Реферат: Применение экономико-математических методов для решения экономических задач

--PAGE_BREAK--2.Методические основы экономико-математических методов


В экономико-математическом анализе используются математические модели, описывающие изучаемое явление или процесс с помощью уравнений, неравенств, функций и других математических средств. Различают математические модели с количественными характеристиками, записанными в виде формул; числовые модели с конкретными числовыми характеристиками; логические, записанные с помощью логических выражений, и графические, выраженные в графических образах.

Систематизировать применяемые в анализе деятельности предприятия методы можно по различным признакам. Наиболее целесообразной представляется классификация экономико-математических методов по содержанию метода, т.е. по принадлежности к определенному разделу современной математики.

Сформулированная математическая задача экономического анализа может быть решена одним из наиболее разработанных математических методов. Поэтому классификация в значительной мере условна. То есть, как уже говорилось ранее, задачи управления запасами могут решаться методами математического программирования и с применением динамических методов.

Эконометрические методы строятся на синтезе трех областей знаний: экономики, математики и статистики. Основа эконометрии – экономическая модель, под которой понимается схематическое представление экономического явления или процесса при помощи научной абстракции, отражения их характерных черт. Наибольшее распространение получил метод анализа «затраты – впуск» (межотраслевого баланса). Это матричные (балансовые) модели, строящиеся по шахматной схеме и позволяющие в наиболее компактной форме представить взаимосвязь затрат и результатов производства. Удобство расчетов и четкость экономической интерпретации – главные особенности матричных моделей.

Математическое программирование – важный раздел современной прикладной математики. Методы математического программирования служат основным средством решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. По своей сути эти методы есть средство плановых расчетов. Их ценность для экономического анализа выполнения планов в том, что они позволяют оценивать напряженность плановых заданий, определять лимитирующие группы оборудования, виды сырья и материалов, получать оценки дефицитности произведенных ресурсов и т.п. Основными являются методы линейного программирования (симплексный метод, транспортная задача) и динамического программирования.

Под исследованием операций подразумеваются разработка методов целенаправленных действий (операций), количественная оценка полученных решений и выбор наилучшего из них. Предметом исследования операций являются экономические системы, в том числе производственно-хозяйственная деятельность предприятий. Цель – такое сочетание структурных взаимосвязанных элементов систем, которое в наибольшей степени отвечает задаче получения наилучшего экономического показателя из ряда возможных. Наиболее распространены методы управления запасами, теории игр и массового обслуживания, сетевые методы планирования и управления.

Математическое моделирование экономических явлений и процессов является важным инструментом экономического анализа. Оно дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи.[22, 43-47]

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели любого вида. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа:

1.     анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу, и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;

2.     определение методов, с помощью которых можно решить задачу;

3.     анализ полученных результатов.

Теория игр исследует оптимальные стратегии в различных ситуациях, в которых может находиться предприятие. К ним относятся ситуации, связанные с выбором наиболее выгодных производственных решений системы научных и хозяйственных экспериментов, с организацией статистического контроля, хозяйственных взаимоотношений между предприятиями промышленности и других отраслей. Формализуя конфликтные ситуации математически, их можно представить как игру двух, трех и т. д. игроков, каждый из которых преследует цель максимизации своей выгоды, своего выигрыша за счет другого. Поэтому для поиска производственно-хозяйственных решений на предприятиях чаще используют именно теорию игр.

Решение подобных задач требует определенности в формулировании их условий: установления количества игроков и правил игры, выявления возможных стратегий игроков, возможных выигрышей (отрицательный выигрыш понимается как проигрыш). Важным элементом в условии задач является стратегия, т.е. совокупность правил, которые в зависимости от ситуации в игре определяют однозначный выбор данного игрока. Количество стратегий у каждого игрока может быть конечным и бесконечным, отсюда и игры подразделяются на конечные и бесконечные. При исследовании конечной игры задаются матрицы выигрышей, а бесконечной — функции выигрышей. Для решения задач применяются алгебраические методы, основанные на системе линейных уравнений и неравенств, итерационные методы, а также сведение задачи к некоторой системе дифференциальных уравнений.

На промышленных предприятиях теория игр может использоваться для выбора оптимальных решений, например при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, в вопросах качества продукции и других экономических ситуациях. В первом случае противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, в том числе и страховых, гарантирующих бесперебойную работу производства; сокращения запасов, обеспечивающих минимизацию затрат на их хранение; во втором стремления к выпуску большего количества продукции, ведущего к снижению трудовых затрат; к повышению качества, сопровождающемуся часто уменьшением количества изделий и, следовательно возрастанием трудовых затрат. В машиностроительном производстве противоборствующими направлениями являются стремление к максимальной экономии металла в конструкциях, с одной стороны, и обеспечение необходимой прочности конструкций с другой.

