцева М.А. Формы организации обучения в современной общеобразовательной школе. //М: Просвещение, 1986

14.  Хабиб О.А. Организация учебно-познавательной деятельности учащихся. –М: Педагогика, 1979

15.  Чередов И.М. Методика планирования школьных форм организации обучения. –Омск: Педагогика, 1983

16.  Чередов И.М. Пути реализации принципа оптимального сочетания форм организации учебной деятельности в 5-9 классах. //Автореферат, КГУ, Красноярск, 1970

17.  Чередов И.М. Система форм организации в советской общеобразовательной школе. –М: Педагогика, 1987

18.  Чередов И.М. Формы учебной работы в средней школе. –М: Просвещение, 1988

19.  Ю.В. Нестеренко и др. Задачи вступительных экзаменов по математике //М: Наука, 1980

20.  Белоносов В.С. Задачи вступительных экзаменов по математике в НГУ //Новосибирск, НГУ, 1992

21.  Литвиненко В.Н., Морднович А.Г. Практикум по элементарной математике. //М: Просвещение, 1991

22.  Литвиненко В.Н. Морднович А.Г. Практикум по решению математических задач. //М: Просвещение, 1984

23.  Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач. //М: Просвещение, 1979

24.  Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства //Минск: Народная Асвета, 1972

25.  Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа //М: Просвещение, 1990

26.  Коровкин П.П. Неравенства //М: Наука, 1974

27.  Башмаков М.И. Уравнения и неравенства //М: Наука, 1976

28.  Беккенбах Э., Беллман Р.  Введение в неравенства //М: Мир, 1965

29.   Невежский Г.Л. Неравенства //М: Учпедгиз, 1947

30.  Алгебра, 8 класс //М: Просвещение, 1980

    продолжение
--PAGE_BREAK--ПРИЛОЖЕНИЕ. 1.    Введение


Изучая школьную программу, я выяснила, что иррациональные неравенства не рассматриваются в курсе средней школы. В 11классе изучаются лишь иррациональные уравнения. Они входят в раздел «Показательные функции», и учитель может уделить им внимание в течение 2-3 уроков. Однако для тех учащихся, которые хотят иметь хорошую подготовку для поступления в ВУЗы этого явно недостаточно. Просматривая программы, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в НГУ и МГУ находим, что кроме иррациональных уравнений в них предлагается решить и иррациональные неравенства. Например, НГУ:
75 год механико-математический факультет

В-I  решить неравенство

<img width=«260» height=«33» src=«ref-1_295345037-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">

В-IIрешить неравенство  <img width=«194» height=«36» src=«ref-1_295345529-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">
81 год геолого – геодезический факультет

В-I решить неравенство       <img width=«127» height=«53» src=«ref-1_295345980-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">

В-IV решить неравенство    <img width=«127» height=«55» src=«ref-1_295346398-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">
81 год физический факультет

В – I  решить неравенство <img width=«198» height=«30» src=«ref-1_295346792-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">

В – II  решить неравенство <img width=«171» height=«30» src=«ref-1_295347217-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">
МГУ:
78 год механико – математический факультет

В-I  решить неравенство    <img width=«180» height=«35» src=«ref-1_295347611-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768">
79 год физический факультет

В-I  решить неравенство   <img width=«128» height=«33» src=«ref-1_295348017-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">
78 год химический факультет

В-I  решить неравенство   <img width=«263» height=«36» src=«ref-1_295348363-525.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">
Цели проведения и написания этого факультатива: подготовить учащихся к поступлению в ВУЗы, расширить и систематизировать полученные ранее сведения и решении иррациональных  уравнений, научить учащихся решать иррациональные неравенства, а также отработать технические навыки тождественных преобразований иррациональных уравнений. Данный материал требует достаточной логической грамотности учащихся, так как для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Необходимо довести до понимания учащихся, что несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними существует большое отличие. При решении неравенства невозможно проверкой установить «лишние» решения, которые могут появиться при возведении в четную степень. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное исходному. Цель дипломной работы – оказать конкретную помощь учителю в подготовке учеников  к поступлению в ВУЗы, в более углубленном изучении материала. Самым распространенным  методом обучения решению иррациональных неравенств является выявление типичных способов решения иррациональных неравенств. Наша задача – дать основные рекомендации для поиска решения неравенств и приобрести некоторый опыт при решении.

