Реферат: Взаимосвязи экономических перемененых

--PAGE_BREAK--
3). Случ откл-ие εiи εji≠jне зависят др от др. Это означает, что отсут-т систем-я связь м/у 2 любыми парами откл-ий, т.е.

<img width=«192» height=«51» src=«ref-2_1881718573-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">

Если это усл-ие вып-ся, то гов-т об отсут-ии а/коррел м/у случ откл-ми.

Это соотн-ие еще перепис-т в форме M(εi,εj)=0 (i≠j).

4). Случ откл-ие д.б. незав-мо от объясняющ-х переем-х. Обычно это усл-ие вып-ся автомат-ки, если объяснящие перем-ые – известные вел-ны.

 Но м показать, что в принципе это выпол-ся в любых мделях данного типа.

<img width=«313» height=«25» src=«ref-2_1881719077-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">

<img width=«272» height=«24» src=«ref-2_1881719634-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052">

Пояснение <img width=«216» height=«24» src=«ref-2_1881720095-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">

<img width=«152» height=«24» src=«ref-2_1881720500-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">

5). Модель яв-ся линейной отн-но ее парам-ов βо β1.
Теорема Гаусса-Маркова.

 Основ-ся на предпосылках МНК.

Если все 5 предпос-к вып-ся, то оценки коэф-в, получ-е с помощью МНК облад-т след сво-вами:

А). Оценки яв-ся несмещенными, т.е.

<img width=«89» height=«51» src=«ref-2_1881720789-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">

Б). Оценки яв-ся состоятельными, т.к. дисп-ии их с ростом объема выборки стрем-ся к 0.

<img width=«116» height=«53» src=«ref-2_1881721169-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">

Т.е. ↑ объема выборки приводит к устойчивости оценок коэф-в ур-ия. Сч-ся, что объем выборки д удовл-ть соот-ию n>3m-1, где m-кол-во объясняющих переем-х.

В). Оценки эфф-ны, т.е. они имеют наименьшую дисп-ию разброса отн-но теорет-х вел-н по срав-ию с такими же оценками полученных с примен-м и люб др методов расчета.

В англоязыч науч лит-ре эти оценки получ-ли название BLUE
(голубые оценки) по первыем буквам (наилуч лин состоят эффект). Если наруш-ся предпосылки 2 и 3, то дисп-ии откл-ий не пост-ны, случ откл-ия связаны др с др и коэф-ты теряют св-ва несмещен-ти и эффек-ти.

При этос б сделаны след предположения:

1). Объясняющ перем-ые не яв-ся случ.

2). Случ вел-ны εiимеют норм распр-ие с пар-ми 0 и ε²

εi²~N(0;σ²)

Число набл-ий n>3m-1 сущ-но > числа объясняющ перем-х. Отсут-т ошибки специф-ии. М/у объясняющ перем-ми в случае m≥2 отсут-т зав-т (мультикол-ть).
Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Изв-но, что мат ожидания расчет коэф-в совпадают с их теоретич вел-ми

<img width=«89» height=«51» src=«ref-2_1881720789-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">

При этом чем < откл-ие оценок от этих теоретич вел-н, тем надежнее построенное ур-ие.

Покажем, что дисп-ии оценок D(b1) и D(bo) непоср-но связаны с дисп-ей случ откл-ий в теоретич модели D(εi)=D(εj)=σ²=consti≠j.

Для этого запишем вел-ну b

<img width=«172» height=«52» src=«ref-2_1881721965-587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">

<img width=«211» height=«52» src=«ref-2_1881722552-804.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">

<img width=«220» height=«52» src=«ref-2_1881723356-811.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">

<img width=«233» height=«52» src=«ref-2_1881724167-813.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">

Обозначим за <img width=«112» height=«49» src=«ref-2_1881724980-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">

=∑Сiyi

Аналог-но преобр-м знач-е для bo.

<img width=«259» height=«45» src=«ref-2_1881725370-681.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">

<img width=«177» height=«41» src=«ref-2_1881726051-536.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">

<img width=«275» height=«27» src=«ref-2_1881726587-589.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">

Обозначим <img width=«99» height=«24» src=«ref-2_1881727176-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">

=∑diyi

Причем Ciи di–нек-ые constрассчит-е по выборке, что очевидно из их обозначений.

Оценим теперь вел-ну дисп-ий для коэф-та b1

D(b1)=D(∑Ciyi)=

И т.к. мы знаем значение для дисп-ии разброса случ откл-ий, то м записать

=σ²∑Сi²=

<img width=«284» height=«59» src=«ref-2_1881727380-870.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">

Т.о. мы нали знач-ие дисп-ии на основе дисп-ии теоретич откл-ия ε.

Аналог-но для bo.

<img width=«291» height=«27» src=«ref-2_1881728250-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">

Мы м получить, что она равна

<img width=«115» height=«49» src=«ref-2_1881728894-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">

D(bo)=D(b1)x²

Т.о. дисп-ия разброса коэф-та прямопропорц-на дисп-ии случ откл-ий => чем > фак-р случ-ти, тем менее точными б оценки и чем > число набл-ий в выборке, тем меньше б эти вел-ны разбросаны.

Кроме того дисп-ии обратнопропорц-ны выбороч дисп-ии объясняющ перем-й S²x, т.е. чем шире область изм-ий объясняющ перем-й, тем точнее б оценки. Но в силу того, что дисп-ии случ теоретич откл-ий σ² нам неиз-ны, мы б их заменять несмещен-й дисп-ей расчет случ откл-ий.

<img width=«140» height=«47» src=«ref-2_1881729285-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">,

где m— число объясняющ переем-х. Для парной регр-ии <img width=«77» height=«47» src=«ref-2_1881729731-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071">.

Тогда стандарт откл-ия <img width=«135» height=«51» src=«ref-2_1881730085-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">

Наз-ся стандартной ошибкой в случ откл-ии. И для того, чтобы рассч-ть дисп-ию разброса коэф-в эмпир-го ур-ия регр-ии, мы б исп-ть формулы

<img width=«120» height=«51» src=«ref-2_1881730588-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">

<img width=«184» height=«51» src=«ref-2_1881731024-588.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">
Проверка гипотез относ-но коэф-ов лин ур-ия регр-и.

Эмпир ур-ия регр-ии строятся на основе конеч выборки, извлеч-й из генер сов-ти случ образом, поэтому как б показано коэф-ты ур-ия яв-ся случ вел-нами.

При проведении эк анализа перед иссл-лями оч часто возн-т необ-ть сравнить расчет коэф-ты boи b1 с нек-ми теоретич коэф-ми βо и β1.

Это срав-ие осущ-ся по схеме проверки гипотез. Предпол-м, провер-ся гипотеза Но:, состоящая в том, что эти вел-ны совпадают.

Но:=b1=β1. Тогда с ней конкурир-ая гипотеза Н1: не совпадает. Как изв-но из тер.вера для проверки таких гипотез рассч-ся tстат-ка Стьюдента, кот-ая при справед-ти гипотезы но имеет распред-ие Стьюдента с числом степеней свободы с парной регр-ей

tb1= (b1-β1)/Sb1

ν=n-2 (n-m-1)

n– объем выборки

m– кол-во объясняющ перем-х

Гипоеза Но б отклонена, если расчет знач-ие по модулю, т.к. нам безрал-но в какую сто-ну произошло откл-ие, окаж-ся > или = вел-ной, найденной из табл Стьюдента.

