Реферат: Поняття предиката

Реферат на тему:

Поняття предиката

Числення висловлень, що розглядалось у попереднiх роздiлах, як алгебра висловлень i як формальна (аксiоматична) теорiя, є важливою i невiд’ємною складовою частиною всiх числень математичної логiки. Однак воно є занадто бiдним для опису та аналiзу найпростiших логiчних мiркувань науки i практики.

Однiєю з причин цього є те, що у численнi висловлень будь-яке просте висловлення розглядається як вихiдний об’єкт дослiдження, неподiльне цiле, позбавлене частин i внутрiшньої структури, яке має лише одну властивiсть — бути або iстинним, або хибним.

Для того, щоб побудувати систему правил, яка дозволяла б проводити логiчнi мiркування для виведення нетривiальних правильних висновкiв з урахуванням будови i змiсту простих висловлень, пропонується формальна теорiя, що дiстала назву числення предикатiв.

Теорiя предикатiв починається з аналiзу граматичної будови простих висловлень i грунтується на такому висновку: простi висловлення виражають той факт, що деякi об’єкти (або окремий об’єкт) мають певнi властивостi, або що цi об’єкти знаходяться мiж собою у певному вiдношеннi.

Наприклад, в iстинному висловленнi «3 є просте число» пiдмет «3» — це об’єкт, а присудок «є просте число» виражає деяку його властивiсть.

У латинськiй граматицi присудок називається предикатом, звiдси цей термiн i увiйшов у математичну логiку. Головним для логiки предикатiв є саме друга складова речення-висловлення — присудок-властивiсть. Вона фiксується, а значення об’єкта пропонується змiнювати так, щоб кожен раз отримувати осмисленi речення, тобто висловлення.

Наприклад, замiнюючи у наведеному вище висловленнi 3 на 1, 5, 9 або 12, матимемо вiдповiдно такi висловлення: «1 є просте число», «5 є просте число», «9 є просте число», «12 є просте число», з яких друге є iстинним, а решта — хибними висловленнями.

Таким чином, можна розглянути вираз «x є просте число», який не є висловленням, а є так званою пропозицiйною (висловлювальною ) формою. Тобто формою (або формуляром), пiсля пiдстановки в яку замiсть параметра (змiнної) x об’єктiв (значень) з певної множини M, дiстаємо висловлення.

Аналогiчно можна трактувати, наприклад, пропозицiйнi форми «a є українцем», «b i c є однокурсники», «c важче d », або «точка x лежить мiж точками y i z ». У першi двi з них можна пiдставляти замiсть параметрiв a, b i c прiзвища конкретних людей. У третю замiсть c i d назви будь-яких об’єктiв (предметiв), якi мають вагу. Для четвертої множиною M значень змiнних x, y i z є множина точок певної прямої.

Перша з цих пропозицiйних форм задає, як i в наведенiй ранiше формi, певну властивiсть для об’єкта a. Iншi три форми описують деякi вiдношення мiж вiдповiдними об’єктами.

Розглянувши конкретнi приклади i коротко зупинившись на мотивацiї та змiстовнiй iнтерпретацiї подальших понять, перейдемо до формальних математичних означень.

n-мiсним предикатом P (x 1 ,x 2 ,...,xn ) на множинi M називається довiльна функцiя типу Mn ®B, де B = {0,1} — бульовий (двiйковий) алфавiт.

Множина M називається предметною областю , або унiверсальною множиною, а x 1 ,x 2 ,...,xn — предметними змiнними , або термами предиката P .

Множина елементiв (a 1 ,a 2 ,...,an )ÎMn таких, що P (a 1 ,a 2 ,...,an ) = 1 називається областю iстинностi (або характеристичною множиною ) предиката P .

Якщо P (a 1 ,a 2 ,...,an ) = 1, то згiдно з логiчною iнтерпретацiєю будемо говорити, що предикат P є iстинним на (a 1 ,a 2 ,...,an ). У противному разi, казатимемо, що предикат P є хибним .

Взагалi кажучи, можна означити так званий багатосортний предикат, як функцiю типу M 1 ´M 2 ´...´Mn ®B, дозволивши різним його аргументам приймати значення з рiзних множин. Iнодi це буває доцiльним; однак частiше в логiцi предикатiв використовують наведене ранiше означення.

Неважко зрозумiти, що пропозицiйна форма є одним зi способiв задання предиката.

Для n = 1 предикат P (x ) називається одномiсним або унарним, для n = 2 P (x ,y ) — двомiсним або бiнарним, для n = 3 P (x ,y ,z ) — трьохмiсним або тернарним предикатом.

Очевидно, що коли в n -арному предикатi P (x 1 ,x 2 ,...,xn ) зафiксувати деякi m змiнних (тобто надати їм певних значень з множини M ), то отримаємо (n -m )-мiсний предикат на множинi M. Це дозволяє вважати висловлення нульмiсними предикатами, якi утворено з багатомiсних предикатiв пiдстановкою замiсть усiх їхнiх параметрів певних значень з предметної областi. Таким чином, висловлення можна розглядати як окремий випадок предиката.

Для довiльної множини M i довiльного n iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж сукупнiстю всiх n -мiсних предикатiв на M i множиною всiх n -арних вiдношень на M. А саме, будь-якому предикату P (x 1 ,x 2 ,...,xn ) вiдповiдає вiдношення R таке, що (a 1 ,a 2 ,...,an )ÎR тодi i тiльки тодi, коли P (a 1 ,a 2 ,...,an ) = 1. Очевидно, що при цьому R є областю iстинностi предиката P.

Крiм того, за будь-якою вiдповiднiстю C мiж множинами A i B (тобто C ÍA ´B ) можна побудувати бiнарний двосортний предикат P (x ,y ) таким чином: P (a ,b ) = 1 тодi i тiльки тодi, коли (a ,b )ÎC для a ÎA i b ÎB .

Зокрема, будь-якiй функцiональнiй вiдповiдностi або функцiї f: Mn ®M можна поставити у вiдповiднiсть (n +1)-мiсний предикат P на M такий, що P (a 1 ,a 2 ,...,an ,an +1 ) = 1 тодi i тiльки тодi, коли f (a 1 ,a 2 ,...,an ) = an +1 .

Отже, такi фундаментальнi математичнi поняття як вiдповiднiсть (зокрема, функцiя), вiдношення, висловлення можна розглядати як окремi випадки бiльш загального поняття предиката.