Занятие№1

Тема: Понятие иррационального неравенства, его особенности.

Цель:дать понятие об иррациональных неравенствах, научить находить ОДЗ иррациональных неравенств.
I. Вспомнить (вопросы классу):

1)     что называется корнем n– ной степени из числа а?

2)     Что называется арифметическим корнем n– ной степени из числа а (а³0)?

3)     Какие свойства арифметического корня n– ной степени вы знаете?

II. Самостоятельная работа на 2 варианта

          В – I                                                      В– II

1)     Докажите, что истинно равенство

<img width=«83» height=«87» src=«ref-1_295348888-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771">                                              <img width=«79» height=«87» src=«ref-1_295349374-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">

2)     Найдите значений корня

<img width=«115» height=«87» src=«ref-1_295349837-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">                                       <img width=«139» height=«87» src=«ref-1_295350395-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">

3)     Найдите значение выражения

<img width=«109» height=«95» src=«ref-1_295351044-582.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775">                                         <img width=«117» height=«95» src=«ref-1_295351626-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776">

4)     Решите уравнения

х3 = 4                                                     х4 = 10

х4 = -10                                                  х3 = -4

х6 = 7                                                     х5 = 6

5)     Решите уравнение и неравенства

<img width=«58» height=«92» src=«ref-1_295352219-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777">                                                   <img width=«64» height=«92» src=«ref-1_295352620-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">

6)     Найти значения выражения

<img width=«86» height=«65» src=«ref-1_295353026-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">                                             <img width=«73» height=«62» src=«ref-1_295353466-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780">

III. Учитель объясняет новый материал, опираясь не знания учащихся.

IV. Найти ОДЗ неравенств (учащиеся решают самостоятельно, затем устно проверяем ответы)

<img width=«384» height=«280» src=«ref-1_295353891-2900.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">

V. Д/з

1 группа самостоятельно разбирает тему «Простейшие иррациональные неравенства, содержащие радикал четной степени» и пишет доклады по этой теме по плану:

1)     Уединение радикала

2)     Решение неравенств вида <img width=«259» height=«33» src=«ref-1_295356791-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782">

3)     Решение неравенств вида <img width=«259» height=«33» src=«ref-1_295357398-607.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783">      

4)     Примеры
2 группа повторяет пройденный материал.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Занятие №2

Тема:Простейшие иррациональные неравенства, содержащие переменную под знаком радикала четной степени.

Цель:Отработать навыки решения иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком радикала четной степени.
I. Чтение доклада одним из учащихся 1 группы, дополнения остальных учащихся 1 группы, разбор у доски 3 – 4 примеров, которые ребята нашли и решили дома.

II. Следующие неравенства ребята решают самостоятельно, затем в парах проверяют решения друг у друга.

1)

   <img width=«276» height=«156» src=«ref-1_295358005-1019.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784">

                                                Ответ: х ³<img width=«19» height=«49» src=«ref-1_295359024-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">

2)

   <img width=«363» height=«211» src=«ref-1_295359242-1604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786">

                                                Ответ: х £-1 и х ³1
3)

   <img width=«487» height=«266» src=«ref-1_295360846-1650.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">
                                                Ответ: х ³<img width=«33» height=«52» src=«ref-1_295362496-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">

4)

   <img width=«449» height=«248» src=«ref-1_295362739-1838.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789">
<img width=«156» height=«104» src=«ref-1_295364577-546.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">

                                      Ответ: <img width=«166» height=«61» src=«ref-1_295365123-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791">
III. Д/з

1 группа самостоятельно разбирает простейшие иррациональные неравенства, содержащие переменную под знаком радикала нечетной степени и пишет доклад по плану:

1)     возведение неравенств в нечетную степень;

2)     примеры с решениями.

