Реферат: Дискретний логарифм

Реферат на тему:

Дискретний логарифм

Проблема обчислення дискретного логарифма є не лише цікавою, а й вкрай корисною для систем захисту інформації. Ефективний алгоритм знаходження дискретного логарифму значною мірою знизив би безпеку систем ідентифікації користувача та схеми обміну ключей.

Означення. Нехай G – скінченна циклічна група порядка n. Нехай g – генератор G та b Î G. Дискретним логарифмом числа b за основою g називається таке число x (0 £ x £ n — 1), що gx = b та позначається x = logg b .

Проблема дискретного логарифму. Нехай p – просте число, g – генератор множини Zp *, y ÎZp *. Знайти таке значення x (0 £x £p — 2), що gx ºy (modp ). Число x називається дискретним логарифмом числа yза основою g та модулем p .

Узагальнена проблема дискретного логарифму. Нехай G – скінченна циклічна група порядка n, g – її генератор, b Î G. Необхідно знайти таке число x (0 £ x £ n — 1), що gx = b .

Розширенням узагальненої проблеми може стати задача розв’язку рівняння g x = b, коли знято умову циклічності групиG, а також умову того, що g – генератор G (в такому випадку рівняння може і не мати розв’язку).

Приклад. g = 3 є генератором Z7 *: 31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5, 36 = 1.

log3 4 = 4 (mod 7), тому що розв’язком рівняння 3x = 4 буде x = 4.

Теорема. Нехай а – генератор скінченної циклічної групи G порядка n. Якщо існує алгоритм, який обчислює дискретний логарифм за основою а, то цей алгоритм може також обчислити дискретний логарифм за будь-якою основою b, яка є генератором G.

Доведення. Нехай k ÎG, x = loga k, y = logb k, z = loga b. Тоді a x = b y = (a z )y, звідки x = zymodn. Підставимо в останню рівність замість змінних логарифмічні вирази:

loga k =(loga b) (logb k) modn

або

logb k =(loga k) (loga b)-1 modn.

З останньої рівності випливає справедливість теореми.

Примітивний алгоритм

Для знаходження loggb (g – генератор G порядка n, b Î G) будемо обчислювати значення g, g 2, g 3, g 4,… поки не отримаємо b. Часова оцінка алгоритму – O(n ). Якщо n – велике число, то час обчислення логарифму є достатньо великим і тому алгоритм є неефективним.

Алгоритм великого та малого кроку

Першим детермінованим алгоритмом для обчислення дискретного логарифму був алгоритм великого та малого кроку, запропонований Шанком (Shank) [1].

Для обчислення logg b в групі Zn * необхідно зробити наступні кроки:

1. Обчислити a = é ù ;

2. Побудувати списокL1 = 1, g a, g 2a, ..., g (за модулем n );

3. Побудувати списокL2 = b, bg, bg 2, ..., bg a — 1 (за модулем n );

4. Знайти число z, яке зустрілося в L1 та L2.

Тоді z = bgk = g la для деяких k та l. Звідси b = gla — k = gx; x = la — k .

Два питання постає при дослідженні роботи наведеного алгоритму:

1. Чи завжди знайдеться число, яке буде присутнім в обох списках?

2. Як ефективно знайти значення z?

Запишемо x = s a + t для деяких s, t таких що 0 £s, t < a. Тоді b = gx = gs a + t. Домножимо рівність на g a — t, отримаємо: bg a — t = gs (a + 1). Значення зліва обов’язково зустрінеться в L2, а справа – в L1 .

Відсортуємо отримані списки L1 та L2 за час O(a * loga ). За лінійний час проглядаємо списки зліва направо порівнюючи їх голови: якщо вони рівні, то значення z знайдене, якщо ні – то видалити менше число і продовжити перевірку.

Приклад. Розв’язати рівняння: 2x º 11 (mod 13).

a = é ù = 4;

L1: 1, 24 º 3, 28 º 9, 212 º 1, 216 º 3;

L2: 11, 11 * 2 º 9, 11 * 22 º 5, 11 * 23 º 10;

Число 9 зустрілося в обох списках. 11 * 2 º 28, 11 º 27, звідки x = 7.

Відповідь: x = 7.

Інший підхід до реалізації алгоритму великого та малого кроку можна отримати якщо рівність b = gs a + t (a = é ù, 0 £s, t < a ) переписати у вигляді b * (g-a )s = gt. Обчислимо g -a та складемо таблицю значень gt, 0£t < a. Далі починаємо знаходити значення b * (g-a )s, s = 0, 1, … перевіряючи їх наявність у таблиці gt. Як тільки знаходяться такі s та t, алгоритм зупиняється.