<img width=«186» height=«68» src=«ref-2_1881731612-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">

α-ур-нь знач-ти.

Сч-ся, что в эк задачах α м принимать знач-я 0,05 или 0,01, т.е. мы поверяем гипотезу с вер-тью 95 или 99%.

α/2 берется в связи с тем, что откл-ие м.б. как отриц, так и положит.

При невып-ии этого усл-ия сч-ся, что нет осн-ий для откл-ия гипотезы Но. Однако вел-ны теорет коэф-в как правило неиз-ны, поэтому на начал этапе анализа рассм-ся задача о наличие зав-ти м/у фак-ми х и у. Эта проблема провер-ся на основе гипотезы Но:b1=0 связи нет. С ней конкур-т H1:b1≠0 связь присут-т.

В такой пост-ке гов-т, что провер-ся гипотеза о стат знач-ти коэф-та ур-ия регр-ии.

Если приход-ся принять гипотезу Но, то мы гов-м коэф-т незначим (слишком близок к 0) и соответ-ю объясняющ перем-ую скорее всего из ур-ия следует искл-ть. В против случае коэф-т стат-ки значим. Н указ-т на наличие опр-й лин зав-ти м/у фак-ми.

Тогда расч-ся стат-ка Стьюдента по соотн-ю <img width=«109» height=«56» src=«ref-2_1881732343-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">и по таблицам Стьюдента находят соответ-но вел-ну <img width=«29» height=«31» src=«ref-2_1881732781-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">.

Если она ≤ расчет вел-ны, то мы м сказать, что есть осн-ия отклонить гипотезу Но и принять Н1.

Коэф-т отличен от 0. Для парной регр-ии мы не б проверять стат знач-ть bo, т.к. он только гаран-т прохождение линии регр-ии ч/з ср точку выборки.

Сущ-т грубое правило, позвол-ее делать первонач выводы о поведении коэф-в ур-ия при отсут-ии таблиц Стьюдента.

По нему срав-ся вел-на ошибки Sb1, допущенной при нахождении коэф-та с вел-ной этого коэф-та.

А). Если станд ошибка > чем коэф-т, то 0<|tb1|≤1. В этом случае гов-т коэф-т незначим.

Б). Если ошибка не превосх-т половины вел-ны коэф-та, то 1<|tb1|≤2. Гов-т коэф-т слабозначим.

В). Если они соот-ся в диапозоне 2<|tb1|≤3, то коэф-т значим.

Г). Если ошибка <1/3 коэф-та, то 3<|tb1|, коэф-т сильно значим. Это гарантия наличия практ-ки лин зав-ти м/у изучаемыми фак-ми.

Безусл-но на tb1 сущест влияние оказ-т объем выборки n.

<img width=«171» height=«55» src=«ref-2_1881732911-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">

Чем >n, тем <погр-ть.

Но при n>10 выписанное грубое правило оценки раб-т практически всегда.
Интервальные оценки коэффициента линейного уравнения регрессии.

Если для эмпир ур-ия выпол-ся предпос-ки Гауса-Маркова, то мы м утвер-ть, что найденные оценки коэф-в б подчин-ся норм закону распред-ия, в соот-ии с кот-м теоретич откл-ие εiраспр-ны нормально с пар-ми 0 и σ².

εi~N(0;σ²)

Это усл-ие соглас-ся с усл-ми центр предел теоремы тер.вера, в соот-ии с кот-ой если случ вел-на испыт-т влияние оч большого числа независ-х случ вел-н, влияние каждой из кот-ых на эту случ вел-ну мало, то рассматр-ая случ вел-на имеет распред-ие близкое к нормальному (асимптотически нормальное).

А мы пок-ли, что εiкак раз отражают влияние, оказываемое на завис перем-ую фак-ми не включ-ми в модель, кот-ых в эк-ке как правило оч много. Но их влияние на у мало, иначе мы д.б. бы их вкл-ть в модель.

=> если n≥3-1, то у нас вып-ся усл-ия центр пред теоремы. Мы м гов-ть, что εiраспр-ны нормально, а это позв-т не только найти наилучшее BLUEоценки для коэф-та, но и построить для них интервальные оценки, что дает опред-ые гарантии проверки точности нахождения коэф-в при смене исход-й выборки.

Причем к-т b1=∑Ciyi<img width=«132» height=«56» src=«ref-2_1881733511-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> также как и у объясн-я перем-я, являясь лин комб-ей его выбороч вел-н yiпри Ci=const, также б иметь норм распред-ие. Причем мы пок-ли уже, что его мат ожидание совп-т с вел-ной теорет к-та, а дисп-ия

<img width=«173» height=«51» src=«ref-2_1881733996-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">

=> к-т b1 имеет норм распр-ие с пар-ми β1, D(d1).

Поэтому tстат-ка для коэф-та подчинена распр-ию Стьюдента с доверит-й вер-тью γ=1-α, что соот-т утвер-ию

<img width=«153» height=«29» src=«ref-2_1881734539-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">

Тогда мы м записать, что вер-ть

<img width=«229» height=«56» src=«ref-2_1881734886-563.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">

Преобр-м выраж-ие, стоящее в скобках

-tкрSb1≤b1-β1≤tкрSb1

-b1-tкрSb1≤-β1≤tкрSb1-b1

-b1-tкрSb1≤β1≤b1+tкрSb1

Получ соот-ие дает доверит-й инт-л, кот-ый с надеж-тью 1-α покрывает теорет коэф-т β1.
Доверительные интервалы для зависимой переменной.

Одной из осн-х задач эконометр анализа яв-ся прогнозир-ие знач-ий завис перем-ой при опр-ых знач-ях Хпр объясн-й перем-ой.

Здесь возм-н двоякий подход. Либо предсказ-ся усл-ое мат ожидание объясн-й перем-ой при нек-ой объясн-й перем-ой Хпр. М(У/х=Хпр). Либо прогноз-ся нек-ое конкр значение завис перем-ой при извест-м значении объясн-й перем-ой. Тогда гов-т о предсказании конкр вел-ны

1). Предсказание ср значения.

Предпол-м, что мы построили нек эмпир значение парной регр-ии ỹi=b0+b1xi, на основе кот-го хотим предсказать ср вел-ну завис перем-й у при х=Хпр. В данном случае рассчит-ое по урав-ию вел-на ỹпр=b0+b1xпр яв-ся только оценкой для искомого мат ожидания.

Встает вопрос насколько м эта оценка откл-ся от ср мат ожидания для того, чтобы ей м.б. доверять с надеж-тью γ=1-α.

Чтобы построить доверит инт-л, покажем, что случ вел-на ỹпр имеет норм распр-ие с нек-ми конкр переем-ми.

