Практическая работа: Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практи

--PAGE_BREAK--1.   Моделі і методи прийняття управлінських рішень.


При прийнятті рішень в практиці управління постає питання про задачу прийняття рішень. Отже спробуємо з’ясувати навіщо менеджери приймають рішення і чого вони таким чином досягають.

Задача прийняття рішень спрямована на визначення найкращого (оптимального) або сприятливого способу  дій для досягнення однієї або декількох цілей. Під ціллю розуміється в широкому смислі ідеальне уявлення бажаного стану чи результату діяльності[3, c.11].Бажаний стан чи результат для особи, що приймає рішення може означати прибуток фірми, заволодіння долею ринку, подолання конкурентної боротьби, зниження собівартості продукції тощо. Найчастіше у житті трапляється так, що бажаний стан дещо віддалений або взагалі відсутній і той стан який існує в конкретний момент прийнято називати фактичним станом, тобто тим, що не залежить від волі особи, яка приймає рішення (ОПР). Отже, якщо фактичний стан не відповідає бажаному стану, то має місце проблемна ситуація, або проблема, виробітка плану подолання якої і складає сутність задачі прийняття рішень.

Проблемна ситуація може виникати за умов коли:

·        функціонування управлінської системи в певний момент часу не забезпечую досягнення бажаних цілей організації;

·        функціонування цієї системи не може забезпечити досягнення цих цілей і в майбутньому;

·        система вимагає докорінних змін поставлених цілей.

Виявлення проблемної ситуації являє собою 1-й етап процесу прийняття рішень. Для того, щоб не забігати наперед, слід зробити перелік всіх етапів цього процесу, лише після чого перейти до розгляду власне методології процесу. Таким чином процес прийняття управлінських рішень складається з наступних етапів:
<img width=«414» height=«164» src=«ref-1_312884889-2939.coolpic» v:shapes="_x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056">
                          
<img width=«12» height=«27» src=«ref-1_312887828-232.coolpic» v:shapes="_x0000_s1059">


                                  
<img width=«12» height=«27» src=«ref-1_312888060-234.coolpic» v:shapes="_x0000_s1061">                      

          Рис.1

Другий етап процесу прийняття рішень – це накопичення інформації з проблеми, а саме збирання відомостей щодо проблеми, яка вирішується. На третьому етапі при опрацюванні альтернатив менеджер повинен враховувати такі вимоги як взаємовиключність альтернатив та забезпечення однакових умов описування альтернатив. Коли на 4-му етапі ми підходимо до оцінки альтернатив, то наші альтернативи повинні умовно пройти крізь “3 сита”:

1.   Чи є альтернатива реалістичною?

2.   Чи відповідає альтернатива можливостям організації?

3.   Чи є прийнятливими наслідки реалізації альтернативи?

Тепер, коли описані всі етапи процесу прийняття рішень, слід визначити саме поняття прийняття рішення: прийняття рішення – це порівняння альтернатив за очікуваними ефектами їх реалізації на закладі критеріїв етапу діагнозу проблеми і прийняття остаточного рішення [4, лекція №3].

Кінцевим результатом задачі прийняття рішень являється рішення. Із змістовної точки зору рішенням може бути курс дії, спосіб дії, план роботи, варіант проекту тощо. Рішення являється одним з видів розумової діяльності і волевиявлення людини.

Перед тим як перейти до розгляду моделей та методів прийняття управлінських рішень, слід зазначити, що не кожен метод може застосовуватись в будь-якій ситуації. Тобто кожне рішення або кожна задача прийняття рішення може вирішуватися в різних умовах. Для визначення цих умов слід провести класифікацію задач прийняття рішень за різними ознаками (ступінь визначенності інформації, зміст рішень, направленість рішень тощо), серед яких нас найбільше цікавить ступінь визначеності інформації – ступінь повноти і достовірності даних, необхідних для прийняття рішеннь. За ступенем повноти визначеності інформації задачі прийняття рішень класифікують на три групи:

üзадачі в умовах визначеності;

üзадачі в умовах ймовірнісної визначеності;

üзадачі в умовах невизначеності.

Отже, для кожної групи умов в практиці управління використовуються та чи інша методологія.

Прийняття рішень в умовах визначеності провадяться при наявності повної і достовірної інформації щодо проблемної ситуації, умов рішень і наслідках його реалізації. Для даного класу задач прийняття рішень немає необхідності довизначати проблемну ситуацію гіпотетичними ситуаціями. Цілі і обмеження формально визначаються у вигляді цільових функцій. Критерій вибору обирається у вигляді мінімума або максимума цільової функції. Наявність переліченої інформації дозволяє побудувати формальну математичну модель задачі прийняття рішень і здійснити знаходження оптимального рішення алгоритмічним шляхом без втручання людини. Для вирішення цього класу задач прийняття рішень застосовуються різні методи оптимізації, наприклад, методи математичного програмування: лінійного, нелінійного, динамічного.

