Практическая работа: Место аналогии в обучении математике в школе

--PAGE_BREAK--П о с т р о е н и е


Строим треугольник АС В1 по двум сторонам и углу между ними.
     От точки  А  на стороне  А В1  отло-                  Из вершины  С  проведем медиану СВ.

жим отрезок,  равный АВ.  Через  точ-                   через точки   В и С   проведем прямые,

ку  С  проведем  прямую   СР,   парал-                   параллельные   соответственно  В1С  и

лельную  основанию АВ;  затем через                    АВ. Точка Д пересечения этих прямых

точку В проведем прямую, параллель-                   будет четвертой вершиной искомого

ную В1С, до пересечения с прямой СР.                  параллелограмма АВСД.

Точка   Д   пересечения  этих  прямых

будет  четвертой   вершиной  искомой

трапеции АВСД.

<img width=«635» height=«2» src=«ref-1_292314781-165.coolpic» v:shapes="_x0000_s1089">

Мы описали различные подходы к обучению метода аналогии школьников 11-13 лет. По мере взросления учащихся им все чаще будут встречаться возможности для применения аналогии. Она может использоваться при формировании многих понятий стереометрии, при доказательстве теорем и решении задач. Однако учащиеся реализуют эти возможности лишь после специального обучения.

--PAGE_BREAK--АНАЛОГИЯ В ТЕОРЕМАХ О ПРЯМОЙ ЭЙЛЕРА, ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЕ

     

      В данном пункте будет приведен пример совместного рассмотрения известных теорем Эйлера, как на плоскости, так и в пространстве. Приведенные ниже утверждения достаточно известны, а их доказательства можно прочитать, например, в книгах И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии» или В. В. Прасолова «Задачи по планиметрии».

      Будут использованы следующие определения:

      Ортоцентр – точка пересечения высот (если она существует)

      Ортоцентрический тетраэдр – тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. (Далее все рассматриваемые тетраэдры будут только такими и термин ортоцентрический будет опущен.)

<img width=«22» height=«9» src=«ref-1_292314946-190.coolpic» v:shapes="_x0000_s1071"> <img width=«22» height=«9» src=«ref-1_292315136-190.coolpic» v:shapes="_x0000_s1070"> <img width=«22» height=«9» src=«ref-1_292315326-190.coolpic» v:shapes="_x0000_s1068">
      Центр масс (центроид) системы точек А1, А2, …, Аn– такая точка О, что ОА1+  ОА2 + … +ОАn= 0.

      Для большей наглядности приведем основные используемые понятия в виде таблицы.



Плоскость

Треугольник,

Центр масс – точка пересечения медиан, описанная окружность.
Ортоцентр, центр масс и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Серединный треугольник – треугольник с вершинами в серединах сторон (основаниях медиан),

Ортотреугольник – треугольник с вершинами в основаниях высот.

Для любого треугольника основания высот, основания медиан и середины отрезков прямых от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности – окружности девяти точек (окружности Эйлера). В частности, серединный треугольник и ортотреугольник вписаны в одну окружность.

 

Пространство

Тетраэдр,

Центр масс – точка пересечения отрезков, соединяющих вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани, она же точка пересечения средних линий (соединяющих середины противоположных ребер), описанная сфера.

Ортоцентр, центр масс и центр описанной сферы лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера.

Серединный тетраэдр – тетраэдр с вершинами в точках пересечения медиан граней,

Ортотетраэдр – тетраэдр с вершинами в основаниях высот исходного тетраэдра.

Для любого ортоцентрического тетраэдра центр масс и ортоцентры граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2/1, лежат на одной сфере – сфере 12 точек (сфере Эйлера). В частности, серединный тетраэдр и ортотетраэдр вписаны в одну и ту же сферу.

Замечание:ортоцентричность исходного тетраэдра равносильна тому, что его основания высот совпадают с точками пересечения высот противоположных граней. Для любого ортоцентрического тетраэдра окружности девяти точек каждой грани принадлежат одной сфере – сфере 24 точек (основания высот, проведенных к одному и тому же ребру, для ортоцентрического тетраэдра совпадают).

