Практическая работа: Исследование функций

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

1.1 Локальные экстремумы функции

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

/>2. Исследование функций

2.1 Достаточные условия экстремума функции

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

Литература

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0– внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0функция f(х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £ f(х0).

Аналогично: функция f(х) имеет в точке х0локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) ³ f(х0).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х1, х3 – точки локального минимума, точки х2, х4 – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 – точка соответственно глобального минимума.

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то ар-1 – 1 делится на р).

Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0существует конечная производная f'(x0), то f'(x0) = 0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, в точке х0функция имеет локальный минимум, то есть f(х) ³ f(х0), х Î U(х0). Тогда в силу дифференцируемости

f(х) в точке х0получим:

при х > х0:

при х < х0:

Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f(х)и в этой точке существует производнаяфункции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f(х0)),параллельна оси Ох:

Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.

Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).

В точке х0= 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).

Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1].

В точке х0= 1 функция имеет краевой максимум. />/> Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0= 1 Ï (–1; 1).

Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.

Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f'(x) = 0.

Доказательство:

1) если f(x) = const на [a, b], то f'(х) = 0, х Î (a, b);

2) если f(x) ¹ const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка

[a, b]. Следовательно, max f(x)или min f(x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f'(x) = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f(x) в точке (x, f(x)) ïï Ox (см. рисунок).

--PAGE_BREAK--

Заметим, что все условия теоремы существенны.

Пример 3. f (x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.

В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1]производная в нуль не обращается.

Пример 4. />

Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала

(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1].

Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.

Теорема Коши. Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке

[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, х Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

/>. (1)

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию />/> Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0:

Следовательно:

/>.

Теорема доказана.

Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

/>(2)

Доказательство.

Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).

Теорема доказана.

Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (x, f(x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).

Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:

1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f'(x) = 0, х Î (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].

2. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f'(x) = g'(х), х Î (a, b). Тогда f(x) = g(х) + С, где С = const.

3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f'(x) >0, х Î (a, b), то f(x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x) <0,

х Î (a, b), то f(x) строго монотонно убывает на (a, b).

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

2.1 Достаточные условия экстремума функции

В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.

По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f(x) в точке локального экстремума х0следует, что f'(x0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0– экстремум функции f(x) и в этой точке существует производная, то f'(x0) = 0. Точки х0, в которых f'(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной

в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.

Пример 1.у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но

в точке х= 0 нет экстремума.

Точками, подозрительными на экстремум функции f(x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х= 0:

/>f'(0) = 0 f'(0) $f'(0) = ¥

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?».

Теорема 1(первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотойокрестности U(x) точки х(проколотая окрестность означает, что сама точка хвыбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х. Тогда:

продолжение
--PAGE_BREAK--

1) если />(1)

то в точке х– локальный максимум;

2) если />(2)

то в точке х– локальный минимум.

Доказательство.

Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < хфункция не убывает, а при х > хфункция не возрастает, то есть

/> (3)

Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0функция имеет локальный максимум.

Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:

f(x) f(x)

f'(х) ³0 f'(х) £0 f'(х) £0 f'(х) ³0

Теорема доказана.

Пример 2.Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию />с помощью производной первого порядка.

Решение.Найдем стационарные точки функции:

Þх2–1 = 0 Þх1= –1, х2= 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

(–¥; –1)

–1

(–1; 0)

(0; 1)

(1; +¥)

у'

–

–2

–

max min

То есть функция />возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке

х1= –1, равный уmax(–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х2= 1,

уmin(1) = 2.

Теорема 2(второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х– стационарная точка

(f'(х) = 0), в которой f''(х) > 0, то в точке хфункция имеет локальный минимум. Если же f''(х) < 0, то в точке хфункция имеет локальный максимум.

Доказательство.Пусть для определенности f''(х) > 0. Тогда

Следовательно:

при х< х, f'(х) < 0,

при х> х, f'(х) > 0.

Поэтому по теореме 1 в точке хфункция имеет локальный минимум.

Теорема доказана.

Пример 3.Исследовать на экстремум функцию />с помощью второй производной.

Решение.В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную />и стационарные точки х1= –1, х2= 1.

Найдем вторую производную данной функции:

Найдем значения второй производной в стационарных точках.

/> Þв точке х1= –1 функция имеет локальный максимум;

/> Þв точке х2= 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

продолжение
--PAGE_BREAK--

Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1, f(х1)) и В (х2, f(х2)) графика функции f(х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).

