Реферат: Формули Рiвносильнiсть формул Тотожно iстиннi формули

Реферат на тему:

Формули. Рiвносильнiсть формул. Тотожно iстиннi формули

Наведемо iндуктивне означення поняття формули логiки предикатiв (предикатної формули абопростоформули ) на предметнiй областi M .

1. Усi предикати P (x 1 ,x 2 ,...,xn ) на множинi M є формулами. Такi формули називають елементарними , або атомарними .

2. Якщо A i B — формули, то (ØA ), (ØB ), (A ÙB ), (A ÚB ), (A ®B ), (A ~B ) теж є формулами.

3. Якщо A — формула, а x — вiльна змiнна в A, то ("x (A )) i ($x (A )) теж формули.

4. Iнших формул, крiм утворених за правилами 1-3, немає.

Це означення дозволяє твердити, що усi формули алгебри висловлень є формулами логiки предикатiв, оскiльки висловлення — це нульмiснi предикати.

За допомогою наведеного означення неважко також переконатись, що вирази ("x ($y (A (x ,y ))®(B (x )Ú($z (C (x ,z ))))) i ("x ("y (A (x ,y )ÙB (x ))®($y (C (x ,y )))) є формулами логiки предикатiв, а вираз ("x (A (y )®($x (B (x ))))) не є формулою, оскiльки у виразi (A (y )®($x (B (x )))), який є правильною формулою, змiнна x є зв'язаною, тобто не є вiльною змiнною i квантор "x до неї застосувати не можна.

Для зручностi можна запровадити такi умови скорочення кiлькостi дужок у формулах. По-перше, залишимо всi умови скорочення числа дужок, якi було прийнято в алгебрi висловлень, виходячи з прiоритету логiчних операцiй. По-друге, опускатимемо всi зовнiшнi дужки. Вважатимемо, що квантори мають бiльший прiоритет, нiж логiчнi операцiї. Опускатимемо також дужки, що позначають область дiї квантора, якщо остання є елементарною формулою. Нарештi, не писатимемо дужки мiж кванторами, що слiдують один за одним. При цьому виконання таких кванторних операцiй вiдбувається в порядку, зворотньому до їх написання (справа налiво).

Нехай F (x 1 ,x 2 ,...,xn ) — деяка формула логiки предикатiв на множинi M. При логiчнiй (iстинностнiй) iнтерпретацiї формули F можливi такi три основнi ситуації.

1. Iснує набiр значень змiнних, для якого формула F перетворюється на iстинне висловлення. У цьому разi формула F називається виконуваною в областi M .

Якщо для F iснує область M, в якiй F є виконуваною, то формула F називається просто виконуваною .

2. Якщо формула F приймає значення 1 (тобто є виконуваною) для всiх наборiв значень з M, то вона називається тотожно iстинною в M. Формула, тотожно iстинна у будь-яких M, називається тотожно iстинною або логiчно загальнозначущою (скорочено — лзз ).

3. Якщо формула F є невиконуваною в M, то вона називається тотожно хибною в M. Формула, невиконувана в усiх M, називається тотожно хибною , або суперечнiстю .

Приклад 5 .7. Формула $xA (x ,y )®"xA (x ,y ) є виконуваною i вона ж є тотожно iстинною в усiх одноелементних областях M. Формула F (x 1 ,x 2 ,...,xn )ÚØF (x 1 ,x 2 ,...,xn ) тотожно iстинна, а формула F (x 1 ,x 2 ,...,xn )ÙØF (x 1 ,x 2 ,...,xn ) тотожно хибна. Тотожно iстинними будуть формули "xP (x )®P (y ) i P (y )®$xP (x ).

Формули F 1 i F 2 називаються рiвносильними (еквiвалентними ), якщо при всiх можливих пiдстановках значень замiсть їх змiнних вони набувають однакових значень; позначається F 1 = F 2 .