Природные условия (условия неопределенности) нередко сказываются на эффективности работы промышленных предприятий.

Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы.[2, 270]

Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решения таковы:

Е1– выбор размеров из соображений максимальной долговечности ;

Еm– выбор размеров из соображений минимальной долговечности ;

Ei– промежуточные решения.

Условия требующие рассмотрения таковы :

F1 – условия, обеспечивающие максимальной долговечность;

Fn– условия, обеспечивающие min долговечность;

Fi– промежуточные условия.

Под результатом решения eij = е(Ei; Fj) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Eiи условиям Fjи характеризующие прибыль, полезность или надёжность.

Тогда семейство (матрица) решений<img width=«31» height=«28» src=«ref-2_1831977212-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"> имеет вид :

 

F1

F2

… .

Fn

E1

e11

e12

… .

e1n

E2

e21

e22

… .

e2n

… .

 … .

Em

em1

em2

… .

emn



Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений <img width=«29» height=«26» src=«ref-2_1831977551-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026"> сводится к одному столбцу.

При поиске оптимальных решений, учитывая специфику игр, обращаются к различным критериям, которые дают некоторую логическую схему принятия решения. Критерии позволяют оценить принимаемое решение с различных позиций, поэтому позволяют избежать грубых ошибок в хозяйственной деятельности.
1.     Минимаксный критерий.

Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение этого столбца.

Выбранные т.о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.

Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

1. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;

2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj.
2.     Критерий Лапласа.

Предположим, что игрок не располагает достоверной информацией об априорных вероятностях состояний природы. Оптимальной считается чистая стратегия, обеспечивающая максимальный средний выигрыш <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_1831977929-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038"> игрока при равенстве всех априорных вероятностей <img width=«92» height=«41» src=«ref-2_1831978030-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">. Этот прием называется принципом недостаточного основания Лапласа.

Матрица решений<img width=«36» height=«27» src=«ref-2_1831978268-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027"> дополняется ещё одним столбцом  содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.



3.     Критерий  Сэвиджа.


<img width=«212» height=«63» src=«ref-2_1831978610-743.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">

Величину aij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии Fj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. В последнем случае максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj, j =<img width=«25» height=«21» src=«ref-2_1831979353-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">) потери в случае выбора варианта Ei.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:

1) Каждый элемент матрицы решений <img width=«38» height=«29» src=«ref-2_1831979589-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"> вычитается из наибольшего результата maxeij соответствующего столбца.


2) Разности aij образуют матрицу остатков<img width=«36» height=«27» src=«ref-2_1831979884-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.


Из критериев становится ясно, что в следствии их жёстких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочерёдно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Для линейного программирования характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.

Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, а в частности симплексного метода, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу — значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.[2, 260]

Предприятие может выпускать n видов продукции, используя m видов ресурсов. Пусть <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_1831980176-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040"> – расход i ресурса на единицу j продукции, <img width=«15» height=«20» src=«ref-2_1831980276-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> – имеющееся количество i ресурса, <img width=«16» height=«23» src=«ref-2_1831980369-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042"> – прибыль на единицу j продукции, <img width=«17» height=«23» src=«ref-2_1831980463-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043"> – искомое количество единиц j продукции. Задача состоит в том, чтобы найти производственную программу

<img width=«170» height=«36» src=«ref-2_1831980557-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">

максимизирующую прибыль

                     <img width=«116» height=«65» src=«ref-2_1831981089-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">                        (1)

      при ограничениях по ресурсам

            <img width=«121» height=«65» src=«ref-2_1831981547-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">, i= 1, …m               (2)

      где по смыслу задачи

                          <img width=«65» height=«39» src=«ref-2_1831982039-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">                             (3)

Решаем задачу симплексным методом, для этого:

1.                      Приводим задачу к каноническому виду

·                        максимизируем целевую функцию <img width=«207» height=«71» src=«ref-2_1831982381-859.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048"> 

·                        приводим ограничения к виду <img width=«61» height=«37» src=«ref-2_1831983240-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">

·                        составляем систему уравнений путем введения дополнительных переменных

Если <img width=«134» height=«71» src=«ref-2_1831983586-693.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">,    то  <img width=«192» height=«71» src=«ref-2_1831984279-799.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">

Если <img width=«134» height=«71» src=«ref-2_1831985078-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">,       то <img width=«192» height=«71» src=«ref-2_1831985779-783.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">
2.                      составляем первоначальное решение и таблицу



Базис

План



Свободные переменные

Разрешающий коэффициент

<img width=«45» height=«37» src=«ref-2_1831986562-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">

<img width=«49» height=«37» src=«ref-2_1831986790-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">





<img width=«26» height=«37» src=«ref-2_1831987022-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">

<img width=«24» height=«35» src=«ref-2_1831987216-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">