            На внеклассных занятиях со старшеклассниками и занятиях по методике  всячески практикуют “выходы в пространство”, использующие аналогию геометрических понятий. Школьники получают большое удовольствие, обнаруживая невидимые ранее связи. Причем не ограничиваются обсуждением доказательств теорем, но часто разбираются подобные теоремы, переформулируя их как задачи на построение. Для наглядной демонстрации подобной работы вновь следует обратиться к приведенным выше прямым и окружностям Эйлера.                                                           В качестве наиболее простой задачи предлагается рассмотреть равнобедренный прямоугольный треугольник и перенести полученные результаты на равнобедренный прямоугольный тетраэдр. Чтобы облегчить оформление рисунков и формулировку получаемых утверждений при обобщении обеих теорем Эйлера на пространство, рекомендуем выполнить рядом два рисунка, ввести аналогичные обозначения и постоянно сравнивать “плоские” и “пространственные” результаты. Причем, обнаружив и доказав какое-либо утверждение для плоского случая необходимо тут же стремиться отыскать его аналог для пространства.

 

Плоскость

1 этап: построение
ÐА3А1А2=90°, H1, H2А2= А1А3, М1, М2, М3 – середины соответствующих сторон, H1, H2, H3– основания высот, опущенных на стороны треугольника. Ц – центроид (в данном случае точка пересечения медиан).
2 этап: анализ

1)      М1= H1 по свойству равнобедренного треугольника.

2)      А1= H2= H3, так как треугольник прямоугольный.

3)      Вершина прямого угла А является также ортоцентром треугольника А1А2А3.

4)      Середина гипотенузы М1 является также центром описанной окружности (М1А1= М1А2= М1А3).

5)      М1М2М3   — серединный треугольник.

6)      Ортотреугольник H1H2H3 выражается в отрезок А1М1.

7)      Середины отрезков высот, опущенных из вершин А2  и  А3, от ортоцентра до соответствующих вершин совпадают с серединами сторон А1А2   и  А3А4 соответственно.
3 этап: выводы

1)      Ортоцентр треугольника, его центроид и центр описанной окружности лежит на одной прямой А1М1 (прямая Эйлера).

2)      Точки А1, М1, М2, М3 лежат на одной окружности с центром в середине отрезка А1М1 и радиусом равным А1М1/2.

Доказательство: пусть О – середина А1М1. Тогда треугольники А1М2М1 и А1М3М1 прямоугольные (по свойству средних линий треугольника) и, следовательно, М2О= М3О= А1М1/2 как медианы прямоугольных треугольников.

3)      Таким образом, вершины серединного треугольника, ортотреугольника и середины отрезков высот лежат на одной окружности (окружности Эйлера).

4)      Радиус окружности Эйлера равен половине радиуса описанной окружности.

 

Пространство

1 этап: построение
ÐА3А1А2=ÐА3А1А4=ÐА4А1А2=90°, А1А2= А1А3= А1А4; М1, М2, М3, М4 – центры масс (точки пересечения медиан соответствующих граней), H1, H2, H3, H4   — основания высот, опущенных на грани тетраэдра. Ц – его центроид (в данном случае точка, делящая отрезок А1М1 в отношении 3/1, считая от вершины).

2 этап: анализ

1)      М1= H1, так как треугольник А2А3А4 – равносторонний и все его медианы являются также и высотами (по свойству ортоцентрического тетраэдра, основание высоты, опущенной из вершины А1, совпадает с точкой пересечения высот).

2)      А1= H2= H3= H4, так как соответствующие грани являются прямоугольными треугольниками;

3)      Вершина прямого угла А1 является также ортоцентром тетраэдра А1А2А3А4.

4)      Центр описанной сферы лежит на прямой, содержащей высоту А1H1, опущенную на грань А2А3А4 (H1совпадает с точкой пересечения медиан М1 этой грани, а множество точек пространства, равноудаленных от вершин треугольника, есть перпендикуляр, проходящий через точку пересечения его медиан).

