Реферат: Безкінечно малі функції

Безкінченно малі функції

Визначення 1. Функція f( x) називається безкінченно малою функцією (або просто безкінченно малою) в точці х=х0 (або при х - х0 ), якщо f( x)=0.Аналогічно визначаються безкінечно малі функції при

Так як межа нескінченно малої функції рівна нулю, то можна дати рівносильне визначення нескнченно малої функції. Функція f ( x ) називається нескінченно малою в точці х=х0, якщо для любого існує, таке, що для всіх, задовільняющих нерівності, виконується нерівність і на язику послідовності: функція називається безкінечно малою в точці х=х0, якщо для любої зводящоїсі до х0 послідовність являється нескінченно малою.

Теорема. Для виконання рівняння f( x)= A необхідно і достатньо, щоб функція була х - х0 нескінченно малою при х - х0

Бескінченно малі функції володіють такими ж свойствами, що і бескінечно малі послідовності.

Теорема. Алгебраїчна сума і проізвідєніє кінцевого числа нескінченно малих функцій при х - х0, а також проізвідєніє безкінечно малої функції на обмежену функцію являються нескінченно малими функціями при х - х0.

Нескінченно великі функції

Визначення. Функція f( x) називається безкінченно великою функцією в точці х= х0 (або при х - х0 ), якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність, виконується нерівність .

В цьому випадку пишуть f( x)= і говорять, що функція стремиться до нескінченності при х - х0 або, що вона має нескінченну межу в точці х = х0 .

Якщо виконується нерівність, то пишуть f( x)= і говорять, що функція має в точці х0 нескінченну межу, рівну .

Так наприклад, пишуть f( x)= , якщо для любого існує, таке, що для всіх, задовольняючих нерівностями, виконується нерівність .

“На язику послідовності” це визначення записується так:, якщо для любої зводящої ??? до х0 послідовності значення аргументу х, елементи х n який більше x0, відповідають послідовності значення функцій являється нескінченно великий позитивного знака.

Аналогічно визначаються нескінченно великі функції при. Так, наприклад: функція f(x) називається нескінченно великою при, якщо для любого існує таке, що для всіх задовольняючих нерівність, виконується нерівність. При цьому пишуть f(x)=. Якщо виконується нерівність, то пишуть f(x)= ().

На завершення покажем, що між нескінченно малими і нескінченно великими функціями існує такий же зв'язок, як і між відповідними послідовностями, функціями, зворотньо безкінечно малої, являється безкінченно вищою і наоборот.

Насправді, нехай f(x)=0 і f(x)0 при .

Докажем, що .

Задамо довільне. Так як f(х) – нескінченно мала функція в точці х0, то для числа 1/існує таке, що для всіх, задовільняющих нерівностям, виконується нерівність. Но тоді для тих же х виконується нерівність, т.с. — нескінченно велика функція в точці х=х0, що і потрібно було доказати.