<img width=«30» height=«35» src=«ref-2_1831987405-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">







<img width=«57» height=«37» src=«ref-2_1831987632-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">



<img width=«26» height=«35» src=«ref-2_1831987907-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">































<img width=«30» height=«37» src=«ref-2_1831988099-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">



<img width=«34» height=«37» src=«ref-2_1831988298-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">











f

<img width=«24» height=«37» src=«ref-2_1831988537-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">

<img width=«47» height=«37» src=«ref-2_1831988757-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">







<img width=«45» height=«37» src=«ref-2_1831989005-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">





3.                      проверяем полученное решение на оптимальность

Критерий оптимальности выполнен и задача решена если все коэффициенты индексной строки <img width=«38» height=«28» src=«ref-2_1831989244-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">. Если хотя бы один коэффициент индексной строки  < 0, то решение не оптимально, его можно улучшить построением другого решения.
Для построения нового решения требуется:

1.                      среди < 0 коэффициентов индексной строки выбрать наибольшее по абсолютной величине. Столбец в котором находится выбранный коэффициент – разрешающий.

2.                      для всех элементов разрешающего столбца имеющих одинаковые знаки со значением <img width=«22» height=«37» src=«ref-2_1831989479-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067"> находятся разрешающие коэффициенты <img width=«84» height=«65» src=«ref-2_1831989685-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">

3.                      среди всех разрешающих коэффициентов выбирают наименьший, ему соответствует разрешающая строка и переменная выводимая из базиса.

4.                      на пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент <img width=«30» height=«37» src=«ref-2_1831990209-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">

5.                      происходит пересчет симплексной таблицы

·                        меняется одна базисная переменная

·                        находятся элементы разрешающей строки <img width=«105» height=«76» src=«ref-2_1831990421-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">

·                        коэффициенты системных ограничений при базисных переменных образуют единичную матрицу

·                        все остальные клетки симплексной таблицы, включая индексную строку, находятся по правилу прямоугольника

<img width=«186» height=«76» src=«ref-2_1831990950-779.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">
Каждому новому решению задачи соответствует один итерационный процесс и одна симплексная таблица.

    продолжение
--PAGE_BREAK--3.Исследование задач выбора производственного решения


При образовании предприятия основным вопросом является, что производить. Определившись с примерным направлением производства и ассортиментом необходимо просчитать, основываясь на статистики или на данных работающих в данной отрасли предприятий, наиболее рентабельный вид продукта используя теорию игр.

Предприятию,  производящему изделия из водоотталкивающих тканей, необходимо принять решение о производстве  зонтов, плащей, туристических палаток и сумок в зависимости от того, будет ли погода умеренной или дождливой. Доходы от реализации при каждом из состояний погоды, в млн. у.е. составили:

Таблица 3.1.



дождливая

умеренная

зонты

1,05

0,96

плащи

1,3

1,02

палатки

0,8

0,9

сумки

1

1,2



Необходимо принять решение о вложении денежных средств в производство той продукции, которая обеспечит наибольшую возможную прибыль.
Поиск решения с помощью минимаксного критерия.

Составляется платежная матрица:
Таблица 3.2.



F1

F2

<img width=«26» height=«28» src=«ref-2_1831991729-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">

Е1

1,05

0,96

0,96

Е2

1,3

1,02

1,02

Е3

0,8

0,9

0,8

Е4

1

1,2

1

<img width=«26» height=«22» src=«ref-2_1831991915-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

1,3

1,2





Получаем что нижняя чистая цена игры <img width=«24» height=«17» src=«ref-2_1831992019-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">= max<img width=«26» height=«28» src=«ref-2_1831991729-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">= 1.02,

а верхняя чистая цена игры <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_1831992373-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">= min<img width=«26» height=«22» src=«ref-2_1831991915-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">= 1.2

Таким образом получаем, что α ≠ β следовательно седловая точка отсутствует. Согласно ММ-критерию  следует проводить полную проверку, т.к. упростить платежную матрицу нельзя, потому что нет доминируемых стратегий. Вообще, в играх с природой нельзя отбрасывать те или иные состояния природы, поскольку она может реализовать любое свое состояние независимо, выгодно оно предприятию или нет.
Критерий Байеса – Лапласа.

В нашей задаче <img width=«66» height=«39» src=«ref-2_1831992677-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">. Средние выигрыши помещены в столбце <img width=«22» height=«32» src=«ref-2_1831992868-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079">.

Таблица 3.3.



F1

F2

<img width=«22» height=«32» src=«ref-2_1831992868-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">

Е1

1,05

0,96

1,005

Е2

1,3

1,02

1,16

Е3

0,8

0,9

0,85

Е4

1

1,2

1,1



Оптимальной по Байесу-Лапласу является чистая стратегия Е2. В интересах объективности можно найти средние значения <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_1831993108-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"> вероятностей, определенных квалифицированными экспертами для каждого состояния на основе их субъективного опыта.