5)      М1М2М3М4 – серединный тетраэдр.

6)      Ортотетраэдр H1H2H3H4выражается в отрезок А1М1.

7)      Середины отрезков высот, опущенных из вершин А2, А3,  и  А4, от ортоцентра до соответствующих вершин совпадают с серединами ребер А1А2, А1А3 и А1А4 соответственно.

3 этап:выводы

1)      Ортоцентр тетраэдра, его центроид и центр описанной сферы лежат на одной прямой А1М1 (прямая Эйлера).

2)      Точки А1, М1, М2, М3 и М4 лежат на одной сфере с центром в середине отрезка А1М1 и радиусом равным А1М1/2.
Доказательство: пусть О – середина А1М1. В силу симметричности достаточно доказать для одной из боковых граней, например, для А1А2А4. Пусть К – середина А4А2, точка М3 лежит на отрезке А1К, причем А1М3=2М3К. Опустим из точки М1 перпендикуляр на грань А1А2А4. По свойству проекций основание этого перпендикуляра в точку пересечения медиан этой грани, т. е. в точку М3. Таким образом, треугольник А1М3М1 прямоугольный с гипотенузой А1М1. Следовательно, по свойству прямоугольных треугольников М1М3 = А1М1/2.

3)      Таким образом, вершины серединного тетраэдра, ортотетраэдра лежат на одной сфере (сфера Эйлера);

4)      В качестве упражнения можно вычислить, в каком отношении эта сфера делит ребра тетраэдра, примыкающие к прямому углу.



           

            В качестве домашнего задания учащимся предлагается проверить теоремы Эйлера с помощью построений на произвольном треугольнике и попытаться аналогично приведенным выше рассуждениям вывести утверждения для произвольного ортоцентрического тетраэдра.

            На последующих занятиях можно провести обобщение плоского случая на пространственный с помощью метода координат.

            Обращаясь вновь к рассматриваемому выше треугольнику, можно ввести координаты так, что точка А1 будет иметь координаты (0; 0), точка А1 (4;0), точка А3 (0;4), тогда координаты остальных точек: М1 (2; 2), М2 (0; 2), М3 (2; 0), Ц (4/3;43). Выведем уравнение окружности, проходящей через точки А1,  М2 и М3 (для определения окружности достаточно трех точек) в виде (x-a)2+(y-b)2=R2. Тогда:

(0-a)2+(0-b)2=R2Ûa2+b2=R2,

(0-a)2+(2-b)2=R2Ûa2+4-4b+b2=R2,

(2-a)2+(0-b)2=R2Û4-4a+a2+b2=R2.

            Из этой системы трех уравнений получаем a=1, b=1, R=Ö2 и уравнение окружности: (x-1)2+(y-1)2=2. Непосредственной подстановкой координат точки М1 в полученное уравнение убеждаемся, что точка М1 принадлежит окружности.

            Аналогично для пространства. Введем пространственные координаты так, чтобы точка А1 имела координаты (0; 0; 0), точка А2 (6; 0; 0), точка А3 (0; 0; 6), точка А4 (0; 6; 0). Тогда координаты остальных точек — М1 (2; 2; 2), М2 (0; 2; 2), М3 (2; 2; 0), М4 (2; 0; 2), Ц (3/2; 3/2; 3/2). Выведем уравнение окружности, походящей через точки А1, М1, М2 и М3 (для определения сферы нужно уже четыре точки). Уравнение сферы будет иметь вид (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=3.Принадлежность остальных точек этой сферы можно легко проверить простой подстановкой координат в уравнение.


ПРИМЕНЕНИЕ  АНАЛОГИИ  ПРИ  РЕШЕНИИ  ЗАДАЧ
Не менее полезно воспитывать у школьников привычку сознательно привлекать аналогию при поиске способов решения предложенной им трудной задачи. В этом случае можно рекомендовать им следующий план работы над задачей.