Функция f(х) называется выпуклой внизна интервале (a, b), если для любых точек х1, х2Î (a, b), а £ х1 < х2£ b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f(х) £у (х), х Î[х1, х2] Ì (a, b):

Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

Функция f(х) называется выпуклой вверхна интервале (a, b), если для любых точек х1, х2Î(a, b), а £х1< х2£b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f(х) ³у (х), х Î[х1, х2] Ì(a, b):

Теорема 3(достаточное условие выпуклости). Если f(х) – дважды непрерывно дифференцируемана интервале (a, b) и

1) f''(х) > 0, х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вниз;

2) f''(х) < 0, х Î(a, b), то на (a, b) функция f(х) выпукла вверх.

Точка хназывается точкой перегиба функцииf(х), если $d– окрест-ность точки х, что для всех х Î(х– d, х) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î(х, х+ d) – с другой стороны каса-тельной,проведенной к графику функции f(х) в точке х, то есть точка х– точка перегиба функции f(х), если при переходе через точку хфункция f(х) меняет характер выпуклости:

х– dх0 х+ d

Теорема 4(необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f(х) имеет непрерывную в точке хпроизводную f'' и х– точка перегиба, то f'' (х) = 0.

Доказательство.

Если бы f'' (х) <или f'' (х) >0, то по теореме 3 в точке хфункция f(х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f''(х) = 0.

Теорема доказана.

Теорема 5(достаточное условие перегиба). Если функция f(х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки хи при переходе через точку хпроизводная f''(х) меняет знак, то точка хявляется точкой перегиба функции f(х).

Пример 4.Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х3.

Решение.у' = 3х2, у'' = 6х = 0 Þх= 0 – точка, подозрительная на перегиб.

В точке х= 0 функция у = х3имеет перегиб:

(–¥; 0)

(0; +¥)

у''

продолжение
--PAGE_BREAK--

–

выпукла вверх

выпукла вниз

точка перегиба

Пример 5.Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции />.

Решение.В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции />. Так как />то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

(–¥; 0)

(0; +¥)

у''

–

выпукла вверх

–

выпукла вниз

функция не определена

2.3 Асимптоты графика функции

Асимптотойбудем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая х = хназывается вертикальной асимптотойграфика функции f(х), если хотя бы один из пределов f(х– 0) или f(х+ 0) равен бесконечности.

Пример 6.Найти вертикальные асимптоты функций:

а) />б) />в) />

Решение.Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х, где х– точки, в которых функция не определена.

а) х = 3 – вертикальная асимптота функции />. Действительно, />;

б) х = 2, х = –4 – вертикальные асимптоты функции />. Действительно,

/>,

/>;

в) х = 0 – вертикальная асимптота функции />Действительно, />.

Прямая у = kx+ bназывается наклонной асимптотойграфика непрерывной функции f(х) при х ®+¥или х ®–¥, если f(х) = kx+ b+ α(х), />, то есть если наклонная асимптота для графика функции f(х) существует, то разность ординат функции f(х) и прямой у = kx+ bв точке х стремится к 0 при х ®+¥или при х ®–¥.

Теорема 6.Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f(х) при х ®+¥или х ®–¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

/>(4)

Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.

Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции />

Решение. Найдем пределы (4):

продолжение
--PAGE_BREAK--

Следовательно, k = 1.

Следовательно, b = 0.

Таким образом, функция /> имеет наклонную асимптоту

у = kx + b = 1 · х + 0 = х.

Ответ: у = х – наклонная асимптота.

Пример 8. Найти асимптоты функции />.

Решение.

а) функция неопределенна в точках х1 = –1, х2 = 1. Следовательно, прямые х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.

Действительно, />.

/>;

б) у = kx + b.

Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции.

Ответ: х1 = –1, х2 = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп-

тоты.

2.4 Общая схема построения графика функции

1. Находим область определения функции.

2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

7. Строим график.

Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.

Функция у = f(х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f(х) = f(–х). График четнойфункции симметричен относительно оси ординат.

Функция у = f(х) называется нечетнойдля любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f(–х) = –f(х). График не-четнойфункции симметричен относительно начала координат.

Пример 9. Построить график />.

Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах.

1. D (у) = (–¥; 0) È (0; +¥).

2. /> Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.

3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

(–¥; –1)

–1

(–1; 0)

(0; 1)

(1; +¥)

у'

–

–2

–

max min

4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.

(–¥; 0)

(0; +¥)

у''

–

выпукла вверх

–

выпукла вниз

функция не определена

Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.

5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:

а) х = 0 – вертикальная асимптота;

б) у = х – наклонная асимптота.

6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как />, при любых х Î ú, а х = 0 Ï D(у).

7. По полученным данным строим график функции:

Пример 10. Построить график функции />.

Решение.

1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).

2. /> – функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

3х2 – х4 = 0, х2 · (3 – х2) = 0, х1 = 0, х2 = />, х3 = />.

(–¥;/>)