2 группа учит решение иррациональных неравенств, разобранных в классе, решает неравенства:

                                      1) <img width=«78» height=«21» src=«ref-1_295365534-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">

                                      2) <img width=«117» height=«48» src=«ref-1_295365793-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">

                                      3) <img width=«136» height=«55» src=«ref-1_295366139-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_295366590-169.coolpic» v:shapes="_x0000_s1106">
Занятие №3

Тема:Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком радикала нечетной степени.

Цель:Закрепление изученного, научить учащихся решать простейшие иррациональные неравенства, содержащие переменную под знаком радикала нечетной степени.
I. Повторение

1)     Расскажите правила решения неравенств вида

<img width=«125» height=«34» src=«ref-1_295366759-392.coolpic» v:shapes="_x0000_s1107">
     а)

 

<img width=«123» height=«34» src=«ref-1_295367151-394.coolpic» v:shapes="_x0000_s1108">
б)
<img width=«123» height=«34» src=«ref-1_295367545-390.coolpic» v:shapes="_x0000_s1109">
в)
<img width=«123» height=«34» src=«ref-1_295367935-395.coolpic» v:shapes="_x0000_s1114">
г)
2)     Решить неравенства (кто-то из учащихся 2 группы решает у доски, остальные – в тетрадях)

а) <img width=«145» height=«36» src=«ref-1_295368330-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">
  <img width=«511» height=«186» src=«ref-1_295368735-1558.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796">

                                                  Ответ: <img width=«166» height=«24» src=«ref-1_295370293-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">
б) <img width=«184» height=«30» src=«ref-1_295370641-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798">
  <img width=«367» height=«86» src=«ref-1_295371057-962.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799">

                                                  Ответ: <img width=«51» height=«22» src=«ref-1_295372019-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800">
II. Разбор нового материала (ребята из 1 группы рассказывают, объясняют свои примеры).
III. Самостоятельно решить неравенства

1)

   <img width=«168» height=«201» src=«ref-1_295372263-1011.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">

x(x-3)(x+2)>0

  <img width=«205» height=«12» src=«ref-1_295373274-251.coolpic» v:shapes="_x0000_s1110">




  -2       0          3

                               Ответ: <img width=«166» height=«26» src=«ref-1_295373525-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802">
2)

  <img width=«187» height=«271» src=«ref-1_295373894-1338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803">

                                        <img width=«156» height=«47» src=«ref-1_295375232-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">

 




<img width=«33» height=«48» src=«ref-1_295375669-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805"><img width=«214» height=«12» src=«ref-1_295375906-255.coolpic» v:shapes="_x0000_s1113">        0        <img width=«19» height=«51» src=«ref-1_295376161-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806">
Ответ: <img width=«170» height=«52» src=«ref-1_295376381-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807">
Ответы проверить в парах.
IV. Подведение итогов занятия: видим, что при возведение неравенств в нечетную степень эквивалентность не нарушается и под знаком радикала выражение может принимать любые значения. А в четную степень имеем право возводить только те неравенства, у которых обе части неотрицательны; под знаком радикала четной степени может стоять только неотрицательная функция.
V. Д/з

1 группа изучает тему «Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов четной степени», подбирает и решает неравенства по теме. Цель этой самостоятельной работы: научиться самим и научить затем ребят из второй группы решать такие неравенства.

2 группа повторяет изученное.
Занятие №4.


Тема:Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов четной степени.

Цель:отработка навыков решения иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов четной степени.
I.       Учащиеся из 1 группы у доски рассказывают новый материал, объясняют неравенства, которые они решили дома, с помощью учителя разбираются непонятные места.

