Реферат: Функція границя функції

Реферат на тему:

Функція, границя функції

Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E, то говорять, що задано функцію y=f ( x ) .

Функцію на практиці задають таблично, графічно, аналітично (за допомогою формули).

Приклад. Залежність (функцію) прибутку від витрат на рекламу задана такою таблицею:

Областю визначення цієї функції є множина D ={50;100;140;160;200}, областю значень – множина E ={80;220;240;210;160} .

Приклад. Залежність (функція) Q ( p ) попиту Q на товар від його ціни p задана графіком (рис. 4.1).

Q

Q 1

Q 2

p 1p 2p

Рис. 4.1.

Областю визначення цієї функції є відрізок D =[p 1 ;p 2 ], а областю значень – відрізок E =[Q 1 ;Q 2 ] .

Приклад. Загальні витрати TC на виробництво Q одиниць продукції є функцією, що задана аналітично:

TC (Q ) = 20 + 5Q ,

де 20 ‑ це фіксовані витрати (опалення, зарплата сторожеві, тощо), а 5 – це змінні витрати (витрати на кожну одиницю продукції).

Означення. Число b називається границею функції y=f (x ) в точці a, якщо для довільної послідовності {x n }, що збігається до точки (числа) a, відповідна послідовність значень функції {f (x n )} буде збігатися до числа b .

Використовують позначення

За допомогою кванторів ∃ та ∀ це означення можна записати так:

≡ (∀e>0)(∃d>0)(∀x )[|x -a |<d® |f (x )-b | <e]

Приклад. Розглянемо функцію .

і співпадає із значенням y (1) = 2 ;

;

не існує.

Приклад. Розглянемо функцію .

Тут, хоча y (10)=5.

Границі функцій мають такі властивості:

1. якщо існують границі та, то

;

2. якщо існують границі та, то

;

3. якщо існують границі та, причому, то .

Означення. Функція y =f (x ) називається неперервною в точці x = a, якщо існує границя цієї функції в точці a і

Приклад. Зарплата W продавця залежно від кількості x проданого товару (рис. 4.2) є функцією вигляду

W

50 x

Рис. 4.2.

Функція W (x ) у точці x =50 не є неперервною (вона має розрив). Справді, хоча W (50)=200, проте границі не існує.

Приклади обчислення границь:

(тут використано властивість неперервності функцій та y =x 2 );

2) знайти. Безпосередньо застосувати третю властивість не можна, оскільки, тому спершу скорочуємо дріб.

Тепер ;

3).