Мы знаем, что ỹпр=b0+b1xпр. Подставим в это ур-ие знач-ие для boи b1, найденное в виде лин комбинаций выборочных вел-н объясн-й перем-й yi.

<img width=«315» height=«27» src=«ref-2_1881735449-695.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">

Т.е. мы пок-ли, что расчет вел-на яв-ся лин комб-ей нормально распред-й случ вел-ны yi=> она дейст-но имеет норм распред-ие и мы м рассч-ть пар-ры этого распред-ия М(Ỹпр) и D(Ỹпр).

М(Ỹпр)=M(bo+b1Xпр)= М(bo)+XпрM(b1) = βo+Xпрβ1

D(Ỹпр)=D(bo+b1Xпр) =

Т.к. boвычисл-ся ч/з значение для b1, то они м/у собой зависят и поэтому

= D(bo)+X²прM(b1)=2cov(bo,b1Xпр)***=

Рас-м вел-ну ковариации.

<img width=«284» height=«24» src=«ref-2_1881736144-660.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">

<img width=«161» height=«24» src=«ref-2_1881736804-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085">

Заменим вел-ну boч/з правило ее вычисления из эмпир ур-ия регр-ии, аналог-но поступим со знач-ем βо, записав его знач-ие ч/з теорет ур-ие регр-ии.

Тогда получаем

<img width=«243» height=«23» src=«ref-2_1881737231-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">

<img width=«277» height=«25» src=«ref-2_1881737857-684.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">-

это дисп-ия для значения b1 <img width=«91» height=«27» src=«ref-2_1881738541-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

<img width=«223» height=«27» src=«ref-2_1881738762-433.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">

<img width=«184» height=«27» src=«ref-2_1881739195-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090">

Мы знаем вел-ну дисп boи b1. Подставим сюда их значения:

<img width=«293» height=«53» src=«ref-2_1881739555-869.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

<img width=«217» height=«51» src=«ref-2_1881740424-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">

Преобразуем данное выр-ие прибавив и отняв к скобке <img width=«31» height=«24» src=«ref-2_1881741032-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093">

<img width=«362» height=«60» src=«ref-2_1881741156-1196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">

<img width=«12» height=«23» src=«ref-2_1881742352-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095"><img width=«244» height=«56» src=«ref-2_1881742425-840.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">

<img width=«156» height=«56» src=«ref-2_1881743265-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">

В этом выр-ии заменяем σ² несмещенной оценкой по эмпир ур-ию регр-ии σ²=∑ei²/n-2 и тогда мы м рассчитать Т стат-ку

<img width=«187» height=«55» src=«ref-2_1881743865-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">

<img width=«92» height=«32» src=«ref-2_1881744416-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">, получаемого из значения теорет дисп-ии заменой дисп теорет откл-ия σ² на So², вычис-ое по выборке ∑ei²/n-2. А тогда мы м, используя табл Стьюдента, выч-ть вер-ть того, что |T|≤tрасч

<img width=«249» height=«61» src=«ref-2_1881744723-808.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">

Тогда <img width=«64» height=«31» src=«ref-2_1881745531-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">ν=n-2.

И м посчитать, сделав такие же преобр-ия как для коэф-в ур-ия, что мат ожидание нах-ся в инт-ле:

<img width=«284» height=«29» src=«ref-2_1881745708-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">

2). Предсказание индив знач-ий завис перем-й.

Предположим, что нас интер-т нек-ое конкр-е знач-ие вел-ны завис-й перем-й yo. При ее сопост-ии со знач-м, кот-ое м.б. рассч-но по ур-ию регре-ии.

Мы знаем, что yoб норм распр-но с пар-ми ỹ~N(βo+β1xпр;σ²). Одновр-но с этим

<img width=«168» height=«28» src=«ref-2_1881746308-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">с таким же ср и дисп-ей, рассч-й для ỹпр.

Построим нов перем-ую U= ỹo— ỹпр и нас б интер-ть поведение такой случ вел-ны.

М(ỹо- ỹпр)= М(ỹо)-М(ỹпр)=0

D(ỹо- ỹпр)= D(ỹо)+D(ỹпр)=>

Каждую из кот-ых мы м оценить, используя выбор значения.

=>S²(ỹj-ỹпр)= S²(ỹо)+S²(ỹпр)

Каждая из них нам изв-на. Первая вел-на оцен-ся

<img width=«232» height=«56» src=«ref-2_1881746734-818.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">

Т.о. мы м расч-ть стандарт ее откл-ия в рез-те чего получили Трасч данной случ вел-ны.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Проверка общего кач-ва ур-ия регрессии. Коэф-т детерминации
R
².

Расчет ур-ие регр-ии всегда проходит так, что не все точки выборки принадлежат этой прямой. Обычно оно лишь частично объясняет поведение точек выборки. Сущ-т диаграмма Венна, позволяющая интерпретир-ть ур-нь этой оценки.

5 графиков:
На счеме 1 х никак не влияет на поведение У. 2;3;4 пок-т все усиливающееся влияние объясняющей перем-й на объясняемую. На 5 ф-р х полностью объясняет поведение У.

Суммарной мерой общего кач-ва ур-ия регр-ии яв-ся коэф-т детерминации R².

Поясним его смысл и покажем методику вычисления.

Предпол-м, что мы рассч-ли эмпир ур-ие рер-ии ỹ=bo+b1x. Тогда yi=ỹ+ei.

Рассм-м вел-ну откл-ия точек выборки завис-й перем-й от их ср вел-ны.

<img width=«57» height=«24» src=«ref-2_1881747552-139.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">Преобразуем эту разность прибавив и отняв от нее соответ-е знач-ие, рассчит-е по ур-ию регр-ии.

<img width=«193» height=«24» src=«ref-2_1881747691-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">

Тогда 2 слогаемое – та часть, кот-ая не объяснена в этом откл-ие ур-ем регр-ии, а 1 это часть объясненная ур-ем регр-ии. Получ выр-ие возведем в квадрат.

<img width=«135» height=«27» src=«ref-2_1881748005-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107"> и просуммир-м по всем знач-м i.

<img width=«224» height=«27» src=«ref-2_1881748283-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">

Рассм-м сред слогаемое

<img width=«189» height=«27» src=«ref-2_1881748834-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">

Мы получили знач-ие для мат ожидания вел-ны

<img width=«237» height=«24» src=«ref-2_1881749323-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

<img width=«272» height=«32» src=«ref-2_1881749878-645.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">

Разделим это рав-во на лев часть.

<img width=«201» height=«53» src=«ref-2_1881750523-830.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">

В лев сто-не записана доля разброса точек выборки отн-но ур-ия регр-ии и доля разброса не объясненная этим ур-ем.

<img width=«217» height=«53» src=«ref-2_1881751353-803.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">

Т.е. объясненная доля разброса, если ее принять за коэф-т детер-ии ур-ия б опр-ся как

<img width=«140» height=«53» src=«ref-2_1881752156-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">

Очевидно, что 0≤R²≤1, т.е. когда ∑ei²=0, все точки выборки лежат а прямой линии регр-ии, то R²=1 идеальный вар-т.