Т.о. критерий Байеса-Лапласа более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.
Критерий Сэвиджа.

В играх с природой нельзя что либо предсказать, т.к. она может реализовать любое состояние.

Перейдем к матрице рисков, она позволяет понять преимущество одной стратегии перед другой.

Таблица 3.4.



F1

F2

<img width=«41» height=«31» src=«ref-2_1831993212-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">

Е1

0,25

0,24

0,25

Е2



0,18

0,18

Е3

0,5

0,4

0,5

Е4

0,3



0,3



<img width=«368» height=«30» src=«ref-2_1831993365-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">.

Выбираем стратегию Е2, с минимальной величиной риска.

Из показаний критериев видно, что наиболее прибыльным для предприятия будет производство зонтов, при любых погодных условиях.

Не менее важной и сложной задачей предприятия является определение необходимого объема выпускаемой продукции, особенно если  наименований несколько. В подобных случаях используют симплексный метод.

Предприятие производит 3 вида продукции: А1, А2, А3, используя сырьё двух типов. Известны затраты сырья каждого типа на единицу продукции, запасы сырья на планируемый период, а также прибыль от единицы продукции каждого вида.

Таблица 3.5.

Сырье

Затраты сырья на единицу продукции

Запас сырья

А1

А2

А3

I

3,5

7

4,2

1400

II

4

5

8

2000

Прибыль от ед.прод.

1

3

3





Необходимо определить сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить максимум прибыли.
Составим математическую модель задачи. Пусть x1, х2, х3 соответственно – количество единиц продукции А1, А2, А3, которую производит предприятие. По смыслу задачи эти переменные неотрицательны.

Тогда f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 – совокупная прибыль от продажи произведенной продукции, которую требуется максимизировать.

Подсчитаем затраты сырья:

Сырье 1-го типа: 3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3, по условию затраты не превосходят 1400,

Сырье 2-го типа: 4 х1 + 5 х2 + 8 х3, по условию затраты не превосходят 2000.

Пришли к задаче линейного программирования:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Преобразуем первое ограничение:

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400, (поделим на 7)

0,5 х1 + 1 х2 + 0,6 х3 ≤ 200, (умножим на 10)

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000.
Получили задачу:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.
Решим данную задачу симплекс-методом. Введем дополнительные переменные х4, х5 для приведения задачи к каноническому виду:

f(x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 + х4 = 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 + х5 = 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0.

В качестве опорного плана выберем Х=(0, 0, 0, 2000, 2000). Составим симплекс-таблицу:

Таблица 3.6.

Базис

План

х1

х2

х3

х4

х5

δ
ij

х4

2000

5

10

6

1

0

200

х5

2000

4

5

8

0

1

400

f

0

-1

-3

-3

0

0





В последней оценочной строке есть отрицательные оценки, поэтому нужно делать шаг симплекс-метода. Выбираем столбец с наименьшей оценкой, а затем разрешающий элемент – по наименьшему отношению свободных членов к коэффициентам столбца (отношения записаны в последнем столбце). Результат шага запишем в таблицу (разрешающий элемент будем выделять жирным). Аналогично будем повторять шаги, пока не придем к таблице с неотрицательными оценками.

Таблица 3.7.

Базис

План

х1

х2

х3

х4

х5

δ
ij

х2

200

1/2

1

3/5

1/10

0

1000/3

х5

1000

3/2

0

5

-1/2

1

1000/5

f

600

1/2

0

-6/5

3/10

0





Таблица 3.8.

Базис

План

х1

х2

х3

х4

х5

δ
ij

х4

80

8/25

1

0

4/25

-3/25

200

х3

200

3/10

0

1

-1/10

1/5

400

f

840

43/50

0

0

9/50

6/25





В последнем плане строка f не содержит отрицательных значений, план x1 = 0, x2 = 80,   x3 = 200оптимален, целевая функция принимает максимальное значение 840(совокупная прибыль).

Дадим экономическую интерпретацию оптимального плана. Согласно этому плану необходимо произвести 0 единиц продукции типа А1, 80 единиц продукции типа А2, 200 единиц продукции типа А3.

В строке f оптимального плана в столбцах дополнительных переменных y*=(9/50, 6/25).

Двойственные оценки определяют дефицитность сырья. Так как y1*=9/50>0, y2*=6/25>0, то, согласно второй теореме двойственности сырье и 1го, и 2го типов полностью используется в оптимальном плане и является дефицитным сырьем.

Кроме того, значения двойственных оценок показывают, насколько возрастает доход предприятия при увеличении дефицитного сырья на единицу (соответственно, на 9/50 и на 6/25).


    продолжение
--PAGE_BREAK--