Задачі прийняття рішень в умовах невизначеності безпосередньо пов’язані з управлінськими рішеннями. Для цих задач характерна більша неповнота і недостовірність інформації, багатоманіття і складність впливу різних факторів соціального, економічного, політичного та іншого характеру. Ці обставини не дозволяють, по крайній мірі в теперішній час, побудувати адекватні математичні моделі вирішення задач по визначенню оптимального рішення. Тому активну роль в пошуці оптимального або сприятливого рішення виконує людина.

Математичні моделі, що розглядаютсяв задачах прийняття рішень в умовах визначеності та ймовірнісної визначеності, описують найпростіші ситуації, характерні для функціонування технічних систем. Тому задачі даного класу широко застосовуються для синтезу управління в автоматичних системах і мають дуже посереднє відношення до задач прийняття управлінських рішень в організаційних системах [7, с.21]. Я насмілюсь зауважити, що точка зору автора стосовно сфери застосування математичних моделей є дещо невірною або застарілою. В якості аргументу я приведу вислів зі статті “QuantitiveMethodsForOrganizationalDecision-Making” (“Кількісні методи організаційного прийняття рішень”) американського сучасного вченого Гарі Барфута в оригіналі: “Mathematicaldataandquantitivemethodscanbeanaidandbeneficialindeterminingthebestopinion" – “математичні дані та кількісні методи можуть дуже добре допомогти у визначенні найкращої думки”.

Як я вже зазначав раніше, кожен управлінець для прийняття оптимального рішення використовує свою методологію. Звичайно не можна стверджувати, що скільки менеджерів, стільки й методів прийняття рішень. Це твердження було б варним, коли б ми випустили з нього словосполучення “методів прийняття”. В теорії менеджменту існує досить багато класифікацій даних методів. Оскільки глибоке пояснення кожного методу не є завданням цієї роботи, я лише наведу перелік цих методів з коротким описанням, посилаючись на класифікацію з точки зору ступеню влади управлінців в організації. На мій погляд такий підхід до класифікації методів прийняття рішень є всеохоплюючим, тобто під кожен з цих методів може бути застосований метод за іншим класифікаційним підходом (статистичні, математичні і т. ін.).

Таким чином за даною клафікацією виділяють такі методи прийняття управлінських рішень:

·        Прийняття рішення владою без колективного обговорення;

Переваги:
більше застосовується для вирішення  питань  адміністративного характеру; корисний для            простих рутинних питань, вирішення яких  потребує мало часу і тоді коли виконавцям не вистачає досвіду та інформації для прийняття     для прийняття рішення іншим шляхом.

Недоліки: одна особа не завжди є   гарним джерелом   для прийняття рішення; не використовуються  ресурси інших виконавців.

·        Рішення, що приймається експертом.

Переваги:корисний тоді, коли  рішення, що   приймається експертом має значно більшу цінність, ніж рішення всього колективу;

Недоліки:  важко дізнатися, хто є  експертом; втрачаються переваги групової активності.

·        Прийняття рішення усередненням індивідуальних думок.                                Переваги: корисний, коли важко                                      зібрати весь колектив для


обговорення, бо питання єтерміновим;


Недоліки:  неполагодженість думок, відсутня      можливсть обмінюватись думками.

·        Прийняття рішення владою після групового обговорення.

Переваги:використовуються всі колективні ресурси на відміну від попередніх методів;

Недоліки:  не дає гарантії впровадження групового рішення, членам групи невідомо, якого рішення чекає керівник;

·        Прийняття рішення меншістю.

Переваги: може використовуватися, коли неможливо          зустрітися для прийняття групового рішення;

Недоліки:не дає виходу для  реалізації можливостей більшості членів групи.

·        Прийняття рішення більшістю голосів.

Переваги: може використовуватись, коли не вистачає часу для узгодженості голосів;

Недоліки:майже завжди залишається незадоволена   меншість колективу, що в майбутньому       загрожує груповій ефективності.

·        Прийняття рішення узгодженням голосів.

Переваги: продукує новаторське творче рішення,          використовує ресурси всього колективу,     корисне при прийнятті серйозних, важливих   та складних рішень.

