Реферат: Рівняння в повних диференціалах

Рівняння в повних диференціалах 1. Загальна теорія

Якщо ліва частина диференціального рівняння

є повним диференціалом деякої функції />, тобто

/>,

і, таким чином, рівняння приймає вигляд />то рівняння називається рівнянням вповних диференціалах. Звідси вираз

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді

Звідси />де />-невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по />і прирівняємо />

Звідси

/>.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд

Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал

/>,

то/>можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку/>і точку із змінними координатами />. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла

В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.

/>.

2. Множник, що Інтегрує

В деяких випадках рівняння

не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція />така, що рівняння

вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність

/>,

або

/>.

Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції />одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції/>.Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію />, наприклад />де />-відома функція. В цьому випадку одержуємо

Після підстановки в рівняння маємо

/>,

або

/>.

Розділимо змінні

Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:

/>.

Розглянемо частинні випадки.

1) Нехай />. Тоді />

І формула має вигляд

/>.

2) Нехай />. Тоді />