Практическая работа: Развитие аналитической геометрии

--PAGE_BREAK--Аналитическая геометрия Ферма
К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских ма­тематика XVII в.— Ферма и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Adlocospianosetsolidosisagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» — термины греческой геометрии — означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности урав­нений.

Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitatesignotae), налицо имеется место, и ко­нец одной из них описывает прямую или же кривую линию… Для уста­новления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»[3]. Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямоли­нейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZи алгебра­ически буквой А, а вторую соответственно ZIи Е. Затем по порядку рас­сматриваются различные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма вы­водит в форме

Dна А равно В на Е,

т. е. dx
=
by(на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу со­стоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с -dx
=
byФерма переходит к d
(r

-
х)= by,где dr
= с.Идею преобразования координат путем па­раллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в сле­дующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть b2-x2= у2, он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение

b2-2dx= у2 + 2r
у.
<img width=«139» height=«146» src=«ref-1_297597136-2272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">

Для этого он производит дополнение до квадрата

p1
-
(х + d)2 = (у + r)2, где р2= r2+ b2+ d2,

затем пишет снова xвместо x+ dи yвместо у + rи получает

p2-x2= у2.

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрица­тельных координатах, какими оказываются координаты центра (-d, -r) в данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x2= dyи симметричное у2 = dx, для эллипса (b2-x2)/y2= const (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b2+ x2)/y2= const. Любопытно, что на рисунке в по­следнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b2-2x2= 2xy
+у2 Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют пе­реходу к новой системе координат X,Yс прежним началом и осью орди­нат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_297599408-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">х,Y = x+ у, так что (2b2—
X2)/Y2= 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест»[4]. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созда­нию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое ны­нешнее наименование лишь в самом конце XVIII в.[5]
    продолжение
--PAGE_BREAK--