II.                Делаем вывод: при возведении таких неравенств в четную степень эквивалентность не нарушается только тогда, когда обе части неравенства неотрицательны. Некоторые неравенства следует сначала привести к такому виду, когда ясно видно, что обе части его неотрицательны.

Решим пример (кто-то из ребят 2 группы решает у доски).
<img width=«482» height=«149» src=«ref-1_295376803-1548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">        
                                                Ответ: <img width=«70» height=«26» src=«ref-1_295378351-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809">

III.             Решить неравенства

1)<img width=«136» height=«29» src=«ref-1_295378628-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810">
<img width=«200» height=«126» src=«ref-1_295378984-776.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">

                                               Ответ: <img width=«80» height=«53» src=«ref-1_295379760-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812">
2)

     <img width=«251» height=«139» src=«ref-1_295380092-958.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813">
На ОДЗ <img width=«325» height=«30» src=«ref-1_295381050-522.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">

Значит неравенство истинно.

                                               Ответ: <img width=«70» height=«26» src=«ref-1_295381572-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815">

3)

<img width=«511» height=«333» src=«ref-1_295381857-2182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">                                                                         Ответ: <img width=«128» height=«62» src=«ref-1_295384039-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">
4) <img width=«160» height=«35» src=«ref-1_295384434-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818">

<img width=«597» height=«181» src=«ref-1_295384859-2146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819">
                                                Ответ: <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_295387005-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820">

5)

<img width=«617» height=«86» src=«ref-1_295387235-1161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821"><img width=«272» height=«145» src=«ref-1_295388396-1069.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822">

                                              Ответ: <img width=«51» height=«22» src=«ref-1_295389465-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823">
6)

        <img width=«540» height=«204» src=«ref-1_295389703-1752.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824">
                                              Ответ: <img width=«89» height=«24» src=«ref-1_295391455-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">
7) <img width=«165» height=«29» src=«ref-1_295391749-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">

        <img width=«559» height=«239» src=«ref-1_295392127-2359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827">

                                              Ответ: <img width=«89» height=«26» src=«ref-1_295394486-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828">
IV. Д/з

1 группа пишет доклады по теме: «Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов нечетной степени».    Особое внимание обратить на решение неравенств вида:

<img width=«195» height=«32» src=«ref-1_295394782-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829"> и неравенств, содержащих радикалы третьей и второй степени.

2 группа: повторение, решить неравенства а)<img width=«125» height=«28» src=«ref-1_295395293-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830">;

б)<img width=«188» height=«31» src=«ref-1_295395632-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831">

    продолжение
--PAGE_BREAK--Занятие №5

Тема:решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух и более радикалов нечетной степени.

Цель:познакомить учащихся с неравенствами, содержащими переменную под знаком двух и более радикалов нечетной степени и показать способы их решения.
I. Проверка Д/з 2 группы (устно)

II. Учащиеся 1 группы читают доклады, объясняют у доски решенные неравенства. Все остальные ребята с учителем разбирают решения.

III. Решить неравенства (решения проверить друг у друга в парах).

1)

    <img width=«103» height=«133» src=«ref-1_295396057-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832">

                                     Ответ: <img width=«46» height=«47» src=«ref-1_295396610-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833">

2)  <img width=«131» height=«31» src=«ref-1_295396859-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834">

<img width=«137» height=«115» src=«ref-1_295397235-673.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835">

<img width=«272» height=«12» src=«ref-1_295397908-257.coolpic» v:shapes="_x0000_s1116">                            
                                     -1                3

                                    

Ответ: <img width=«166» height=«26» src=«ref-1_295398165-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836">
3) <img width=«193» height=«27» src=«ref-1_295398545-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837">

найдем решение соответствующего уравнения:

    <img width=«187» height=«27» src=«ref-1_295398967-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838">

возводим в куб

    <img width=«453» height=«33» src=«ref-1_295399354-699.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839">

делаем замену

    <img width=«187» height=«27» src=«ref-1_295398967-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840">

    <img width=«348» height=«191» src=«ref-1_295400440-1612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">

Проверка:

1. <img width=«184» height=«28» src=«ref-1_295402052-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">

          -2=1 – ложно, корень х = 0 – посторонний

2.