Приклад. Обчислити log2 3 в групі Z19* .

3 = 2x = 2sa +1, 3 * (2-a )s = 2t. Складемо таблицю 2t, 0£t < é ù = 5:

t	1	2	3	4
2t	1	2	4	8	16

2-1 º 10 (mod 19), оскільки 2 * 10 º 1 (mod 19).

Тоді 3 * (2-5 )s (mod 19) º 3 * (105 )s (mod 19) º 3 * 3s (mod 19)

Обчислюємо 3 * 3s, s = 0, 1, … :

s	1	2
3 * 3s	3	9	8

Значення 8, яке отримали при s = 2, присутнє в таблиці 2t, 0£t < 5.

Звідси3 * (2-5 )2 = 23 або 3 = (25 )2 * 23 = 25*2+3 = 213 .

Відповідь: 3 = 213, тобто log2 3 = 13.

Алгоритм Полард — ро

Нехай G – циклічна група з порядком n (n – просте). Розіб’ємо елементи групи G на три підмножини S1, S2 та S3, які мають приблизно однакову потужність. При цьому необхідне виконання умови: 1 Ï S2. Визначимо послідовність елементів x i наступним чином:

x 0= 1, x i+1 =, i ³ 0 (1)

Ця послідовність у свою чергу утворить дві послідовності c i та d i, що задовольняють умові

x i =

та визначаються наступним чином:

с 0= 0, с i+1 =, i³ 0 (2)

та

d 0= 0, d i+1 =, i ³ 0 (3)

Алгоритм буде працювати циклічно шукаючи таке знчення i, для якого x i = x 2i. Для таких значень будуть мати місце рівність = або =. Логарифмуючи останню рівність за основою a, матимемо:

(d i — d 2i ) * loga b º (c 2i — c i ) modn

Якщо d i ¹d 2i (modn), то це рівняння може бути ефективно розв’язано для обчислення loga b .

Алгоритм

Вхід: генератор a циклічної групи G з порядком nта елемент b Î G.

Вихід: дискретний логарифм x = loga b .

1. x0¬ 1, c 0¬ 0, d 0¬ 0.

2. fori = 1, 2,… do

2.1. За значеннями xi -1, ci -1, di -1 та x 2i -2, c 2i -2, d 2i -2 обчислити значення xi, ci, di та x 2i, c 2i, d 2i використовуючи формули (1), (2), (3).

2.2. if (x i = x 2i ) then

r ¬ (di — d 2i ) modn ;

if (r = 0) thenreturn (FALSE); // розв’язку не знайдено

x ¬r -1 (ci — c 2i ) mod n .

return (x ).

Якщо алгоритм завершується невдачею (повертає FALSE), то можна запустити його вибравши інші початкові значення c 0, d 0з інтервалу [1; n — 1] та поклавши x0= .

Приклад. Обчислити log2 9в групі Z19* .

Побудуємо наступну таблицю значень послідовностей xi, ci, di :

i	xi	ai	bi	x 2i	a 2i	b 2i
1	9	1	18	1	1
2	18	1	1	4	4	2
3	17	2	1	4	8	6
4	4	4	2	4	16	14
5	17	4	3	4	32	30
6	4	8	6	4	64	62

На 6 кроці отримали x6 = x12. Підставивши їх значення, отримаємо:

28 * 96 = 264 * 962 або 28 – 64 = 962 – 6, 2-56 = 956

Логарифмуємо рівність: -56 * log2 9 = 56 (mod 18), оскільки |Z19* | = 18.

Враховуючи що -56 (mod 18) º 16, 56 (mod 18) º 2, перепишемо рівність у вигляді 16 * log2 9 = 2 (mod 18) або 8 * log2 9 = 1 (mod 9). log2 9 = 8-1 (mod 9) = 8.

Відповідь: log2 9 = 8.

Індексний алгоритм

Алгоритм, базований на обчисленні індексів, є найпотужним при обчисленні дискретного логарифму. Необхідно побудувати відносно невелику підмножину S елементів групи G, яка називається множниковою основою . Ця підмножина повинна обиратися таким чином, щоб як можна більша частина елементів G могла бути представлена у вигляді добутку її елементів. При обчисленні значення loga b (a – генератор G, b Î G) спочатку обчислюються значення логарифмів елементів з S (які заносяться в тимчасову базу даних), а потім на їх основі обчислюється логарифм числа b .

Алгоритм

Вхід: генератор a циклічної групи G порядка n та елемент b Î G.

Вихід: дискретний логарифм x = loga b .