А если <img width=«135» height=«27» src=«ref-2_1881752668-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115"> совпадает с дисп-ей разброса объясняемой перем-й, т.е. ур-ие регр-ии ничего не объяснило в поведении завис перем-й R²=0.

Возм-ны усл-ия наруш-ия этого соотн-ия, при кот-ых R²≤0. Они связаны с тем, что неправ-но выбрана специф-ия модели, т.е. вид зав-ти м/у х и У.

Если модель строится на основе данных врем-х рядов, то R² как правило нах-ся в диапазоне 0,6≤R²≤0,7.

Покажем как в случае парной регр-ии коэф-т детер-ии связан с вел-ной выбороч-й коррел-ии м/у перем-ми х и У.

Для этого выпишем долю разброса, объясненную ур-ем регр-ии.

<img width=«133» height=«53» src=«ref-2_1881753068-545.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">

<img width=«203» height=«56» src=«ref-2_1881753613-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

<img width=«127» height=«53» src=«ref-2_1881754373-524.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">

Запишем вместо b1 его вел-ну:

<img width=«251» height=«56» src=«ref-2_1881754897-829.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119">

Числ-ль и знам-ль преоб-м для чего умножим их на ∑ квадратов откл-ий по объясняющ перем-й

<img width=«263» height=«56» src=«ref-2_1881755726-1057.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

Заметим, что <img width=«175» height=«52» src=«ref-2_1881756783-655.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">

Тогда мы в нашем выраж-ии

<img width=«187» height=«56» src=«ref-2_1881757438-769.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122">

<img width=«271» height=«77» src=«ref-2_1881758207-1127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">
<img width=«75» height=«27» src=«ref-2_1881759334-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">
Множественная линейная регрессия.

Общеиз-но, что на люб эк пок-ль чаще всего оказ-т влияние не 1, а какие-то мно-во ф-ров. Тогда мы д исп-ть ур-ие множест регр-ии y=βo+β1x1+β2x2…+βmxm+ε, те.е знач-ие у зависит от mф-ров.

При m≥2, регр-ия сч-ся множест-й. Если мы составим нек-ый вектор

<img width=«125» height=«110» src=«ref-2_1881759527-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> mх 1, то мы м рассм-ть как ур-ие заданное в векторно-матричной форме, сформировав из значений объясняющ-х перем-ых некую матрицу, строками кот-ый яв-ся значения объясн-й перем-й, входящие в 1 выборочную компоненту.

<img width=«173» height=«123» src=«ref-2_1881760060-875.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">

Столбцы представлены наборами значений каждого из фак-ров, входящих в модель.

Тогда сов-ые знач-ия завис перем-й м.б. предст-ны в виде в-ра столбца.

<img width=«63» height=«99» src=«ref-2_1881760935-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">

Случ откл-ия также м рассм-ся как нек-ый столбец

<img width=«103» height=«110» src=«ref-2_1881761315-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128">

Но исходя из того, что в модели при βо всегда коэф-т =1, то матрицу значений объясн-их перем-ых пополняют 1-м столбцом, состоящим из 1 и обознач-т за Х.

<img width=«216» height=«123» src=«ref-2_1881761779-1028.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">

Эта матрица имеет размерность nx(m+1).

Ур-ие регр-ии в матрично-вей форме мы м представить как У=Хβ+ε

<img width=«267» height=«99» src=«ref-2_1881762807-1426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">

При этом д вып-ся усл-ие n≥3m-1 и все усл-ия Гауса-Маркова, кот-ые кратко запишем в форме

1).М(εi)=0 для люб i.

2).D(εi)=D(εi)=σ² для люб iи j

3).Отсут-т связь м/у откл-ми <img width=«141» height=«51» src=«ref-2_1881764233-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

4).Случ откл-ия не зависят от объясняющ перем-ых cov(εi;xi)=0.

5).Модель линейна отн-но расчет пар-ов, но в ур-ях множест регр-ии возн-т необ-ть выпол-ия еще одного усл-ия.

6). В модели отсут-т соверш мульт-ть м/у объясняющ перем-ми. Нап-р: в модель нельзя одновр-но включать данные годовые и квартальные в этом же году, т.к. годовые склад-ся из поквартальных.

7). Как уже б показано для исп-ия tстат-ки и расчета стандартов откл-ий д вып-ся требование о том, что случ откл-ия εiимеют норм распр-ие εi~N(0;σ²). Выполнимость этой предпосылки дает возм-ть при соотв-ии модели осн требованиям модели Гауса-Маркова утвер-ть, что мы нашли наилучшие оценки коэф-в ур-ия, чем м бы их получить, используя люб др метод нахождения.

Предпол-м, что мы вычислили оценки коэф-та, тогда ур-ие множест регр-ии, построенное на основе выборки, б запис-ть в форме аналогич записи в парной регр-ии.

ỹ=bo+b1x1+b2x2+…+bmxm

y=bo+b1x1+b2x2+…+bmxm+e, где е – вектор расчетных откл-ий

<img width=«59» height=«99» src=«ref-2_1881764639-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">

И для любого набора значений ф-ров в выборке б вып-ся

ỹi=bo+b1xi1+b2xi2+…+bmxim

yi— ỹi=ei

А тогда по методу МНК мы м опр-ть ф-ию Q=∑ei²= ∑(yi-bo-b1xi1-b2xi2-…-bmxim)²

И найти от этой ф-ии част производные по ее парам-м (коэф-там ур-ия).

<img width=«337» height=«104» src=«ref-2_1881765000-1345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">

Получаем сис-му из m+1 ур-ия с m+1 неизв-м. Если ее приравнят к 0, то получим сис-му лин ур-ий отн-но коэф-в ур-ия регр-ии, кот-ая всегда б иметь единств решение, т.к. мы м добиться того, чтобы опр-ль сис-мы был ≠0.

Но в тех случаях, когда кол-во объясняющ перем-х m>2, решение таких сис-м нач-т вызывать трудности, поэтому расчет коэф-в делают в матрчно-вект-й форме.
Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии.

Предпол-м, что исход выборка предст-на как

<img width=«177» height=«93» src=«ref-2_1881766345-915.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">

Век-р искомых коэф-в и вектор откл-ий

<img width=«123» height=«99» src=«ref-2_1881767260-692.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">

Тогда вел-на Qм.б. запис-на в виде произв-ия 2-х век-ров как <img width=«56» height=«24» src=«ref-2_1881767952-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136">

<img width=«149» height=«99» src=«ref-2_1881768103-671.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">

А Ỹб опр-ся как

<img width=«283» height=«99» src=«ref-2_1881768774-1134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">

=>е=У-Ỹ

<img width=«315» height=«25» src=«ref-2_1881769908-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">

<img width=«269» height=«24» src=«ref-2_1881770390-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">, т.к. транспонирование озн-т, что строки стан-ся столбцами и наоборот.

<img width=«176» height=«24» src=«ref-2_1881770800-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">

<img width=«244» height=«20» src=«ref-2_1881771107-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">

Но т.к. Q–нек-ое число, то каждое из выраж-й здесь также из себя предс-т число.

При трансп-ии матрица сост-ая из 1 эл-та переходит сама в себя.

