Реферат: Устойчивость. Типичные виды. Определяющие функции. Теорема.

A ball bearing, with dissipative friction, in a gravity field:

ВИДЫ:

Шарик с учетом силы трения в гравитационном поле:

1-асимптотическая устойчиво

2-устойчивость по Ляпунову

3-неустойчивость

-Асимптотическая устойчивость

Асимптотически устойчивой точки равновесия существует, если существует число d > 0, так что если ||a(0)|| < d, тогда получающееся движение, a(t) удовлетворяет

( Asymptotic Stability:

The origin is an asymptotically stable equilibrium point if there exists a number d > 0 such that if ||a(0)|| < d, then the resulting motion, a(t), satisfies )

-Устойчивость по Ляпунову

Точка равновесия:

Точка равновесия – такая точка a*, что da/dt = 0.

Устойчивость (по Ляпунову):

Устойчивая точка равновесия существует, если для любой данного значения e > 0 существует число, такое что если, тогда получающееся движение a(t) удовлетворяет

(The origin is a stable equilibrium point if for any given value e > 0 there exists a number d(e) > 0 such that if ||a(0)|| < d, then the resulting motion, a(t), satisfies ||a(t)| |< e for t > 0. )

Определяющие функции:

Positive Definite (позитивная определенность):

Скалярная функция V(a) позитивно определена, если V(0) = 0 и V(a) > 0 для a ¹ 0.

Positive Semidefinite(позитивная Полуопределенность):

Скалярная функция V(a) позитивно полуопределена, если V(0) = 0 и V(a) ³ 0 для всех a.

Теорема Ляпунова об устойчивости (Lyapunov Stability Theorem)

-Если положительная определенная функция V(a) может быть найдена, так что dV(a)/dt отрицательно полуопределенн, тогда происхождение (a = 0) устойчиво для вышеупомянутой системы…

(Theorem 1: Lyapunov Stability Theorem

If a positive definite function V(a) can be found such that dV(a)/dt is negative semidefinite, then the origin (a = 0) is stable for the above system. If a positive definite function V(a) can be found such that dV(a)/dt is negative definite, then the origin (a = 0) is asymptotically stable. In each case, V(a) is called a Lyapunov function of the system. )

-Если для уравнений возмущенного движения можно найти знакоопределенную функцию V, производная V• которой в силу этих уравнений была бы или знакопостоянной функцией противоположного знака с V, или тождественно равной нулю, то невозмущенное движение x=0 устойчиво относительно величин x1, x2, …, xN.