Наприклад, усi тотожно iстиннi (усi тотожно хибнi) формули рiвносильнi мiж собою. Очевидно також, що коли F 1 i F 2 рiвносильнi, то формула F 1 ~F 2 є тотожно iстинною, і навпаки.

Множина тотожно iстинних формул логiки предикатiв є складовою частиною усiх формальних математичних теорiй, тому її дослiдження i опис є важливою задачею математичної логiки. Значення цiєї множини пiдтверджує той факт, що їй, як було зазначено вище, належать усi рiвносильнi спiввiдношення (тотожностi) логiки предикатiв.

Як i в логiцi висловлень постають двi проблеми. Перша — опис або побудова множини всiх тотожно iстинних формул, друга — перевiрка тотожної iстинностi заданої формули логiки предикатiв.

Якщо iснує процедура розв’язання другої з цих проблем, то на її основi можна сформулювати такий тривiальний алгоритм, що породжує шукану множину T тотожно iстинних формул. Послiдовно будуємо всi формули, кожну з них за вiдомою процедурою перевiряємо на тотожну iстиннiсть i вносимо до множини T тi, для яких результат перевiрки є позитивним.

Однак на вiдмiну вiд логiки висловлень, де така процедура iснує i зводиться до обчислення значень даної формули на скiнченнiй множинi значень її параметрiв, у логiцi предикатiв областi визначення предметних i предикатних змiнних формул є, взагалi кажучи, нескiнченними (злiченними або навiть незлiченними).

Метод обчислення значення формули шляхом пiдстановки значень замiсть змiнних i послiдовного виконання вказаних дiй є зручним для встановлення виконуваності заданої формули або доведення нерiвносильностi певних формул. Для цього достатньо пiдiбрати одну вiдповiдну пiдстановку. Застосовувати цей метод можна також, коли предметна область M є скiнченною. Пов’язано це з тим, що для скiнченної множини M = {a 1 ,a 2 ,...,an } кванторнi формули можна перетворити у рiвносильнi їм звичайнi формули логiки висловлень:

"xP (x ) = P (a 1 )ÙP (a 2 )Ù… ÙP (an ),

$xP (x ) = P (a 1 )ÚP (a 2 )Ú… ÚP (an ).

Замiнивши усi квантори за допомогою наведених спiввiдношень, будь-яку формулу логiки предикатiв можна перетворити у рiвносильну пропозицiйну форму або формулу логiки висловлень. Iстиннiсть останньої на скiнченнiй множинi M перевiряється за скiнченну кiлькiсть пiдстановок i обчислень.

Для доведення ж рiвносильностi предикатних формул, що заданi на нескiнченних предметних областях, прямий перебiр виключається i доводиться використовувати рiзнi опосередкованi методи.

Наприклад, вище шляхом простих мiркувань було доведено рiвносильнiсть формул, що описує переставнiсть однойменних кванторiв у двомiсних предикатах, тобто доведено iстиннiсть формул

"x "yA (x ,y )~"y "xA (x ,y ) i $x $yA (x ,y )~$y $xA (x ,y ).

Аналогiчними мiркуваннями доведемо рiвносильнiсть, що описує дистрибутивнiсть квантора "x вiдносно кон’юнêцiї:

"x (A (x )ÙB (x )) = "xA (x )Ù"xB (x ).

Нехай лiва частина цього співвiдношення є iстинною для деяких предикатiв A i B. Тодi для будь-якого a ÎM iстинною буде кон’юнкцiя A (a )ÙB (a ), тому A (a ) i B (a ) одночасно iстиннi для довiльних a, отже, формула "xA (x )Ù"xB (x ) є iстинною. Якщо ж лiва частина хибна, то це означає, що для деякого a ÎM хибним є або A (a ), або B (a ). Тому хибним буде або "xA (x ), або "xB (x ), а отже, хибною буде i права частина.