Воспол-ся этим св-вом и докажем, что 2 и 3 слогаемое в выр-ии совп-т. Для этого транспон-ем любое из них.

2).<img width=«231» height=«24» src=«ref-2_1881771490-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">

<img width=«216» height=«20» src=«ref-2_1881771900-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">

Найдем производную от этого выр-ия по любой из компонент в-ра В.

Распишем в явном виде  значение для 2 и 3 выраж-ий, т.кк производ от 1-го слог-го по люб bj=0.

<img width=«107» height=«29» src=«ref-2_1881772250-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">

<img width=«379» height=«99» src=«ref-2_1881772530-1198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">

<img width=«219» height=«101» src=«ref-2_1881773728-1022.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">

<img width=«253» height=«27» src=«ref-2_1881774750-596.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">

Тогда производ-я по люб из значений bj  м.б. предст-на как эл-ты произведения <img width=«39» height=«21» src=«ref-2_1881775346-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">из соответ строки этой матрицы (век-ра-столбца), т.е.

<img width=«115» height=«49» src=«ref-2_1881775476-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">

Рассм-м теперь последнее из слогаемых, но сначала распишем матрицу

<img width=«379» height=«99» src=«ref-2_1881775808-1231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151">

Размер-ть 1-й (m+1)n, 2-й n(m+1)

Размер-ть итоговой (m+1)(m+1)

<img width=«240» height=«101» src=«ref-2_1881777039-1376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">

Полученная матрица всегда симметр-на отн-но глав диагонали, т.к. под знаком суммир-я множители м поменять местами.

Б считать, что эл-ми матрицы Zяв-ся Zij, причем, чтобы не запис-ть нулевые строку и столбец, добавленные в выборку.

Z=(Zij) i=1, m+1

            j=1, m+1

Б считать, что эл-ты Zимеют индексы:

<img width=«111» height=«56» src=«ref-2_1881778415-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">,

где индекс 0 соотнес с этой добавленной строкой и столбцом.

Тогда все выраж-ие <img width=«44» height=«20» src=«ref-2_1881778758-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">б равно

<img width=«244» height=«99» src=«ref-2_1881778899-1032.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">

<img width=«309» height=«101» src=«ref-2_1881779931-1384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">

Тогда при вычил-ии производ-й от такого выраж-ия каждая производ-я по bjб встреч-ся дважды: 1-й раз во внеш суммир-ии, 2-й во внутр.

Поэтому производ-й от 3-го слогаемого б рав-на:

<img width=«191» height=«49» src=«ref-2_1881781315-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">

<img width=«209» height=«52» src=«ref-2_1881781779-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">

И чтобы найти значи-я для век-ра В, мы д эту производ-ю приравнять к 0.

<img width=«159» height=«24» src=«ref-2_1881782245-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">

<img width=«112» height=«24» src=«ref-2_1881782538-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">

<img width=«149» height=«24» src=«ref-2_1881782774-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> Общее выражение для нахождения коэф-в в ур-ях множест регрессии.

Значения для эл-тов век-ра Bпри m=1 и m=2получить на практике в общем матричном виде, что позволит понять принцип нахож-ия коэф-в ур-ий с люб кол-вом объясняющ перем-ых.

Но при решении задач с 2 объясняющ перем-ми (m=2) мы б польз-ся преобразован-ми знач-ми, получ-ми из общего вида m=2 в форме:

<img width=«531» height=«56» src=«ref-2_1881783053-1712.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">

Для b2 получаем симметрично

<img width=«529» height=«56» src=«ref-2_1881784765-1722.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">

<img width=«127» height=«25» src=«ref-2_1881786487-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">

bo– усл-ие прохождения ч/з среднюю точку выборки.

<img width=«200» height=«27» src=«ref-2_1881786723-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">

<img width=«208» height=«27» src=«ref-2_1881787232-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">

<img width=«191» height=«27» src=«ref-2_1881787752-494.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">

<img width=«249» height=«28» src=«ref-2_1881788246-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">

<img width=«256» height=«28» src=«ref-2_1881788846-605.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">

<img width=«272» height=«28» src=«ref-2_1881789451-623.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">

1-3 (дисп-ии откл-ий) не м.б. отрицат. 4-6 (ковариации) м.б. люб

<img width=«108» height=«41» src=«ref-2_1881790074-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">

<img width=«107» height=«41» src=«ref-2_1881790384-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">
Дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов.

Их знание позвол-т анализ-ть точность найденных оценок коэф-в, строить их доверит интер-лы и проверять соответ-ие гипотезы.

Наиболее удобным для такой проверки знач-я дисп-ий и станд откл-ий, запис-й в матр-но-векторной форме.

Если мы запишем вектор теорет откл-ий

<img width=«103» height=«110» src=«ref-2_1881761315-464.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">,

введем вспомогат век-р I, состоящий из ед-ц

<img width=«55» height=«96» src=«ref-2_1881791159-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">,

то мы сможем, используя единич матрицу, записать матрицу ковариаций случ откл-ий в форме:

<img width=«240» height=«99» src=«ref-2_1881791493-963.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

<img width=«101» height=«25» src=«ref-2_1881792456-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">

D(εi)=D(εj)=σ²

Исходя из этого К(ε)=σ²Е, где Е- единич матрица.

Усл-ия Гауса-Маркова б выглядеть:

1). Мε)=0

2). D(ε)=σ²I(век-р единич)

3). К(ε)=σ²Е

Рассм-м, когда знач-я для коэф-в с учетом их соотн-ия с теоретич коэф-ми из ур-ия регр-ии.

<img width=«277» height=«24» src=«ref-2_1881792650-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">

<img width=«423» height=«24» src=«ref-2_1881793090-644.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">

<img width=«156» height=«24» src=«ref-2_1881793734-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">

Откл-ие теорет век-ра от расчет

<img width=«161» height=«24» src=«ref-2_1881794015-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">

Построим ковариационную матрицу для теорет коэф-в, использую получ-е соот-ие.

<img width=«171» height=«24» src=«ref-2_1881794303-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

<img width=«455» height=«24» src=«ref-2_1881794599-940.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">

<img width=«259» height=«28» src=«ref-2_1881795539-680.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">

Т.к. матрица <img width=«80» height=«24» src=«ref-2_1881796219-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">симметр-на относ-но глав диагонали, то обрат к ней матрица тоже симмет-на=>

<img width=«141» height=«28» src=«ref-2_1881796409-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">

<img width=«259» height=«24» src=«ref-2_1881796863-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">

Кроме ε все значения яв-ся constиз выборки. Поэтому множ-ли можно вынести из мат ожидания, сохранив порядок умножения.

<img width=«280» height=«24» src=«ref-2_1881797447-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">

<img width=«229» height=«24» src=«ref-2_1881797899-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">

<img width=«327» height=«24» src=«ref-2_1881798282-561.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">

=> для люб знач-ия коэф-та bjмы можем представить единич дисп-ию его вел-ны ч/з выбороч знач-я, зная что оценкой для σ² яв-ся

σ²→So²=∑ei²/n-m-1, а из матрицы обратной мы возьмем соответ-й эл-т с глав диаг-ли матрицы Z.