Недоліки:  потребує багато часу, психологічної напруги та високої кваліфікації виконавців.
[10, пер. з англ. Н.Д.]
Коли я зазначав про універсальність такої класифікації, я мав на увазі, що незалежно від вибору будь-якого з вищеназваних методів, ОПР може застосовувати методи класифікації нижчого ступеню (математичні, статистичні, аналітичні, теоретико-ігрові тощо) в залежності від характеру питання, яке вирішується.

Деякі науковці вважають, що не слід плутати саме методи прийняття управлінських рішень з методами їх обгрунтування. Якщо дотримуватись такої точки зору, то можна сказати, що вищеперелічені методи відносяться до методів прийняття рішень (інколи їх ще називають стилями прийняття рішень), а методи обгрунтування управлінських рішень використовують якісь формалізовані моделі і мають іншу класифікацію. Посилаючись на лекцію №4 Соболя С.М. нижче приведена схема такої класифікації (Див. Рис.2). Згідно з даною схемою методи обгрунтування управлінських рішень підрозділяються на дві основні групи: кількісні та якісні методи. До якісних методів відносяться лише експертні методи, а решта методів (класифікація за ступенем визначеності) відноситься до кількісних. Якщо заторкнути тему даної роботи, то виникає питання, які з цих методів прийнято вважати математичними? В.М. Трояновський в своїй книзі “Математичне моделювання в менеджменті” дає математичне обгрунтування для всіх методів прийняття рішень.
 


<img width=«12» height=«40» src=«ref-1_312888294-241.coolpic» v:shapes="_x0000_s1037"><img width=«12» height=«40» src=«ref-1_312888294-241.coolpic» v:shapes="_x0000_s1038">           

<img width=«654» height=«351» src=«ref-1_312888776-8772.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027 _x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1039 _x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1046 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051">



                                                                                                                                    (Рис. 2).
До математичних методів згідно його слів відносяться і експерті методи, і статистичні, і методи прогнозування, і методи лінійного програмування та багато інших. Всі вони будуть досконально розглянути в наступному пункті плану. Поки що коротко розглянемо кожен з методів, вказаних на схемі.

q  Аналітичні методи. Вони характеризуються тим, що встановлюють аналітичні (функціональні) залежності між умовами вирішення задач прийняття рішень та їх результатами. (Напр. методи економічного аналізу діяльності фірм).


q  Статистичні методи.Іх характерною рисою є врахування випадкових впливів та відхилень. Ці методи дозволяють отримувати з накопичуваної інформації, яка здається хаотичною, основні тенденції та закономірності. Ця група охоплює методи теорії ймовірностей та математичної статистики. Найбільш широко використовуються такі методи, як кореляційний аналіз, факторний аналіз, дисперсійний аналіз, методи статистичного контролю якості та надійності продукції.


q  Методи математичного програмування.Застосовуються при рішенні умовних екстремальних задач з багатьма змінними.


q  Теоретико-ігрові методи та методи статистичних рішень. Теорія статистичних рішень використовується, коли невизначеність ситуації викликана об’єктивними обставинами, які або невідомі, або носять випадковий характер. Метод теорії ігор використовується в тих випадках, коли невизначеність ситуації викликана свідомими діями розумного противника [4, Лекція №4].


До загального огляду методів обгрунтування управлінських рішень я хотів би додати, що використання цих методів ще може залежати від технології, яку застосовує ОПР при прийнятті рішень. На мою думку, якщо рішення приймається за раціональною технологією або процесом (див. рис. 2), то тоді використання вищеназваних методів буде доцільним. Навпаки, якщо при прийнятті рішення використовується інтуітивна технологія (реєстрація змін -> селекція рішень, що містяться в пам’яті суб’єкта управління -> прийняття рішення) з точки зору поведінкової моделі або менеджер використовує ірраціональну модель, то ці методи навряд чи знайдуть своє місце. Як при використанні інтуітивної технології поведінкової моделі, так і при використанні ірраціональної моделі, у менеджера не вистачить часу для застосування вищевказаних методів, або якщо це стосуватиметься принципово нових рішень, то може виявитися неможливість побудови моделі прийняття рішень за якимось з цих методів.

Для кращого розуміння термінології слід вказати різницю понять моделі та методу прийняття рішень. Модель – це все те, що образно представляє якийсь об’єкт чи процес і використовується для аналізу або вивчення цього об’єкту чи процесу. Наприклад: глобус – модель Землі, іграшкова машинка – модель автомобілю, цільова функція – модель якогось економічного процесу тощо. Що стосується поняття терміну “метод”, то це всі ті дії, які при вивченні моделі застосовує людина для досягнення якогось результату. Умовний приклад може бути наступним: “Менеджер побудував математичну модель з проблемної ситуації. Він використовує симплекс-метод для знаходження оптимального рішення – мінімізація витрат виробництва (результат впровадження методу по конкретній моделі)”.

