Практическая работа: Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений

--PAGE_BREAK--§3. Программа по математике. В школьном курсе «Алгебра и начала анализа» учащиеся систематически изучают показательную и логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования логарифмических и показательных выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями, утверждениями. В XIклассе на уроки алгебры уходит по 3 часа в неделю, всего получается 102 часа в год. На изучение показательной, логарифмической и степенной функции по программе уходит 36 часов. В программу входит рассмотрение и изучение следующих вопросов: Понятие о степени с рациональным показателем. Решение иррациональных уравнений. Показательная функция, её свойства и график. тождественные преобразования показательных выражений. Решение показательных уравнений и неравенств. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, её свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств. Производная показательной функции. Число <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_301711855-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> и натуральный логарифм. Производная степенной функции. Основной целью раздела изучения показательной и логарифмической функции является ознакомление учащихся с показательной, логарифмической и степенной функцией; научить учащихся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Понятия корня <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">-ой степени и степени с рациональным показателем являются обобщением понятий  квадратного корня и степени с целым показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при введении показательной функции. Изучение свойств показательной, логарифмической и степенной функции построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров. Показательные и логарифмические неравенства решаются с опорой на изученные свойства функций. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.
Глава 2. Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений


§1. Обобщение понятия степени.

Определение: Корнем <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301712021-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">-ой степени из чиста <img width=«16» height=«18» src=«ref-1_301712113-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070"> называется такое число, <img width=«16» height=«19» src=«ref-1_301712021-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">-я степень которого равна <img width=«16» height=«18» src=«ref-1_301712113-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">.

Согласно данному определению корень <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">-ой степени из числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074"> – это решение уравнения <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_301712549-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">. Число корней этого уравнения зависит от <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">. Рассмотрим функцию <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301712842-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">. Как известно, на промежутке <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_301713006-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> эта функция при любом <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">возрастает и принимает все значения из промежутка <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_301713006-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">. По теореме о корне уравнение <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_301712549-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> для любого <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_301713495-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> имеет неотрицательный корень и при том только один. Его называют арифметическим корнем <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">-ой степени из числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> и обозначают <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_301713834-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">; число <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> называют показателем корня, а само число <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> – подкоренным выражением. Знак <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_301714123-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089"> называют так же радикалом.

Определение:Арифметическим корнем <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">-ой степени из числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091"> называют неотрицательное число, <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">-я степень которого равна <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">.

При четных <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> функция <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301712842-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"> четна. Отсюда следует, что если <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301714820-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">, то уравнение <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_301712549-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">, кроме корня <img width=«56» height=«25» src=«ref-1_301715065-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">, имеет также корень <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_301715225-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">. Если <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301715393-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">, то корень один: <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301715510-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">; если <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301715624-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">, то это уравнение корней не имеет, поскольку четная степень любого числа неотрицательна.

При нечетных значениях <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103"> функция <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301712842-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104"> возрастает на всей числовой прямой; её область значений – множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_301712549-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">имеет один корень при любом <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">и, в частности, при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301715624-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">. Этот корень для любого значения <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">обозначают <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_301713834-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">.

Для корней нечетной степени справедливо равенство <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_301716524-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">. В самом деле, <img width=«235» height=«29» src=«ref-1_301716722-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">, т.е. число –<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_301713834-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112"> есть корень <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">-й степени из <img width=«25» height=«15» src=«ref-1_301717373-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">. Но такой корень при нечетном <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> единственный. Следовательно, <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_301716524-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">.

Замечание 1:Для любого действительного <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301717749-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

<img width=«180» height=«53» src=«ref-1_301717833-565.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

Замечание 2:Удобно считать, что корень первой степени из числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> равен <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">. Корень второй степени из числа <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

Напомним известные свойства арифметических корней <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">-ой степени.