<img width=«135» height=«24» src=«ref-2_1881798843-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

<img width=«76» height=«27» src=«ref-2_1881799088-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">

<img width=«269» height=«53» src=«ref-2_1881799305-860.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">

А тогда мы получ-ем возм-ть рассч-ть t-стат-ку.

<img width=«64» height=«59» src=«ref-2_1881800165-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">

При проверке гипотез отн-но коэф-в ур-ие множ регр-ии также как и для ур-ия парной регр-ии. Отличие состоит в том, что при построении доверит инт-ла отн-но завис-й перем-й у.

<img width=«219» height=«28» src=«ref-2_1881800483-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">. Для мат ожидания → <img width=«140» height=«28» src=«ref-2_1881800957-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">

В остальном, выраж-е для доверит интер-в полностью соот-т значению доверит инт-в в ур-ях парной регр-ии.    продолжение
--PAGE_BREAK--
Анализ качества эмпирических уравнений и множества линейных регрессий.

Построение эмпир ур-ия яв-ся начальным этапом эмпир анализа. 1-ое построенное Ур-ие по имеющейся выборке оч редко яв-ся удовл-м по всем хар-м. Поэтому след важнейшая задача – проверка кач-ва ур-ия.

В экономет-ке принята устоявшаяся схема такого анализа. Она провод-ся по след напр-ям:

1).Проверка стат знач-ти коэф-в рассматр-го ур-ия регр-ии.

2). Проверка общего кач-ва ур-ия.

3). Проверка св-в данных, выполнимость кот-ых предназначалась при оценивании ур-ий, т.е. это проверка усл-ий Гауса-Маркова.

1). Проверка стат знач-ти коэф-в рассматр-го ур-ия регр-ии.

Как и в парных ур-иях, эта проверка дел-ся на основе t-статистик.

Т.е. рассч-сяtbj=|bj/Sbj|.

<img width=«172» height=«32» src=«ref-2_1881801249-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">

И если |tbj|>tкр, то коэф-т сч-ся значимым.

Если |tbj|<tкр, коэф-т не значим, т.е. он стат-ки близок к нулю. Это значит, что фактор xjпрак-ки не связан линейно с завис переменной.

Его присут-ие в ур-ии неоправданно со стат т.зр., и он м лишь искажать реальн картину взаимосвязей. Поэтому рекоменд-ся такие ф=ры из ур-ия исключать.

Зачастую, строгую проверку м не делать. Достаточно и грубой оценки.

|tbj|≤1 – не значим

1<|tbj|≤2 – слабо значим

2<|tbj|≤3 значим

3<|tbj| — сильно значим.

Коэф-т искл-т, если |tbj|≤1

2). Проверка общего кач-ва ур-ия.

Для этого, как и в парной регр-ии, исп-ся Fстат-ки.

<img width=«145» height=«44» src=«ref-2_1881801540-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">

Fкр=Fα1,υ1,υ

υ1=mυ2=n-m-1

И также, как в tстат-ке, если Fрасч>Fкр, то ур-ие сч-ся значимым.

<img width=«140» height=«53» src=«ref-2_1881752156-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

Как б показано, 0<R²<1.

Но для того, чтобы соотнести ур-нь детермин-ии с каждым из объясн-их ф-ров, его коррет-т на число степеней свободы в исходной выборке. Вводят скоррек-й коэф-т

<img width=«207» height=«53» src=«ref-2_1881802388-714.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">

Т.е. в знаменателе записана несмещенная оценка общей дисп-ии независ-й перемен-й. А в числ-ле мы расс-м вел-ну, соответ-ую So²=∑ei²/(n-m-1).

В этом случае соот-ие м.б. предст-но ч/з исходное значение коэф-та детерминации:

<img width=«181» height=«41» src=«ref-2_1881803102-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">

Обычно привод-ся данные как для одного, так и для др коэф-та детерм-ии. Но абсолютизировать эти пок-ли нельзя.

Сущ-т мно-во вар-тов, когда при высоком знач-ии R² (R²→1), не б вып-ся усл-ий Гаусса-Маркова, и ур-ие окаж-ся низкого кач-ва.
Анализ статистической значимости коэффициента детерминации.

Он провер-ся по Fтат-ке. Проверка соот-т гипотезе Ho:β1=β2-…βm=0.

Если Fрасч≤Fкр, то десается вывод, что совокуп влияние всех объясн-х переем-х, исп-х в модели, не зависимую пере-ю стат-ки не значит. У ур-ия низкое кач-во.

Если же гипотеза откл-ся (Fр>Fкр), то объясненная дисп-ия разброса завис-ой переем-й соизмерима с дисп-ей, вызванной случ откл-ми. Очевидно, что Rи R²=0 или ≠0 одновр-но. А это значит, что по МНК наилуч-я линяя регр-ии ỹ=yср, а => у лин не зависит от объясн-их переем-х.

В случаях парной регр-ии, проверка нулевой гипотезы для R² равносильна проверке на стат значимость tстат-к из соотношения

<img width=«91» height=«59» src=«ref-2_1881803481-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

т.к. m=1, ar²=(rxy)²
Проверка равенства 2-х коэффициентов детерминации.

Основана на исп-ии стат-ки Фишера для проверки необх-ти включения или искл-ия в ур-ии множест регр-ии доп объян-их переем-х.

Предположим, что изнач-но построено ур-ие, содерж-ее mобъясн-их переем-х:

<img width=«281» height=«25» src=«ref-2_1881803803-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">

и для него вычислим коэф-т детерм-ии R²I. Исключим из исх-ой выборки все объясняющ переем-ые, имеющие номер > чем к. Тогда, по ост выборке мы м построить др ур-ие регр-ии:

<img width=«284» height=«25» src=«ref-2_1881804237-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">

ŷ и для него опр-м R²II. Всегда R²II≤R²I, т.к. включ в модель кажд доп пере-й объясн-т еще какую-то долю ее разброса отн-но ур-ия регр-ии. Тогда нас интер-т на сколько кач-во одного ур-ия отлич-ся от кач-ва др ур-ия.

Поэтому гипотеза Но состоит в том, что коэф-ты детер-ии совпадают (кач-во одинаковое), а с ней конкур-т Н1.

R²I= R²II– кач различно.

В соответ-ии с ними рассч-ся R²стат:

<img width=«161» height=«48» src=«ref-2_1881804667-432.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">

, где m-k– кол-во исключ объясн-х переем-х.

Если Fрасч≤Fкр, то кач-во ур-ий приблизит одинаково, значит переем-ые исключ-ны правильно.

Если Fрасч>Fкр, кач-во ур-ий сущ-но разл-но, и мы не д.б.исключать эти переем-ые.

Замечание:обычно на практике не искл-ся одновр-но несколько объясн-х переем-ых. Их берут по одному и каждый раз сч-т Fстат по соотн-ю:

<img width=«161» height=«48» src=«ref-2_1881805099-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">

, где k– кол-во исключ объясн-х переем-х. Как правило k=1.

При этом м искл-ть не последующие объясн переем-е, а любую, начиная с тех, у кот-ых mintстат.