       1. Подобрать задачу, аналогичную данной, т. е. такую, у которой имелись бы, по сравнению с данной, сходные условия и сходное заключение; вспомогательная задача должна быть проще данной или такой, решение которой известно.

       2. Решить вспомогательную задачу; затем провести аналогичные рассуждения при решении данной задачи.

Например, к аналогии с планиметрическими задачами полезно обращаться при решении стереометрических задач.

При этом полезно, чтобы школьник пытался (если это возможно) самостоятельно сформулировать и решить аналогичную планиметрическую задачу. Рассмотрим, например, задачу: «На сколько частей могут разделить пространство четыре произвольно расположенные плоскости?»

Четыре плоскости определяют тетраэдр. Эта фигура напоминает нам 3 пересекающиеся прямые на плоскости.

            Естественно возникает вспомогательная задача, аналогичная данной: «На сколько частей могут разделить плоскость 3 произвольные прямые?».

            Решим сначала вспомогательную задачу (рис.11). В общем случае три прямые могут разделить плоскость на 7 частей, одна из них ограничена (внутренняя область треугольника), а другие, неограниченные части плоскости (таких 6) имеют с внутренней областью общую границу по стороне треугольника или по продолжению его сторон. В этом случае плоскость оказывается разделенной всего на 1+3+3=7 частей.

            Теперь приступим к решению основной задачи (рис.12).

            В общем случае, 4 плоскости могут разделить пространство на следующие части: одна из них ограничена – внутренняя область тетраэдра; неограниченные части пространства имеют общую границу с внутренней областью по грани тетраэдра (4 части), или по его ребру (6 частей), или по плоскостям, проходящим через его вершины (еще 4 части).

            В этом случае пространство оказывается разделенным всего на 1+4+6+4=15 частей.
            Чтобы школьники могли лучше усвоить этот прием решения задач, целесообразно время от времени предлагать им задачи, при решении которых метод аналогии оказывается полезным. При этом поначалу полезно предлагать учащемся не одну, а две (или более) взаимосвязанные по содержанию задачи, формулируя условие каждой из них одновременно. Например:

a)      выразите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, через его высоты;

b)      выразите радиус шара, вписанного в тетраэдр, через высоты этого тетраэдра.


ОШИБКИ,  СВЯЗАННЫЕ  С  ПРИМЕНЕНИЕМ  АНАЛОГИИ
Наряду с полезной эвристической ролью, которую играют в процессе обучения умозаключения по аналогии, они же могут приводить отдельных учащихся, которые не усвоили или формально, неосмысленно усвоили учебный материал, к грубым ошибкам. Например:

 от (a+ b)c= ac+ bc  к  (a+ b)2= a2+ b2;

 от ab/ac= b/c  к  a+ b/ac= b/cи т. п.

            В подобных случаях учащиеся пытаются заменить аналогией отсутствующие у них знания, тогда как аналогия должна опираться на знание изученного материала, помогать сознательному усвоению и правильному применению этих знаний, развитию самоконтроля. Необходимо требовать от учащихся постоянно обосновывать выполняемые математические операции ссылками на изученный теоретический материал, чтобы добиться сознательного и прочного усвоения его. При решении упражнений необходимо руководствоваться принципом: «сначала правило, потом действие; без правила нет действия!». Да и в процессе преподавания надо не только подчеркивать истинные аналогии, но и отмечать ложные, разрушать их с целью предупреждения возможных ошибок. Следует выяснить с учащимися, где данное правило применяется, а где и почему нельзя применять. Многие из грубых ошибок учащихся связаны с неправомерным распространением распределительного свойства на всевозможные операции.  

            Учителю математики полезно знать о трех типичных ошибках, которые порождены неявным применением аналогии. Такие «вредные» (ложные) аналогии часто возникают у школьников стихийно; и сами школьники и учитель не всегда отдает себе отчет в происхождении этих ошибок (а значит, и в возможностях их исправления).

            Ограничимся несколькими примерами.