В загальновідомому підручнику “Основи менеджменту” автори дають наступну класифікацію моделей прийняття управлінських рішень:

q  Фізична модель;

q  Аналогова модель;

q  Математична модель.

По Мескону фізична модель представляє те, що досліджується, за допомогою збільшеного чи зменшеного описання об’єкту або системи. Автомільні та авіаційні підприємства завжди виготовляють фізичні зменшені копії нових засобів пересування. Будучи точною копією, модель повинна поводити себе аналогічно автомобілю чи літаку, що виготовляється, але при цьому коштує вона значно менше. Таким самим чином будівельна компанія завжди будує мініатюрну, перед тим як розпочати будівництво виробничого чи адміністративного корпусу або складу.

Аналогова модель представляє об’єкт, що досліджується аналогом, який поводить себе як реальний об’єкт, але не виглядає як такий. Приклад аналогової моделі – організаційна схема. Вибудовуючи її, керівництво в стані легко уявити собі ланцюги проходження команд і формальну залежність між індивідами та діяльністю. Така аналогова модель звичайно більш простий і ефективний спосіб сприйняття і прояву складних взаємозв’язків структури великої організації, ніж, припустимо, складання переліку взаємозв’язків всіх робітників. Інший приклад аналогової моделі – графік, що показує залежність, між кількістю виробленої фарби та витратами з розрахунку на 1 галон) (див. рис. 3).

<img width=«12» height=«255» src=«ref-1_312897548-293.coolpic» v:shapes="_x0000_s1064">




  2,70

<img width=«458» height=«159» src=«ref-1_312897841-2923.coolpic» v:shapes="_x0000_s1083"><img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900764-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1081"> 

<img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900917-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1080">  2,60

<img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900764-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1079">  2,50

<img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900917-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1078">  2,40

<img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900764-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1077">  2,30

<img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900917-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1076">  2,20

<img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900764-153.coolpic» v:shapes="_x0000_s1075">  2,10

<img width=«14» height=«2» src=«ref-1_312900917-154.coolpic» v:shapes="_x0000_s1074">  2,00

<img width=«483» height=«19» src=«ref-1_312901992-398.coolpic» v:shapes="_x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073">


        1000       2000      3000        4000          5000         6000         7000         
Рис.3 – Аналогова модель.

[5, c.225].

Даний графік, що ілюструє саме аналогову модель, показує яким чином рівень виробництва на підприємстві впливає на витрати.
Іншими за класифікацією йдуть математичні моделі. Але оскільки це безпосередньо пов’язано з темою даної роботи, то про математичні моделі більш детально буде викладено у відповідному розділі курсової роботи.
 

    продолжение
--PAGE_BREAK--2.   Математичні моделі і методи прийняття рішень. Епоха застосування математичних моделей прийняття управлінських рішень розпочалася після 2-ї світової війни. Поява та розповсюдження ЕОМ зробило можливим використання математичних моделей для рішення економічних задач, починаючи від перевезення одного продукту в масштабах району і закінчуючи моделюванням національної економіки. Починають розроблятися моделі міст, ринків, війн, так звані глобальні моделі розвитку всесвіту. Якщо модель побудована і її створювачі вірять в її адекватність, то вона використовується для вирішення різних задач – прогнозування, прийняття простих і складних рішень. Як правило, застосування математичних моделей пов’язане з використанням ОЕМ. Математичні моделі в теперішній час претендують на роль універсального засобу вирішення будь-яких проблем.
В математичній моделі, яку інколи називають символічною, викоритовуються символи для описання властивостей або характеристик об’єкту чи події. Приклад математичної моделі і її аналітичної сили як засобу, що допомагає нам зрозуміти виключно складні проблеми, — відома формула Ейнштейна E
=
mc
2. Якби Ейнштейн не зміг побудувати цю математичну модель, в якій символи замінюють реальність, малоймовірно, щоб у фізиків з’явилася навіть віддалена ідея про взаємозв’язок матерії та енергії. Математичні моделі відносяться до типу моделей, що найчастіше використовуються при прийнятті організаційних рішень [5, с.226].

Для кращого розуміння сутності економічних моделей, я зроблю деталізований огляд основних серед них з наведенням конкретних прикладів та малюнків.

