Реферат: Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями
МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕРМСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМПОРТФЕЛЕМ.
Выполнил:
Проверил:
г.Пермь 2000.
Построениематематической модели прогнозирования поведения является трудной задачей всвязи с сильным влиянием политических и других проблем (выборы, природныекатаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).
Воснове модели лежит анализ некоторых критериев с последующим выводом оповедении доходности и ценовых показателей. В набор критериев входят различныемакро- и микроэкономические показатели, информация с торговых площадок, экспертныеоценки специалистов. Процедура прогнозирования состоит из этапов:
1. Подготовка и предварительнаяфильтрация данных;
2. Аппроксимация искомой зависимостилинейной функцией;
3. Моделирование погрешности спомощью линейной сети.
Но для повышенияточности модели практикуется нелинейный анализ с использованием многослойнойоднородной нейронной сети. Этапы проведения нелинейного анализа в системе совпадаютсо стандартными шагами при работе с нейросетями.
1-йэтап. Подготовка выходных данных.
Выходнымиданными являются zi =yi-pi, где yi — реальное значение прогнозируемой величины нанекоторую дату, pi — рассчитанное на эту дату с помощью линейногоанализа.
2-йэтап. Нормирование входных сигналов.
/> (1)
гдеxij — j-я координата некоторого критерия Xi, M[Xi] — выборочнаяоценка среднего квадратичного отклонения.
3-йэтап. Выбор функции активации иархитектуры нейронной сети.
Используютсяфункции активации стандартного вида (сигмоидная, ступенчатая), а такжеследующего вида:
/> (2)
/> (3)
/> (4)
/> (5)
Архитектуранейронной сети представлена на рисунке:
/> /> /> /> />S1
<td/>f1
вектор
/>/>/>входных
S
сигналов вектор/>
выходн.
/>
f1
Sm
Вектор сигналов/>/>входных
сигналов
Введены следующие обозначения:Sj — линейные сумматоры; fj — нелинейные функции; используемые для аппроксимации; S — итоговый сумматор.
4-йэтап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на одном изследующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного спуска,метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском. Методыоцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине погрешности.
5-йэтап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения:
P=Pлин+Рнелин±Енелин
гдеР — итоговое прогнозируемое значение, Рлин и Рнелинзначение линейного и нелинейного анализов. Енелин —погрешность полученная на этапе нелинейного анализа.
Результатызадачи прогнозирования используются в построенной на ее основе задачеоптимального управления инвестиционным портфелем. В основе разработанной задачиуправления идея минимизации трансакционных издержек по переводу портфеля вкласс оптимальных.
Используемыйпоход основан на предположениях, что эффективность инвестирования в некий наборактивов является реализацией многомерной случайной величины, математическоеожидание которой характеризует доходность (m={mi}i=1..n, где mi=M[Ri], i=1..n), матрицаковариаций — риск (V=(Vij),i,j=1..n, где Vij=M[(Ri-mi)(Rj-mj)],i,j=1..n). Описанныепараметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либопрогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х,описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно поставить всоответствие пару оценок: mx=(m,x),Vx=(Vx,x). Величина mx представляетсобой средневзвешенную доходность портфеля, распределение средств в которомописывается вектором Х величинаVх (вариация портфеля [3,5]) являетсяколичественной характеристикой риска портфеля х. Введем в рассмотрениеоператор Q, действующий из пространства Rn в пространство R2 (критериальнаяплоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х паручисел (mx,Vx):
Q: Rn-R2 Û"xÌRn, x®((m,x),(Vx,x)). (7)
Взадаче управления допустимыми считаются только стандартные портфели, т.е. такназываемые портфели без коротких позиций. Правда это накладывает на вектор хдва ограничения: нормирующее условие (е, х)=1, где е – единичный векторразмерности n, и условие неотрицательности доли в портфеле, х>=0. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв пространствеRn так называемый стандартный (n-1)-мерныйсимплекс. Обозначим его D.
D={xÌRn½(e,x)=1, x³0}
Образомсимплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое ограниченное множествооценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого множества представляет собойвыпуклую вниз кривую, которая характеризует Парето – эффективный с точки зрениякритериев выбор инвестора (эффективная граница [3], [5]). Прообразомэффективной границы в пространстве Rn будетэффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как y. Данноемножество является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей такжепредставляет собой эффективный портфель [3].
Пустьв некоторый момент времени у нас имеется портфель, распределение средств вкотором описывается вектором х. Тогда задачу управления можносформулировать в следующем виде: найти такой элемент y,принадлежащий y, что r(y,x). Иными словами, для заданной точки х требуетсянайти ближайший элемент y, принадлежащий множеству Y. В пространстве Rn справедливатеорема, доказывающая существование и единственность элемента наилучшегоприближения х элементами множества Y[6]. Метрика (понятие расстояния) может быть введенаследующим образом:
r(x,y)=aSi=1,nsup(yi-xi,0)+bSi=1..nsup(xi-yi,0), (9)
гдеa>0 — относительная величина издержек при покупке, b>0 — относительная величина издержек при продаже актива.
Литература
1. Сборник статей к 30-ти летиюкафедры ЭК. ПГУ.
2. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынкаценных бумаг. 6-я Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемыэкономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.
3. Ивлиев СВ Модель оптимальногоуправления портфелем ценных бумаг. Там же.