Для любого натурального <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">, целого <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301710245-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> и любых неотрицательных целых чисел <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> и <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301718991-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126"> справедливы равенства:

1. <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_301719079-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">

2. <img width=«128» height=«48» src=«ref-1_301719322-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

3. <img width=«137» height=«29» src=«ref-1_301719712-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">

4. <img width=«133» height=«28» src=«ref-1_301720017-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

5. <img width=«245» height=«29» src=«ref-1_301720298-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">.




Степень с рациональным показателем.

Выражение <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_301720781-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> определено для всех <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">, кроме случая <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301715393-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301721166-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">. Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">, <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301718991-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138"> и любых целых чисел <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_301711767-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139"> и <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140"> справедливы равенства:                                          <img width=«245» height=«24» src=«ref-1_301721631-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">

<img width=«231» height=«49» src=«ref-1_301721996-538.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

<img width=«143» height=«24» src=«ref-1_301722534-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">

Отметим так же, что если <img width=«41» height=«15» src=«ref-1_301722791-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">, то <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_301722908-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> при <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_301723050-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146"> и <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_301723164-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> при <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_301723306-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">.

Определение:Степенью числа <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301714820-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> с рациональным показателем <img width=«44» height=«41» src=«ref-1_301723568-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">, где <img width=«17» height=«15» src=«ref-1_301711767-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> – целое число, а <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301711683-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> – натуральное <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_301723893-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">, называется число <img width=«36» height=«27» src=«ref-1_301724031-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">.

Итак, по определению <img width=«73» height=«35» src=«ref-1_301724174-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">.

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).
§2. Показательная функция.

Определение:Функция, заданная формулой <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301724382-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156"> (где <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301714820-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">, <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_301724633-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">), называется показательной функцией с основанием <img width=«13» height=«18» src=«ref-1_301724747-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1.     Область определения – множество <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301724835-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> действительных чисел.

2.     Область значений – множество <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301724926-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> всех положительных действительных чисел.

3.     При <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_301723050-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> функция возрастает на всей числовой прямой; при <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_301723306-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> функция убывает на множестве <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301724835-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">.

График функции <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301724382-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> (рис. 1)
Рис. 1

4.     При любых действительных значениях <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301717749-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301725592-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> справедливы равенства                               <img width=«160» height=«44» src=«ref-1_301725681-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

<img width=«173» height=«49» src=«ref-1_301726016-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

<img width=«79» height=«28» src=«ref-1_301726462-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

Эти формулы называют основными свойствами степеней.

Можно так же заметить, что функция <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_301724382-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> непрерывна на множестве действительных чисел.
§3. Логарифмическая функция.

Определение:Логарифмом числа <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301718991-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> по основанию <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> называется показатель степени, в которую нужно возвести основание <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">. Что бы получить число <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_301718991-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.

Формулу <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_301727146-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> (где <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_301727303-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301714820-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> и <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_301724633-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_301714820-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> (<img width=«36» height=«19» src=«ref-1_301724633-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">)и любых положительных <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301717749-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> и <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_301725592-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> выполнены равенства:

1. <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_301728063-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">

2. <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_301728227-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

3. <img width=«163» height=«24» src=«ref-1_301728390-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

4. <img width=«159» height=«44» src=«ref-1_301728680-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

5. <img width=«123» height=«25» src=«ref-1_301729023-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> для любого действительного <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_301729263-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">.

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: <img width=«103» height=«47» src=«ref-1_301729353-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">.

Пусть <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> – положительное число, не равное 1.

Определение:Функцию, заданную формулой <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_301729753-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> называют логарифмической функцией с основанием <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_301712465-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.

Перечислим основные свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_301724926-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, т.е. <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_301730109-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.

2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_301723050-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">) или убывает (при <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_301723306-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">).

График функции <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_301729753-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> (рис. 2)
Рис. 2

Графики показательной и логарифмической функций, имеющих одинаковое основание, симметричны относительно прямой <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_301730737-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> (рис. 3).
Рис. 3

    продолжение
--PAGE_BREAK--