Таким же образом м идти проверка целесообр-ти включения доп объясн-х переем-х в исход модель.

Допустим, что это б модель I, и мы к ней добавили Р объясн-х переем-х.

Расч-ли 3-ю модель:

<img width=«296» height=«27» src=«ref-2_1881805514-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">

и у него коэф-т детерм-ии R²III.

Тогда сч-т Fстат= (R²III-R²I)/(1-R²III) * [n-(m+p)]/pи ее проверяют по Fкр Фишера.

<img width=«185» height=«48» src=«ref-2_1881805976-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">
Проверка гипотезы о совпадении уравнений 2-х различных выборок.

Это еще одно напр-ие исп-ия F-стат Фишера. Такая проверка дел-ся тестом Чоу, кот-ый сост-т в:

Пусть имеется 2 выборки объема n1 и n2. У каждой постоено свое ур-ие регр-ии

<img width=«169» height=«25» src=«ref-2_1881806435-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">для n1

<img width=«185» height=«25» src=«ref-2_1881806746-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">для т2.

И мы хотим проверить отл-ие <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_1881807077-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">и <img width=«23» height=«23» src=«ref-2_1881807183-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">

Тогда: <img width=«84» height=«27» src=«ref-2_1881807295-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">

<img width=«83» height=«27» src=«ref-2_1881807508-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">

Предположим, что мы рассч-ли ∑ квадратов откл-ий для этих ур-ий

<img width=«87» height=«45» src=«ref-2_1881807721-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">

<img width=«92» height=«45» src=«ref-2_1881808095-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">

Потом по объед-й выборке (n1+n2) построим ур-ие регр-ии.

<img width=«157» height=«24» src=«ref-2_1881808480-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">и для него также вычислим

<img width=«85» height=«45» src=«ref-2_1881808747-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">и затем считаем Fстат, сравнивающую эти суммы квадратов откл-ий.

<img width=«247» height=«47» src=«ref-2_1881809100-586.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">. Тогда Fкр=Fα. υ1=m+1 υ2=(n1+n2)-2m-2. Потому что для Sмы имеем (n1+n2)-m-1 степеней свободы.

Для + <img width=«124» height=«51» src=«ref-2_1881809686-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">степеней свободы

= (n1+n2-2m-2).

Тогда, если Fрасч<Fкр, то мы м утвер-ть, что эти ур-ия имеют одинак ур-нь кач-ва, Но не откл-ся.

И мы м исп-ть любое из ур-ий, рассч-х по этим выборкам, т.е. выборки м.б. объединять.

Такую проверку приход-ся делать при построении дин рядов. Предположим, мы строим ур-ие парной регр-ии объмов продаж. minавто с toдо t2. При этом знаем, что в t1 изменены пошлины, те.е. изм-сь институц среда.

За (toдо t1) есть выборка n1 и ур-ие <img width=«19» height=«23» src=«ref-2_1881807077-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">.

За (t1; t2) выборка n2 и ур-ие <img width=«23» height=«23» src=«ref-2_1881810212-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">

А потом по объед выборке строим обязат ур-ие ỹ

График.
Если Но не откл-ся, то мы реально м строить ỹпо сов-й выборке без учета институц изм-ий и исп-ть его для прогноза на ((t2-to)/3)
Проверка выполнимости предпосылок МНК.



Проверка на отсут-ие а/коррел остатков (ста-ка DW)

Стат знач-ть коэф-в ур-ия регр-ии и близость ед-цы к-та детерм-ии еще не гаран-т выс кач-во построенного ур-ия, т.к. м не вып-ся какие-то из предпосылок Гауса-Маркова.

Одной из таких предпос-к яв-ся незав-ть случ откл-ий др от др, что гаран-ся усл-ем

<img width=«147» height=«51» src=«ref-2_1881810321-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">

Послед-ая коррел-я откл-ий наз-ся а/коррел и показ-т, что если построена упорядоч-я по вр-ни (или номерами выборки) послед-ть откл-ий, то это озн-т, что или в выборке испол-ны перекрест знач-я или задан времен-й ряд, в кот-м послед-ие вел-ны генерир-ся предыд-ми. Поэтому в выкладках м исп-ся обозначеия

<img width=«81» height=«24» src=«ref-2_1881810704-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">, т.е. откл-ия соседние по вр-ни.

В эк задачах как правило встреч-ся положит а/коррел <img width=«107» height=«25» src=«ref-2_1881810894-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">и очень редко возм-на отрицат.

В больш-ве случаев это связано с тем, что в модели отсут-т нек-ый ф-р, кот-ый возд-т на объясн-ую переем-ую в постоян напр-ии.

Сущность а/коррелм объяснить на след примере.

Предпол-м иссл-ся спрос У на прохлад напитки в зав-ти от дохода Х для домохоз-ва по среднемес данным. Предпол-м, что трендовая зав-ть, построен-я по этой выборке в виде ур-ия парной регр-ии.

<img width=«81» height=«24» src=«ref-2_1881811123-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">б опис-ся нек-ой линией

График.
Но реал потреб-ие прохлад напитков безусл-но зависит от вр-ни года. Т.е. фактич-е т выборки в зав-ти от сезона года б нах-ся или все выше или все ниже линии.

Аналог картина набл-ся в макре по циклам деловой акт-ти.

Положит а/коррел озн-т, что в бол-ве случаев за положит откл-ми след-т полож, а за отриц отриц-ые, что и озн-т однонапр-ую связь м/у откл-ми – ковариация полож-на.

Среди осн-ых причин, вызыв-х наличие а/коррел обычно выд-т:

1). Ошибки специф-ии модели, т.е. не учет в модели какой-то важной объясн-й переем-й или неправ-й выбор формы зав-ти.

2).Инерция в изм-ие эк пок-лей. Многие эк пок-ли (инф-ия, безр-ца, объем ВНП) облад-т опр-й циклич-тью, связ-й с волнообр-тью.

Нап-р эк подъем приводит к росту занят-ти, сокр инф-ии, ↑ ВНП. Он продол-ся до тех пор, пока изм-ия конъюнктуры рынка и ряда др эк хар-к рынка не приведут к замедл-ию роста, затем его ост-ке и дальней-му снижению пок-лей. Но в люб случае эта трансфо-ия осущ-ся замедл-но и облад-т опр-й инерцией.

3). Эффект паутины. Во многих эк процессах и в пр-ве пок-ли реаг-т на изм-ие эк усл-ий с временным лабом.

Нап-р: предл-ие с/х прод-ии реаг-т на изм-ие цены на нее с запазд-ем = периоду до получения нов урожая.

Большая цена в прошлом году вызовет рост про-ва в этом году. Скорее всего произ-т ее перепро-во => цена ↓, в след году б исп-ны под зерновые < площадей => цена ↑ и т.д. пока не уст-ся равновесие.

4). Сглаживание данных. Общеизв-но, что врем тренды стр-ся на основе сглаж-ия данных по врем рядам.

=> каждая след-ая средняя в нашем вар-те входить 2 предидущ знач-ия, т.е. ср зав=т др от др. И это служит причиной наличия положит а/коррел у врем рядов.




