Реферат: Произведем необходимые вычисления
;
;
;
;
;
; .
Определим коэффициенты регрессии.
;
;
;
.
Уравнения регрессии имеют вид:
ух = 10,9 × х + 11,4;
ху = 0,086 × у – 0,86.
Учитывая, что, получим
;
.
Проверим значимость коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем величину
.
Возьмем уровень значимости a = 0,05.
t0,05; 48 = 0,68.
Поскольку tЭ > t0,05; 48, то можно считать, что случайные величины связаны линейной корреляционной зависимостью.
Проверим значимость линейной регрессии Y на Х. Для этого рассчитаем и, используя таблицу 35.3.
.
Найдем величину .
Возьмем за уровень значимости a = 0,05.
F0,05; 1; 48 =4,08.
Поскольку FЭ >> F0,05; 1; 48, то регрессия Y на Х значима.
Аналогично можно проверить значимость регрессии Х на Y.
В начале данного пункта говорилось, что линейная регрессия в практических задачах встречается достаточно часто, но иногда требуется использовать уравнения регрессий других форм. Например, если развитие производства происходит с некоторым ускорением по времени, то применяемую зависимость объема производства у от времени можно представить в виде
у = а х2 + b х + с. Во многих биологических системах встречаются показательные зависимости и т.д.
Для оценки неизвестных параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. При проверке гипотезы о значимости регрессии можно применить дисперсионный анализ по той же схеме, как это делалось при анализе линейной регрессии, только в качестве статистики следует взять величину
,
где m – число оцениваемых параметров.
П р и м е р 35.3. Для изучения зависимости месячного привеса цыплят от светового режима составлена следующая таблица (Х = t – 12 (ч), где t – длина светового периода, Y – привес в %).
Таблица 35.5.
| X | – 2 | – 1 | ||
| Y (%) |
Найти уравнение регрессии Y на Х и проверить его значимость.
Решение. Поскольку первоначальная родина современных пород кур – субтропики, то следует ожидать, что наиболее благоприятный световой режим для них 12:12, т.е. 12 часов световых, 12 часов темноты. Любое отклонение от такого режима может негативно сказаться на общем привесе. Для наглядности изобразим точки (xi, yi) на рис. 35.3.
| у 31 29 28 26 – 2 – 1 (0; 25) 1 2 х
|
Рис. 35.3.
Сделаем предположение, что наиболее подходящим уравнением регрессии будет уравнение параболы
y = a x2 + b x + c.
Для нахождения оценок неизвестных параметров применим метод наименьших квадратов
.
Найдем частные производные и приравняем их к нулю:
;
;
.
После преобразований получим систему
Для расчета необходимых сумм составим таблицу 35.6.
Таблица 35.6.
| i | xi | yi | xi yi |
| — 2 | — 8 | — 50 | |
| — 1 | — 1 | — 28 | |
| S |
Используя данные таблицы 35.6, запишем следующую систему
Решив данную систему, получим а = — 0,95; b = 0,2; с = 29,31.
Тогда уравнение регрессии имеет вид: ух = — 0,95 х2 + 0,2х + 29,31.
Проверим значимость уравнения регрессии. Вычислим по уравнению регрессии значения .
у(- 2) = — 0,95 × 4 — 0,2 × 2 + 29,31 = 26,11;
у(- 1) = — 0,95 × 1 — 0,2 + 29,31 = 28,41;
у(0) = 29,31;
у(1) = — 0,95 × 1 + 0,2 + 29,31 = 28,81;
у(2) = — 0,95 × 4 +- 0,2 × 2 + 29,31 = 26,91.
Найдем и .
= (25 – 26,11)2+ (28 – 28,41)2 + (30 – 29,31)2 + (28 – 28,81)2 + (26 – 26,91)2 »
» 3,31.
.
= — = 15,2 – 3,31 = 11,89.
Найдем значение критерия, вычисленного по опытным данным.
.
Найдем критическое значение критерия Fкр = F(a, m – 1, n – m), где
a = 0,05; m – 1 = 2; n – m = 2. Получим F(0,05; 2; 2) = 19,0.
Поскольку FЭ < F(a, m – 1, n – m), то уравнение регрессии не значимо. Получилось, что найденная регрессия не достаточно хорошо отражает опытные данные. Можно уточнить данную регрессию, рассмотрев полином более высокого порядка, поскольку всякую функцию на любом интервале можно как угодно точно описать полиномом y = a0+ a1x + a2x2 + …+ akxk. Однако, повышение порядка полинома приводит к значительному усложнению вида искомой регрессии и к неоправданной замене случайных отклонений закономерными процессами. В данном конкретном случае не стоит повышать степень полинома, поскольку отрицательный результат очевидно связан с малым объемом выборки. Следовательно, можно рекомендовать исследователю увеличить число опытов и повторно попытаться найти регрессионную зависимость.
§ 36. Множественный корреляционный и регрессионный анализ.
В тех случаях, когда исследуется корреляционная связь между величинами, число которых больше двух, вводят понятие множественной корреляции.
Пусть имеется совокупность случайных величин Х1, Х2, …, Хm, имеющих совместное нормальное распределение.
Матрицу
,
где rij – парные коэффициенты корреляции, называют корреляционной.
Основная задача многомерного корреляционного анализа – оценка корреляционной матрицы Rm по имеющимся выборочным данным. Для того, чтобы упростить дальнейшие рассуждения и преобразования, ограничимся тремя СВ X, Y, Z. В этом случае корреляционная матрица примет вид:
.
Традиционными задачами многомерного корреляционного анализа являются:
1) оценка тесноты связи между каким-либо признаком, например, Z, и остальными признаками (Х и Y);
2) оценка тесноты связи между двумя выбранными признаками при исключении влияния других, например, между Z и Х при фиксированном Y или между Z иY при фиксированном Х.
Оценка тесноты связи в первом случае характеризуется выборочным совокупным коэффициентом корреляции
,
причем 0 £ R £ 1.
Теснота связи между двумя признаками оценивается с помощью частных выборочных коэффициентов корреляции.
Например, теснота связи между Z и Х при постоянном Y оценивается корреляционным коэффициентом
.
Частные выборочные коэффициенты корреляции имеют те же свойства и тот же смысл, что и обычный коэффициент корреляции.
Уравнение множественной регрессии находится по опытным данным методом наименьших квадратов. В наиболее простом случае линейной регрессии Z от Х и Y уравнение связи будет иметь вид:
,
где, .