Як вже зазначалось вище, модель задачі прийняття рішень зводиться до знаходження оптимуму. Серед оптимізаційних задач дуже відомими є задачі лінійного програмування. Задачами лінійного програмування являються такі оптимізаційні задачі, в котрих цільова функція і функціональні обмеження – лінійні функції, що приймають будь-які значення з деякої множини значень. Стандартна задача лінійного програмування записується у вигляді:
                          <img width=«195» height=«162» src=«ref-1_312902390-1028.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"><img width=«96» height=«23» src=«ref-1_312903418-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">           (I)

В задачі лінійного програмування нестрогі функціональні нерівності можна перетворити  в строгі рівності, прибавивши невідомі невід’ємні додаткові змінні. Звичайно, число невідомих і число рівнянь в системі може бути різним. Але й в цьому випадку для системи рівнянь відомі можливі варіанти: система може бути несумісною, тобто не мати рішень взагалі; рішення може бути одне, але (!) це єдине рішення може виявитися неприпустимим з-за наявності від’ємних компонент в рішенні; рішень може бути нескінченно багато. Взагалі для єдиності рішення задачі лінійного програмування не вимагається рівності числа змінних та числа обмежень. Для задач лінійного програмування розроблені багаточисельні ефективні методи вирішення і відповідне математичне забезпечення для різноманітних ситуацій [8, с.22].

¨      Приклад.

Невелика сімейна фірма виробляє два широкопопулярних безалкогольних напої – “PinkFuzz” та “MintPop”.Фірма може продати всю продукцію, котра буде вироблена, однак обсяг виробництва обмежений кількістю основного інгридієнту та виробничою потужністю обладнання. Для виробництва 1 л “PinkFizz” потрібно 0,02 години роботи обладнання, а для виробництва  1 л “MintPop” – 0,04 години. Витрати спеціального інгридієнту складають 0,01 і 0,04 кг на 1 л “PinkFizz” і “MintPop” відповідно. Щоденно в розпорядженні фірми мається 24 години часу роботи обладнання та 16 кг спеціального інгридієнту. Доход фірми складає 0,10 у.о. за 1 л “PinkFizz” і 0,30 у.о. за 1 л “MintPop”. Скільки продукції кожного виду слід виробляти щоденно, якщо мета фірми – максимізація щоденного доходу?

Рішення.

Крок 1.Визначення змінних. В рамках заданих обмежень фірма повинна прийняти рішення про те, яку кількість кожного виду напоїв слід випускати. Нехай р – число літрів “PinkFizz”, що виробляється за день. Нехай m– число літрів “MintPop”, що виробляється за день.

Крок 2.Визначення цілі та обмежень. Ціль полянає в максимізації щоденного доходу. Нехай Р – щоденний доход, у.о. Він максимізується в рамках обмежень на кількість годин роботи обдаднанняі наявності спеціального інгридієнту.

Крок 3. Виразимо ціль через змінні:

                                  Р = 0,10 р + 0,30 m(у.о. в день).

Це є цільова функція задачі – кількісне співвідношення, що підлягає оптимізації.

Крок 4.Виразимо обмеження через змінні. Існують такі обмеження на виробничий процес:

А)  Час роботи обладнання. Виробництво р літрів “PinkFizz” і mлітрів “MintPop” потребує (0,02 р + 0,04 m) годин щоденно. Максимальний час роботи обладнання складає 24 год в день. Таким чином:                  0,01 р + 0,04 m<img width=«15» height=«18» src=«ref-1_312903599-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027"> 24 год/день                

Б)  Спеціальний інгридієнт. Виробництво р літрів “PinkFizz” і mлітрів “MintPop” потребує (0,01 р + 0,04 m) <img width=«15» height=«18» src=«ref-1_312903599-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028"> 16 кг/день.

Інших обмежень не має, але розумно передбачити, що фірма не може виробляти напої у від’ємних кількостях, тому:

                                  р<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_312903993-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">0, m<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_312903993-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">0.

Кінцеве формулювання задачі лінійного програмування має наступний вигляд. Максимізувати:

                          Р = 0,10 р + 0,30 m(у.о. в день).

при обмеженнях:

час роботи обладнання: 0,01 р + 0,04 m<img width=«15» height=«18» src=«ref-1_312903599-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031"> 24 год/день  

спеціальний інгридієнт:  0,01 р + 0,04 m<img width=«15» height=«18» src=«ref-1_312903599-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032"> 16 кг/день.