1.Наличие общности в свойствах сложения и умножения чисел иногда приводит к возникновению у школьников ошибочной аналогии о сходстве этих действий и в других свойствах. Так, например, при решении упражнения вида a+b/c+bпо ложной аналогии с сокращением на общий множитель учащиеся «сокращают» это выражение на слагаемое: a+b/c+b=a/c.

2.Нередкая ошибка вида Öа2+b2=a+bтакже является результатом ложной аналогии со способом извлечения квадратного корня из произведения Öа2b2=½ab½. К тому же виду ошибок принадлежит и весьма распространенная ошибка logc(a+b)=?logca+ logcb, порожденная ложной аналогией с верным равенством logcab= logca+ logcb, где a>0, b>0.

3.Очень распространена ошибка, приводимая психологом Н. А. Менчинской: «Учащийся при решении примера 96: 16 = 10 допускает ошибку, в основе которой лежит ошибочное умозаключение по аналогии 96: 16 = 10 (?), потому что 90: 10 = 9 и 6: 6 = 1; 9 + 1 = 10. В приведенном примере мы имеем перенесение в операцию деления приемов, употреблявшихся при сложении и вычитании чисел. Это ошибочное умозаключение возникло из привычного оперирования в отдельности десятками и единицами при сложении и вычитании чисел и делении их на однозначное число».

4.Замечая частые аналогии между многими понятиями и предложениями планиметрии и стереометрии, учащиеся часто переносят их в ситуации, где они оказываются ложными. Этим, пожалуй, объясняются весьма распространенные ошибочные ответы учащихся 9 – 10 классов: «Через данную на прямой точку в пространстве можно провести только один перпендикуляр к этой прямой», или «Две прямые в пространстве, перпендикулярные к одной и той же третьей прямой, всегда параллельны между собой», или «Две плоскости, перпендикулярные к одной и той же третьей плоскости, всегда параллельны между собой» и т. п.

Понятно, что учителю нужно уметь вовремя предостеречь учащихся от ложных аналогий, указывая при этом на происхождение тех или иных допускаемых ими ошибок.

Вывод по аналогии может иногда и не подтвердиться полностью, или подтвердиться лишь частично.

П р и м е р. Площадь любого треугольника выражается формулой Герона:

S=Öp(p-a)(p-b)(p-c).

Изыскивая формулы для вычисления площади четырехугольников, мы можем задаться вопросом: верна ли аналогичная формула для четырехугольника?

Исследование этого вопроса показывает, что для 4-угольников, вписанных в окружность (и только для них!), справедлива следующая формула для вычисления площади:

S=Öp(p-a)(p-b)(p-c)(p-d).
Оказалось, что здесь полная аналогия не имеет места.

Отправляясь далее от обнаруженной аналогии в формулах, можно выяснить причину этой аналогии: существует связь между треугольником (многоугольником, который всегда можно вписать в окружность) и 4 – угольником (не всяким, а только таким, который можно вписать в окружность).

Итак, существенным признаком, объединяющим треугольник и 4 – угольник (в смысле общности формулы Герона), является возможность вписать их в окружность.

Сравнение двух понятий (треугольник и 4-угольник) завершилось в этом случае неполным обобщением: лишь для части объектов, входящих во второе понятие, верна «обобщенная формула Герона».

В данном примере, хотя аналогия в целом и не подтвердилась, она послужила источником новых мыслей (например, треугольник можно рассматривать как вырожденный вписанный 4 – угольник).

Пусть вершина Д вписанного 4-х угольника АВСД приближается как угодно близко к вершине А. (рис.13). Тогда сторона АД=dв пределе становится равной нулю и обобщенная формула превращается в обычную формулу Герона:
S=Ö(p-a)(p-b)(p-c)(p-0)= Ö(p-a)(p-b)(p-c)p.
            Итак, применение аналогии доставляет нам “благоприятную возможность более точно исследовать открытые свойства и доказать или опровергнуть их: в обоих случаях мы научимся чему-нибудь полезному”.



    продолжение
--PAGE_BREAK--