1. Побудувати множину S – множникову основу. Нехай S = {p 1, p 2, …, pt }. В якості значень pi можна обрати, наприклад, i — те просте число.

2. Побудувати систему лінійних рівнянь, розв’язком якої будуть значення loga pi. Для цього виконаємо наступні кроки:

2.1. Обрати деяке ціле k, 0 £ k £ n — 1 та обчислити ak .

2.2. Спробувати представити значення ak у вигляді добутку чисел з S:

ak =, ci ³ 0

Якщо така рівність знайдена, то записати рівняння:

k = (mod n )

2.3. Повторювати кроки 2.1. та 2.2. поки не отримаємо t + c лінійних рівнянь. Невелике ціле число c (1 £c £ 10) обирається таким чином, щоб складена система рівнянь мала єдиний розв’язок з великою ймовірністю (якщо скласти лише t рівнянь з t невідомими, то з великою ймовірністю два з цих рівнянь будуть залежними і тоді система буде мати більше одного розв’язку).

3. Розв’язати утворену систему рівнянь, отримати значення loga pi, 1£i £t .

4. Обчислення loga b .

4.1. Обрати деяке ціле k, 0 £ k £ n — 1 та обчислити b *ak .

4.2. Спробувати представити значення b *ak у вигляді добутку чисел з S:

b *a k =, di ³ 0

Якщо такого представлення знайти не вдається, виконати знову 4.1. Інакше прологарифмірувавши останню рівність, отримаємо:

x = loga b = ( — k ) mod n

Приклад. Обчислити log2 12 в групі Z19* .

1. Нехай S = {2, 3, 5} – множникова основа.

2. Будуємо систему рівнянь для знаходження значень log2pi, де pi ÎS. Оскільки множина S містить 3 елементи, то достатньо отримати 3 лінійно незалежні рівняння.

k = 5: 25 (mod 19) º13 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 7: 27 (mod 19) º14 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 2: 22 (mod 19) º4 = 22. Перше рівняння: 2 = 2log2 2.

k = 10: 210 (mod 19) º17 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 15: 215 (mod 19) º12 = 22 * 3. Друге рівняння: 15 = 2log2 2 + log2 3.

k = 11: 211 (mod 19) º15 = 3 * 5. Третє рівняння: 11 = log2 3 + log2 5.

3. Система рівнянь за модулем 18 (порядок Z19* дорівнює 18) має вигляд:

Її розв’язком буде:

log2 2 = 1, log2 3 = 13, log2 5 = 16

4. Обчислення log2 12.

k = 3: 12 * 23 (mod 19) º 1 – не представимо у вигляді добутку чисел з S.

k = 7: 12 * 27 (mod 19) º16 = 24 .

log2 12 + 7 º 4log2 2 (mod 18), log2 12 º (4log2 2 – 7) (mod 18) = 15.

Відповідь: log2 12 = 15.

Алгоритм Поліга – Хелмана

Алгоритм Поліга – Хелмана ефективно розв’язує задачу дискретного логарифма в групі G порядка n, якщо число n має лише малі прості дільники.

Нехай g, h ÎG, |G| = ps, p – просте. Тоді значення x = logg h можна подати у вигляді:

x = x 0+ x 1p + x 2p 2 + … + xs -1ps -1

Піднесемо рівняння h = gx до степеняps -1 :

= = =

* * * … * = ,

оскільки = 1 (g – генератор групи, ps – її порядок).

Таким чином з рівності = знаходимо x 0.

Далі маючи значення x 0, x 1, …, xi -1 можна обчислити xi з рівняння

=

Приклад. Обчислити log3 7 в Z17* .

Необхідно розв’язати рівняння 3x = 7 в групі, порядок якої дорівнює 16 = 24 .

Представимо x у двійковій системі числення: x = x 0+ 2x 1 + 4x 2 + 8x 3 .

1. Обчислення x 0.

Піднесемо рівняння 3x = 7 до степеня 23 = 8:

= 78, = -1,

* * * = -1.

Оскільки 316 (mod 17) º 1, тоостаннє рівняння прийме вигляд = -1. Враховуючи що 38 (mod 17) º -1, маємо: = -1, x 0= 1.

2. Обчислення x 1 .

Домножимо рівність = 7 на = 3-1 (mod 17) = 6, отримаємо:

= 7 * 6 або = 8.

Піднесемо рівняння до степеня 4: = 84, = -1, x1 = 1.

3. Обчислення x 2 .

1. D. Shanks. Class number, a theory of factorization and genera. In Proc. Symposium Pure Mathematics, vol.20, pp.415-440. American Mathematical Society, 1970.