                                         р, m<img width=«13» height=«16» src=«ref-1_312903993-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">.              (3, с.402).
Різновидом задач лінійного програмування є транспортні задачі. Нехай потрібно перевезти деяку кількість одиниць однорідного товару з різних складів в декілька магазинів. Приймемо слідуючі позначення: k– число складів, n– число магазинів, аі – кількість товару на і-ому складі, bj — кількість товару, необхідного j-ому магазину, xij  — кількість одиниць товару, що перевозиться з і-го складу в j-ий магазин. Передбачається, що a1+ … + ak= b1+ …bnі що відомі вартості cij перевезення одиниці товару з і-го складу до j-го магазину (вважається, що загальна вартість перевезення пропорційна загальному обсягу перевезення cijxij  при перевезенні з і-го складу до j-го магазину). Потрібно знайти такі обсяги перевезень, щоб F
(
x
) = (
c
11
x
11
+ …
+ c1nx1n) + (ci1xi1 + … + cinxin) +

+ (ck1xk1 + … + cknxkn) -> min  при обмеженнях:

                      

                            <img width=«252» height=«306» src=«ref-1_312904960-1164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">          (II).

Для нас важливим є те, що всі невідомі змінні входять до цільової функції, а також в обмеження в першому ступені і являються неперервно знінюваними величинами. Рівності n
=
kне вимагається.

Для розв’язку задач лінійного програмування використовується декілька методів, серед яких найбільш розповсюдженими є симплекс-метод (складається симплекс-таблиця, в якій за допомогою числа ітерацій методом Гауса-Жордана знаходиться оптимальне значення цільової функції) та графічний метод.

На практиці в сферах фінансів, маркетингу, інвестування та інших дуже часто виникає проблема раціонального розподілу якихось ресурсів (капіталовкладень, товару тощо). Щоб прийняти вірне рішення щодо оптимального розподілу ресурсів застосовується математична модель динамічного програмування. Динамічне програмування використовується для дослідження багатоетапних процесів. Стан системи, якою керують, характеризується певним набором параметрів (фазовими координатами). Процес переміщення в фазовому просторі розподіляють на ряд послідовних етапів і здійснюють послідовну оптимізацію кожного з них, починаючи з останнього. На кожному етапі знаходять умовно оптимальне управління при всеможливих передбаченнях про результати попереднього кроку. Коли процес доходить до вихідного стану, знову проходять всі етапи, але вже з множини умовних оптимальних управлінь обирається одне найкраще [8, с.32]. В простому випадку задача динамічного програмування може вирішуватися наступним методом.

Нехай є nфункцій з невід’ємними значеннямиf
1
(
x
1
),
x
1<img width=«21» height=«21» src=«ref-1_312906124-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">
 
d
1
,...,
fn
(
xn
),
xn
<img width=«21» height=«21» src=«ref-1_312906124-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">

 
dn
, де
d
1
,…,
dn– області визначення змінних. Потрібно знайти максимум (або мінімум) F
(
x
1
,…,
xn
)=
f
1
(
x
1
) + … +
fn
(
xn
)при деяких обмеженнях на змінні x
1
,…,
xn
. В найпростішому випадку обмеження одне ( не враховуючи природньої вимоги невід’ємності змінних): x
1
+
x
2
+…+
xn
=
A.Схема дій буде наступною: знаходимо F
12
(
A
)=
max
[
f
1
(
x
)+
f
2
(
A
-
x
)], далі F
123
(
A
)=
max
[
F
12
(
x
)+
f
3
(
A
-
x
)]і т.ін., а в кінці кінців – max

F
(
x
1
,…,
xn
)=
F
12…
n
(
A
)=
max
[
F
12…
n
-1
(
x
)+
fn
(
A
-
x
)].

¨      Приклад.

Нехай фірма має три торговельні точки, якусь кількість умовних одиниць капіталу і знає для кожної точки залежність прибутку в ній від обсягу вкладення певного капіталу в цю точку.
(Див. таблицю 1).
Таблиця 1:

Вихідні дані прикладу.

Вкладення



   1



   2



  3





1

2

3

4

5

6

7          

8

9





0,28

0,45

0,65

0,78

0,90

1,02

1,13

1,23

1,32




0,25

0,41

0,55

0,65

0,75

0,80

0,85

0,88

0,90




0,15

0,25

0,40

0,50

0,62

0,73

0,82

0,90

0,96

    продолжение
--PAGE_BREAK--
Як розпорядитися наявним капіталом так, щоб прибуток був максимальним ? 
Звичайно, можна переглянути всі можливі комбінації розподілу капіталу, скажімо при чотирьох одиницях капіталу:

(4,0,0), (0,4,0), (0,0,4);   (3,1,0), (3,0,1);    (2,2,0), (2,0,2), (2,1,1) і т.ін.