<img width=«221» height=«151» src=«ref-1_295402437-1067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843">
<img width=«272» height=«37» src=«ref-1_295403504-351.coolpic» v:shapes="_x0000_s1117 _x0000_s1118">



                               <img width=«27» height=«54» src=«ref-1_295403855-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844">

                                      Ответ: <img width=«53» height=«46» src=«ref-1_295404130-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845">

4) <img width=«206» height=«32» src=«ref-1_295404407-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">

решим соответствующее уравнение:

    <img width=«194» height=«31» src=«ref-1_295404894-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">

возводим в куб

    <img width=«274» height=«31» src=«ref-1_295405369-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848">

делаем подстановку

        <img width=«208» height=«136» src=«ref-1_295405955-999.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849">

Проверка:

1. <img width=«251» height=«28» src=«ref-1_295406954-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850">

2.

<img width=«192» height=«50» src=«ref-1_295407429-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851">

<img width=«262» height=«39» src=«ref-1_295407931-352.coolpic» v:shapes="_x0000_s1119 _x0000_s1120">




1                                              3

Ответ: <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_295408283-351.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852">  
5) <img width=«148» height=«28» src=«ref-1_295408634-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">

возводим в куб

<img width=«341» height=«87» src=«ref-1_295409010-1164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854">

При <img width=«409» height=«30» src=«ref-1_295410174-616.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855">

Значит последнее неравенство на ОДЗ всегда истинно.

                                      Ответ: <img width=«53» height=«22» src=«ref-1_295410790-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">

6)

    <img width=«543» height=«203» src=«ref-1_295411033-1820.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">
                                      Ответ: <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_295412853-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858">

IV. Д/з

1 группа на примерах рассматривает решение иррациональных неравенств с параметрами.

2 группа учит рассмотренный в классе материал, решает неравенства

          а)<img width=«191» height=«27» src=«ref-1_295413129-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">

          б)<img width=«152» height=«30» src=«ref-1_295413572-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860">

    продолжение
--PAGE_BREAK--Занятие №6

Тема:Решение иррациональных неравенств с параметрами.

Цель:научить учащихся решать иррациональные неравенства с параметрами.
I. Вопросы классу

1)     Что называют параметрами?

2)     Когда неравенство, содержащее параметры считается решенным?

II. Учащиеся из 1 группы рассказывают о решении неравенств, которые они решали дома. Учитель помогает сделать выводы.

III. Решить неравенства

1)

          <img width=«434» height=«146» src=«ref-1_295413958-1174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861">

          <img width=«216» height=«76» src=«ref-1_295415132-594.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862">

          все значения <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_295415726-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863"> принадлежат ОДЗ, так как <img width=«60» height=«29» src=«ref-1_295416001-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864"> значит

          <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_295416271-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">

                                      Ответ:  1)<img width=«101» height=«25» src=«ref-1_295416535-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866">

                                                   2) <img width=«139» height=«29» src=«ref-1_295416819-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867">

2) <img width=«119» height=«27» src=«ref-1_295417151-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868">

ОДЗ неравенства <img width=«42» height=«22» src=«ref-1_295417473-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869"> 

а) при а< 0

    на ОДЗ <img width=«115» height=«27» src=«ref-1_295417699-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870"> всегда  и неравенство истинно

б) при <img width=«37» height=«22» src=«ref-1_295418014-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871">

    <img width=«200» height=«62» src=«ref-1_295418245-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872">
<img width=«130» height=«27» src=«ref-1_295418780-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873">

