Реферат: Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 6 Ряды (разное)
Задача 1. Найти сумму ряда.
/>
Сумма ряда />где /> — сумма nпервых членов ряда.
/>
Сумма ряда
/>
Задача 2.Исследовать на сходимость ряд.
/>
При любых значениях nвыполняется неравенство />
Ряд />является расходящимся (гармонический ряд), значит расходится и исследуемый ряд.
Задача 3.Исследовать на сходимость ряд.
/>
Сравним этот ряд с рядом />.
Мы можем сделать это, т.к. />
Интегральный признак Коши
/>
Ряд />сходится, значит сходится и исследуемый ряд.
Задача 4.Исследовать на сходимость ряд.
/>
Воспользуемся признаком Даламбера
/>
Ряд сходится.
Задача 5.Исследовать ряд на сходимость.
/>
Радикальный признак Коши
/>
Ряд сходится.
Задача 6.Исследовать на сходимость ряд.
/>
Сравним данный ряд с рядом />
Мы можем сделать это, руководствуясь предельным признаком сравнения.
/>
Интегральный признак Коши
/>.
Ряд />расходится, значит расходится и исследуемый ряд.
Задача 7.Исследовать на сходимость ряд.
/>
Рассмотрим ряд из модулей />
При любых значениях nвыполняется неравенство />.
Рассмотрим ряд />
Интегральный признак Коши
/>
Ряд />сходится, значит наш знакопеременный ряд обладает абсолютной сходимостью.
Задача 8.Вычислить сумму ряда с точностью />.
/>
Сумма ряда: />, где />остаток ряда. По условию задачи />Для знакопеременных рядов остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена.
/>
Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда
/>
Задача 9.Найти область сходимости ряда.
/>
Ряд будет сходится при />Причем при /> — условно имеем />.
Следовательно />
/>сходится условно.
Область сходимости />.
Задача 10.Найти область сходимости ряда.
/>
Радикальный признак Коши
/>
Исследуем сходимость на концах интервала
/>/>расходится, т.к. />
/>/>расходится, т.к. />
Область сходимости />.
Задача 11.Найти область сходимости ряда.
/>
Радикальный признак Коши
/>
Область сходимости />
Задача 12.Найти сумму ряда.
/>
/>/>
/>
/>
/>/>
Задача 13.Найти сумму ряда.
/>
/>
/>
/>
Задача 14.Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням />.
/>
Воспользуемся известным разложением.
/>
/>
/>
Задача 15.Вычислить интеграл с точностью до 0,001.
/>
/>
/>