Але якщо задана велика кількість змінних?.. Для вирішення цієї задачі можна використовувати динамічне програмування. Введемо наступні позначення:

F1(
x),
f2(
x),
f3(
x)– функції прибутку в залежності від капіталовкладень, тобто стовпці 2-4 (див. таб.1), F12(
A) – оптимальний розподіл, коли А одиниць капіталу вкладується в першу і лругу точки разом, F123(
A)– оптимальний розподіл капіталу величини А, що вкладається у всі точки разом.

Наприклад, для визначення F12(2)треба знайти f
1
(0)+
f
2
(2)=0,41, f
1
(1)+
f
2
(1)=0,53,f
1
(2)+
f
2
(0)=0,45і обрати з них максимальну, тобто F
12
(2)=0,53. ВзагаліF12(2)=max[f1(x)+f2(A-x)].ОбчислюємоF
12
(0),
F
12
(1),
F
12
(2),…
F
12
(9), котрі заносимо в таблицю 2 (див. таб.2).

Для А=4 можливі комбінації (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4), котрі дають відповідно загальний прибуток: 0,78; 0,90; 0,86; 0,83; 0,65. Більш детально отримання цих величин показано нижче.

Таблиця 2:

Розподіл капіталу між двома торговими точками.

Вкладення

(А)



f1(x)



f2(x)



F
12
(A
)



Оптимальний розподіл





1

2

3

4

5

6

7

8

9




0,28

0,45

0,65

0,78

0,90

1,02

1,13

1,23

1,32




0,25

0,41

0,55

0,65

0,75

0,80

0,85

0,88

0,90




0,28

0,53

0,70

0,90

1,06

1,20

1,33

1,45

1,57


0,0

1,0

1,1

2,1

3,1

3,2

3,3

4,3

5,3

6,3



F12(A)=max{f1(x)+f2(A-x)}



<img width=«232» height=«51» src=«ref-1_312906510-640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">
<img width=«219» height=«144» src=«ref-1_312907150-972.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1062"><img width=«216» height=«230» src=«ref-1_312908122-1339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

Тепер, коли фактично є залежність F12від величини капіталу, що вкладується у перші дві точки, можна шукати        F123(A)=max[F12(x)+f3(A-x)]. Результати наведемо в таблиці 3. Більш детально отримання цих величин при вкладенні капіталу в три точки показано в таблиці 4 для дев’яти одиниць капіталу.

Таблиця 3:

Розподіл  капіталу поміж трьома торговими точками.

Вкладення (А)


F12(x)


f3(x)



F123(A)



Оптимальний розподіл





1

2

3

4

5

6

7

8

9



0,28

0,53

0,70

0,90

1,06

1,20

1,33

1,45

1,57



0,15

0,25

0,40

0,50

0,62

0,73

0,82

0,90

0,96



0,28

0,53

0,70

0,90

1,06

1,21

1,35

1,48

1,60

(0, 0, 0)

(1, 0, 0)

(1, 1, 0)

(2, 1, 0)

(3, 1, 0)

(3, 2, 0)

(3, 2, 1)

(3, 3, 1)

(4, 3, 1)

(5, 3, 1) або (3, 3, 3)

Таблиця 4:

Розподіл дев’яти одиниць капіталу поміж трьома точками.

Капітал




x1+x2



x3



F123



  9


9

8

7

6

5

4

3

2

1







1

2

3

4

5

6

7

8

9



1,57

1,45+0,15=1,6                  (5, 3, 1)

1,33+0,25=1,58

1,2+0,4=1,6                      (3, 3, 3)

1,06+0,5=1,56

0,9=0,62=1,52

0,70+0,73=1,43

0,53+0,82=1,35

0,28+0,90=1,18

0,96



Важливо те, що отримані результати були д тими ж, якби ми користувались не F12і F123,а, скажімо, F31iF312. Зверніть увагу на те, що оптимальне рішення для А=9 – не єдине!

Динамічне програмування потужний та важливий метод вирішення певного класу оптимізаційних задач, оскільни він дозволяє різко скоротити обсяг переборів варіантів і обсяг обчислень [8, с.35].

Для того, щоб надати для розгляду якомога більше математичних моделей (звичайно не всі, інакше потрібно було б писати книгу), надалі я слідуватиму прикладу американських класиків Мескона М., Альберта М. та Хедоурі Ф. і буду приділяти більше уваги короткому описанню тієї чи іншої моделі, ніж вдаватися у математичні подробиці.

Приведемо приклад наступної математичної моделі – моделі управління запасами. Модель управління запасами використовується для визначення часу розміщення замовлень на ресурси та їх кількості, а також маси готової продукції. Будь-яка організація повинна підтримувати деякий рівень запасів для запобігання затримок на виробництві і в збуті [5, с. 231]. Ціль даної моделі – зведення до мінімуму негативних наслідків накопичення запасів, що виражається в певних витратах. Всупереч відомій приказці (“Запас кишеню не тягне”), підприємцю потрібно піклуватися про те, щоб витрати на зберігання продукції були в розумних межах.