Подiбним методом можна довести дистрибутивнiсть квантора $x вiдносно диз’юнкцiї:

$x (A (x )ÚB (x )) = $xA (x )Ú$xB (x ).

У той же час аналогiчнi простi мiркування дозволяють переконатись, що квантори "x i $x є, взагалi кажучи, недистрибутивними вiдносно диз’юнкцiї i кон’юнкцiї вiдповiдно. Насправдi, iстинними є лише такi iмплiкацiї:

"xA (x )Ú"xB (x )®"x (A (x )ÚB (x )),

$x (A (x )ÙB (x ))®$xA (x )Ù$xB (x ).

Якщо один з предикатiв A (x ) чи B (x ) є тотожно iстинним, то лiва i права частини першої iмплiкацiї одночасно будуть iстинними. Якщо ж iснуватимуть такi значення a ,b ÎM, що A (a ) i B (b ) є хибними, то лiва частина буде хибною, а права — може бути хибною або iстинною. Для її iстинностi достатньо, щоб для кожного a ÎM iстинним був принаймнi один з предикатiв. Це означає, що знак iмплiкацiї ® не можна замiнити на знак еквiвалентностi ~, отже, лiва i права частини першої iмплiкацiї не є рiвносильними.

Пропонуємо самостiйно проаналiзувати другу iмплiкацiю i довести її iстиннiсть.

Доведемо ще одне корисне i популярне в логiцi i математицi рiвносильне спiввiдношення: Ø($xP (x )) = "x (ØP (x )).

Нехай для деякого предиката P i предметної областi M лiва частина iстинна. Тодi не iснує a ÎM, для якого P (a ) iстинно. Отже, для всiх a ÎM P (a ) хибне, тобто ØP (a ) iстинно. Таким чином, права частина є iстинною. Якщо ж лiва частина хибна, то iснує b ÎM, для якого P (b ) iстинно, тобто ØP (b ) — хибне. Отже, права частина буде також хибною.

Аналогiчно доводиться рiвносильнiсть

Ø("xP (x )) = $x (ØP (x )).

Наведемо без доведень ще декiлька важливих рiвносильних спiввiдношень. Нехай B предикатна формула, що не мiстить вiльних входжень змiнної x, тодi справедливi такi рiвносильностi:

"x (A (x )ÚB ) = "xA (x )ÚB, B ®"xA (x ) = "x (B ®A (x )),

$x (A (x )ÚB ) = $xA (x )ÚB, B ®$xA (x ) = $x (B ®A (x )),

"x (A (x )ÙB ) = "xA (x )ÙB, "xA (x )®B = $x (A (x )®B ),

$x (A (x )ÙB ) = $xA (x )ÙB, $x A (x )®B = "x (A (x )®B ).

Цi спiввiдношення означають, що формулу, яка не мiстить вiльних входжень x, можна виносити за межi областi дiї квантора, що зв’язує x. З iншого боку цi ж рiвносильностi дозволяють включати або вносити вiдповiдну формулу B до областi дiї квантора за змiнною x, вiд якої B не залежить.

Можливiсть проведення зазначених рiвносильних перетворень для предикатних формул дозволяє означити в логiцi предикатiв поняття певної канонiчної або нормальної форми.

Формула, що має вигляд Q 1x 1Q 2x 2 ...Qn xn F, де Q 1 ,Q 2 ,...,Qn — квантори, а F формула, яка не мiстить кванторiв i є областю дiї всiх n кванторiв, називається випередженою (пренексною )нормальною формулою , або формулою у випередженiй формi .

Формула, яка знаходиться в пренекснiй формi i рiвносильна формулi P, називається випередженою (пренексною )формою P .

Використовуючи останнi вісім рiвносильних спiввiдношеннь та деякi iншi, iндукцiєю за числом логiчних операцiй можна довести, що для кожної формули P логiки предикатiв iснує випереджена нормальна форма P .