Последствия и способы обнаружения автокорреляции. Графический метод.

Если регресс-я модель рассч-сь по МНК, то

1). Оценки пар-ров ур-ия оставаясь несмещ-ми отн-но среднего перестают быть эф-ми, т.е. наилучшими из всех возм-х.

2). Дисп-ии этих оценок вычисл-ые по станд формулам б смещенными в сто-ну убывания, что повлечет за собой увелич-е t-статистик.

<img width=«129» height=«53» src=«ref-2_1881811311-425.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

что м привести к признанию стат-ки знач-ми (tbj>tкр) тех переем-х в ур-ии, кот-ые такими не яв-ся.

3). Вел-на So²=∑ei²/(n-m-1) также окаж-ся смещенной отн-но теоретич дисп-ии откл-ий σ², а поэтому применение tи Fстатистик окаж-ся необоснов-м, б получены неправ-е выводы по модели и ухуд-ся ее прогозные кач-ва.

Чтобы обнаружить а/коррел исп-т неск0ко методов.

Графический метод.

В этом случае стр-ся графики, связыв-ие номер выбора выборочной компоненты или время, для кот-го взята переем-я и соответ-ие знач-ия для откл-ий, получ-х исходя из рассчит-го ур-ия регр-ии.

4 графика.
На первых 3-х графиках изобр-на нек-ая зав-ть вел-ны откл-ия от № выборочной пары. М предпол-ть, что в модели присут-т а/коррел остатков. На 4 графке такой зав-ти нет, поэтому мы м предпол-ть отсут-ие а/коррк. Причем сч-ся, что ≈ 10% точек м.б. неподчинены осн зав-ти и а/коррел отсут-т.
Метод Дарбина-Уотсона.

По нему рассч-ся к-т а/коррел остатков первого пор-ка, кот-ый совп-т со знач-м коэф-та выбороч-й коррел

<img width=«307» height=«57» src=«ref-2_1881811736-1277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">

Но мы знаем, что мат ожидания (ср знач) откл-ий =0 в методе МНК => получили

<img width=«108» height=«56» src=«ref-2_1881813013-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

Но на практике для такого анализа исп-т стат-ку DW, для кот-й сущ-т расчет-е таблицы

<img width=«137» height=«56» src=«ref-2_1881813564-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">

Покажем, что эти вел-ны дейст-но совп-т. Для этого преобр-м числ-ть

<img width=«472» height=«28» src=«ref-2_1881814134-1114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">

Последняя ∑ отл-ся от первой на 1 слогаемое. А т.к. знач-е eiневелики, то мы м предпол-ть, что они м/у собой совп-т. Тогда

≈2∑ei² -2∑eiei-1

Тогда

<img width=«296» height=«56» src=«ref-2_1881815248-1012.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">

А т.к. мы предпол-ли, что ∑ei² ≈∑ei-1², то

<img width=«259» height=«64» src=«ref-2_1881816260-956.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">

=> ста-ка DWб вести аналог-но поведению выбор коэф-та коррел м/у откл-ми.

Еслиr eiei-1 =1, DW=0

r eiei-1 =0, DW=2

r eiei-1 =-1, DW=4

Т.е. все знач-я этой стат-ки нах-ся в инт-ле (0;4) при 2 а/коррел остатков отсут-т. И вопрос  закл-ся в том, насколько м эта стат-ка откл-ся от 2, чтобы мы м утвер-ть, что а/коррел отсут-т.

Таблицы DWпостроены с.о., что в соот-ии с заданным nвыбир-ся опр-ая таблица, входами в кот-ую яв-ся m-число объясняющих переем-х и n— объем выборки

Таблица
Предпол-м n=kи в модели исп-ны m=2. Тогда из таблицы б найдены 2 числа dlи du, dl<du<2. Мы сможем отложить на шкале их значения.
В зав-ти от того, куда попадет значение DW, мы м делать выводы о наличие или отсут-ии а/коррел остатков в модели. Но т.к. по этому методу мы ничего не м сказать окончат-но при попадании в зоны неопр-ти.
Метод рядов.

Основан на учете чередования знаков у отклонений ei. Для этого поступают с.о. Нап-р для нашей задачи, рассч-й для парной регр-ии, выставим посл-ть знаков по откл-ию.

(--)(++)(--)(+++)(-)(++) n=12

Затем объед-ся инт-лы совпадающих знаков. Каждая из образ-ых послед-тей наз-ся рядов (ряд одинак знаков). В нашей задаче к=6. Кол-во одинак знакв в отдел-м ряду наз-ся длиной ряда. Если рядов сущ-но мало по отн-ию к объему выборки n, то вер-на положит а/коррел, а если их много, то возм-на отрицат а/коррел.

Для более детального анализа поступ-т с.о. Пусть n– объем выборки. n1 – кол-во положит знаков. n2 – отрицат. В нашем случае n1=7 n2=5.

При достаточно большом кол-ве наблюдений n>20, мы м посчитать мат ожидание кол-ва рядов знаков.

<img width=«125» height=«47» src=«ref-2_1881817216-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">и дис-ию разброса этого кол-ва рядов

<img width=«213» height=«47» src=«ref-2_1881817568-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">

Тогда, если принять, что мат ожидание м оценить ч/з таблицы распред-ия кол-ва рядов, кот-ое д нах-ся в инт-ле <img width=«313» height=«33» src=«ref-2_1881818180-612.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">, то при попадании в этот инт-л а/коррел остатков б отсут-ть. В противном случае, если <img width=«165» height=«33» src=«ref-2_1881818792-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, то у нас положит а/коррел, а если k≥ — отрицат. Для такого распред-я б построены таблицы Экхарда, в соот-ии с кот-ми м опр-ть нижнюю и верхнюю гр-цу числа К. К1<K<K2 по 2 входам +n1 и –n2.

Таблицы имеют стр-ру

Нижняя граница К1
Таблица имеет своб поля. Если попадаем в своб поле, то к1 выбираем наименьший в этой строке.

Верхняя гр-ца К2.
Выбор осущ-ся также как для К1 и знач-я берутся для своб полей также как и в 1 случае.

В отл-ии от критерия DWэтот метод дает однознач ответ, причем н помнить, что метод DWне применим для регресс моделей, содерж-х в кач-ве объясн-х переем-х нек-ые лаговые объясн вел-ны. Даже если этот лаг имеет 1 пер-д. Нап-р в модели <img width=«232» height=«24» src=«ref-2_1881819167-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">. Для таких моделей исп-ся спец n-стат-ка Дарбина, по кот-й <img width=«109» height=«51» src=«ref-2_1881819542-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">, где <img width=«16» height=«21» src=«ref-2_1881819872-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">  — вычис-ся из стат-ки DW. Обычно ее принимают =1-1/2DW, т.к. <img width=«119» height=«25» src=«ref-2_1881819971-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">.

<img width=«16» height=«21» src=«ref-2_1881819872-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> обычно при-т равной квадрату станд-й ошибки коэф-та при лаговой переменной. В нашем примере <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_1881820373-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">.    продолжение
--PAGE_BREAK--