последнее неравенство имеет смысл при <img width=«80» height=«25» src=«ref-1_295419104-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874">, значит при <img width=«42» height=«23» src=«ref-1_295419371-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875"> нет решений

при <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_295419597-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876">

возводим в квадрат обе части неравенства

1–2а2 + a4> 4a2(x – 1)

a4+ 2a2 + 1 > 4a2x

(a2 + 1)2  > 4a2x

<img width=«101» height=«50» src=«ref-1_295419860-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877">

                                      Ответ: 1) при <img width=«105» height=«27» src=«ref-1_295420242-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878">

                                                  2) при <img width=«46» height=«25» src=«ref-1_295420528-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879"> нет решений

                                                  3) при <img width=«190» height=«49» src=«ref-1_295420756-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880">

3)

     <img width=«195» height=«66» src=«ref-1_295421238-620.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881">  

ОДЗ неравенства <img width=«104» height=«60» src=«ref-1_295421858-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">

а) при а = 0 нет решения

б) при а > 0 ОДЗ <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_295422274-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883"> 

          <img width=«370» height=«69» src=«ref-1_295422548-987.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884">

х= 0 и х = а не удовлетворяют неравенству х(х – а)< 0 на ОДЗ, а

<img width=«187» height=«33» src=«ref-1_295423535-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885"> всегда и неравенство истинно всегда

в) при а <0 ОДЗ х Î[a;0] неравенство истинно

                                      Ответ: а) если а> 0  0 < x < a

                                                  б) если а = 0  нет решения

                                                  в) если а< 0 <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_295423996-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886">
4) <img width=«138» height=«28» src=«ref-1_295424267-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887">

при а £0 неравенство не имеет смысла, так как получаем <img width=«216» height=«31» src=«ref-1_295424629-441.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">

при а >

<img width=«475» height=«243» src=«ref-1_295425070-1990.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889">

Сравним а2 и  <img width=«72» height=«54» src=«ref-1_295427060-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">:

<img width=«609» height=«68» src=«ref-1_295427381-1052.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891">

<img width=«130» height=«77» src=«ref-1_295428433-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892">

                                      Ответ: если a>2, то <img width=«126» height=«52» src=«ref-1_295428907-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893">

                                                  если a ³2, Æ
5) <img width=«225» height=«28» src=«ref-1_295429323-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894">

ОДЗ неравенства:

 <img width=«68» height=«133» src=«ref-1_295429784-428.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895">

а) при а = 0 ОДЗ х £

    при х = 0 решения нет

    при х< 0 <img width=«119» height=«28» src=«ref-1_295430212-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896">  — истинно

б) при а <

<img width=«300» height=«21» src=«ref-1_295430549-1111.coolpic» v:shapes="_x0000_s1121 _x0000_s1122 _x0000_s1123 _x0000_s1124 _x0000_s1125 _x0000_s1126 _x0000_s1127 _x0000_s1128 _x0000_s1129 _x0000_s1130 _x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143 _x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146">


                  2а           <img width=«28» height=«49» src=«ref-1_295431660-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897">        а         

ОДЗ х £2а

<img width=«322» height=«89» src=«ref-1_295431913-939.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898">

последнее неравенство истинно на ОДЗ, кроме х = 2а

в) при а>

 ОДЗ  х £  а

(а – х)(2а – х) >0

истинно на ОДЗ, кроме х = а

                                      Ответ:  а) при а = 0  х< 0

                                                   б) при a < 0  x < 2a

                                                   в) при а> 0  x < a

IV. Д/з

1 группа подбирает и решает неравенства по теме «Решение иррациональных неравенств» способом введения новой переменной».

2 группа решает неравенства

          а) <img width=«101» height=«29» src=«ref-1_295432852-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899">

          б) <img width=«215» height=«29» src=«ref-1_295433158-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900">
    продолжение
--PAGE_BREAK--