Існують різні види запасів. Буферний запас, що створюється між постачальником  та виробником, потрібен для компенсації затримок в поставках, для послаблення залежності споживача від постачальника, для виробництва продукції партіями оптимального розміру. Запас готової продукції потрібен для виробництва продукції партіями оптимального розміру, для задоволення очікуваного попиту, для компенсації відхилення фактичного попиту, від того, що прогнозується (гарантійний запас). Можливі різні постановки задачі управління запасами. Наприклад: визначити обсяг замовлень, вважаючи моменти виробництва замовлень фіксованими, або визначити і обсяг замовлень і моменти замовлень. Під оптимальним як правило розуміється рішення, що мінімізує суму всіх затрат, пов’язаних із створенням запасів. Затрати бувають трьох типів: затрати на оформлення і отримання замовлення, вартість зберігання продукції і штрафи при виснаженні запасів за недопоставлену продукцію. Приходиться також враховувати характеристики попиту (відомий – невідомий, постійний – залежить від часу, виникає в певні моменти – існує весь час) і замовлень (виконуються одразу ж – через деякий час, приймаються в будь-який час – в певні моменти, замовлене надходить рівномірно – нерівномірно і т.ін.)[8, с.44].

Досить часто менеджеру доводиться вирішувати проблеми, які носять масовий характер. Наприклад це може стосуватися обслуговування клієнтури, яка надходить чергою або врахування затрат часу при простої на митниці і т.ін. Деколи доводиться розробити автоматизоване устаткування, до якого в порядку черги будуть надходити об’єкти для обслуговування. Мескон М. наводить приклади масового характеру при прийомі дзінків в авіакомпанію для резервування квитків та інші. Всі ці проблеми можуть вирішуватися по-різному, але якщо брати до уваги теоретичний підхід з наукової точки зору, то в даному випадку для вирішення цих питань застосовують моделі теорії черг або оптимального обслуговування. “Принципова проблема полягає в урівноваженні затрат на додаткові канали обслуговування та втрат від обслуговування на рівні нижчому за оптимальний” – стверджує Мескон. Моделі черг надають керівництву інструментарій для визначення оптимальної кількості каналів обслуговування, котрі необхідно мати, щоб збалансувати витрати у випадках надто малої і надто великої їх кількості.

Серед інших моделей, які не обійшла “королева наук” – математика, величезне практичне значення має теорія ігор. Про сферу застосування даної моделі (як і про інші моделі) буде сказано в наступному розділі. Отже слід розкрити, що таке гра і які загальні принципи її проведення. На змістовному рівні під грою можна розуміти взаємодію декількох осіб (гравців), які мають кінцевий стан (виграш), якого добивається кожен гравець, але не кожен може добитися. Прикладом гри може слугувати боротьба декількох фірм за державне замовлення. В залежності від кількості гравців в грі може існувати якась скінченна кількість ходів кожного гравця. Послідовність ходів гравців, яка називається партією, призводить гру до кінцевого стану. Якщо гра складається лише з двох гравців, то схему такої гри подають у вигляді таблиці – платіжної матриці (назва говорить сама за себе – платіж, що сплачується 1-им гравцем 2-му, якщо 2-й виграє). Нерідкі випадки, коли по завершенню гри жоден з гравців не отримує ані виграшу, ані програє. Такий випадок носить назву гри двох осіб з нульовою сумою. Важливим поняттям теорії ігор є поняття стратегії – встановлений гравцем метод вибору ходів протягом гри.

Розглянемо приклад вирішення задачі теорії ігор.

¨  Приклад. “Я думаю про те, якби змінити розташування мого автомобільного салону по причині близького розташування конкурента. Якщо я зміню розташування і він теж змінить, то я ризикую втратити пів-мільйона доларів від чистого продажу. Якщо я перерозташуюсь, а він ні, я зароблю на цьому мільйон від чистого продажу. Якщо я залишусь там де є, а він переїде, я зароблю півтора мільйони, але якщо я залишусь і він теж, то я втрачаю мільйон. Якби ж я міг правити світом, я б залишився там де є, а його примусив би переїхати, бо в такому разі мене чекає найбільший прибуток. Однак я не можу ні примусити його, ні передбачити що там буде. Якщо ж я просто хочу мінімізувати втрати, я зміню своє розташування. Матриця рішень проілюструє мою ділему і можливе вирішення проблеми:
    продолжение
--PAGE_BREAK--