Реферат: Дисперсионный анализ при помощи системы MINITAB для WINDOWS
Министерство образования и науки Украины
Севастопольский национальный технический
университет
/>
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯк выполнениюлабораторной работы № 3 и 4
”Дисперсионный анализ при помощи системы
MINITAB для WINDOWS“
по учебной дисциплине “Прикладная статистика”
для студентовэкономических специальностей
всех формобучения
Севастополь
2008
Методические указаниярассмотрены и утверждены на заседании кафедры менеджмента и экономико-математических методов протокол № “_____” от “______________” 2008г.
Рецензент: доцентдепартамента учета и аудита Т.А.Мараховская
1. Цель работы
Изучение возможностейдисперсионного анализа, для выявления зависимостей между экономическимипоказателями и получение практических навыков работы в системе MINITAB.
Теоретические сведения
2.1. Дисперсионныйанализ
2.1.1. Однофакторный дисперсионный анализ
При проведенииэкономического анализа часто необходимо оценить влияние на целевую функцию y качественного фактора x. Такимфактором могут быть, например, партии сырья, отрасли промышленности, регионы ит.д.
Пусть данные о влияниинекоторого качественного фактора на количественный в форме таблицы.
Таблица 1.1. – влияниекачественного фактора на исследуемый показатель
/>
/>
…/>
/>
/>
…./>
/>
/>
…/>
… … … …/>
/>
/>
Модель зависимости значений/>от фактора столбцов можнопредставить в следующем виде [1-4]:
/>
где /> — общее среднее, />-отклонение от общегосреднего для j-го уровня фактора, /> — случайная составляющая.
По выборочным даннымможно вычислить:
1) среднее /> для каждого уровня фактора(среднее по столбцам) xj (j=1,2,...u ), по mj параллельным опытам, где mj<sub/>– число данных в столбце j:
/>;
2) общее среднее /> по всем N опытам, т.е. повсем mj параллельным опытам на всех уровняхфактора xj (/>):
/>;
3) общую суммуквадратов отклонений Q0:
/>
4) сумму квадратов,характеризующую влияние фактора x (отклонения между группами)
/>;
5) остаточную суммуквадратов, зависящую от ошибки e (отклонения внутри групп)
/>.
Тождество дисперсионногоанализа имеет вид:
/>
На основании вычисленныхсумм квадратов вычисляются:
1) оценка дисперсииотносительно общего среднего/>:
/>,
где /> - число степеней свободы;
2) оценка дисперсии«между группами», определяемыми уровнями xj:
/>
где число степенейсвободы />.
3) выборочная оценкадисперсии «внутри групп», вычисляемая как средняя оценка по всем u группам:
/>
с числом степеней свободы/>
Числа степеней свободыдолжны удовлетворять соотношению
/>
Для того, чтобы сделатьвывод о том, влияет ли на исследуемые показатели качественный фактор,сопоставляют дисперсию между группами с общей дисперсией. При этом выдвигаютследующие гипотезы:
H0: /> , т.есредние значения по всем столбцам равны и равны общему среднему, откудаследует, что среднеквадратическое отклонение по факторам равно среднеквадратическомуотклонению по всем данным и равно нулю. Т.е. качественный фактор не оказываетвлияния на исследуемый показатель.
H1: />,, т.есредние значения по всем столбцам не равны между собой и не равныобщему среднему, откуда следует, что среднеквадратическое отклонение пофакторам не совпадает со среднеквадратическим отклонением по всем данным. Т.е.качественный фактор оказывает существенное влияние на исследуемый показатель.
Оценивание значимостивлияния фактора x<sub/> выполняется по F-критерию Фишера, для чегоформируется следующее F-отношение:
/>.
Фактор x признаетсянезначимым, если соответствующее F-отношение оказывается меньше критического,выбранного из таблиц для принятого уровня значимости /> и числа степеней свободысравниваемых дисперсий />и />.
Табличное значениекритерия Фишера определяется дл числа степеней свободы u-1 и N-1 ивероятности ошибки />.
Т.е если />, то принимается нулеваягипотеза при соответствующем уровне значимости о том, что исследуемый фактор неоказывает существенного влияния на количественные данные.
Если />, то нулевая гипотезаотвергается и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости.Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что исследуемый фактор оказываетсущественное влияние на количественные данные.
Результаты дисперсионногоанализа сводятся в таблицу 2.
Таблица 2 Однофакторный дисперсионныйанализИсточник изменчивости
Сумма квадратов отклоненийЧисло степеней свободы
Оценка дисперсии F– отношение Между группами/>
/>
/>
/>
Внутри групп
( ошибка e)
/>
/>
/>
Общая сумма/>
/>
/>
/> - число данных в столбце, u- число столбцов, m – число строк.
2.1.2. Двухфакторный дисперсионный анализ при перекрестной
классификации факторов
Часто необходимокачественно оценить значимость или незначимость влияния на целевую функцию u двух одновременно действующихфакторов x1 и x2. Такими факторами могут быть, например,форма собственности предприятия x1 и<sub/>вид экономическойдеятельности x2.
Модель двухфакторногодисперсионного анализа имеет вид [1-4]:
/>
где /> — общее среднее, />-отклонение от общегосреднего для фактора x1, /> — отклонение от общего среднего дляфактора x2, /> — отклонение от общего среднего длявзаимодействия двух факторов, /> — случайная составляющая.
В этом случае общую суммуквадратов отклонений Q0можно разбить на четыре суммы:
1) Qx1-по фактору x1,
2) Qx2-по фактору x2,
3) Qe-остаточную сумму квадратов,зависящую от ошибки e,
4) Q x1x2-зависящую отвзаимодействия (произведения) x1x2 двух факторов.
В этом случае повыборочным значениям вычисляются:
1) среднее /> длякаждого уровня фактора x1:
/>;
2) среднее /> длякаждого уровня фактора x2:
/>;
3) общее среднее /> повсем N опытам, т.е. по всем m параллельным опытам на всех сочетаниях уровнейфакторов x1 и x2 (/>):
/>;
4) среднее /> по mпараллельным опытам для каждого сочетания уровней факторов x1 и x2:
/>.
В табл.2 показаны данныеполного факторного эксперимента с одинаковым числом наблюдений в ячейках.
Таблица 3. — Данныеэксперимента и расчёты средних при двухфакторном дисперсионном анализе
j = 1 2 …/>
/>
/>i =
k/>
/>
…/>
1 1/>
2/>
… … m/>
.
.
.
1 2 … m/>
1 2 … m/>
/>
В табл.2 />/>вычисляетсяпо выделенной части столбца, содержащей m параллельных опытов.
Общая сумма квадратовотклонений Q0рассчитывается по формуле:
/>
Эту сумму можно разложитьна 4 составляющие:
1) сумму, характеризующую влияние фактора x1:
/>;
2) сумму, характеризующую влияние фактора x2:
/>;
3) сумму, характеризующую результат влияниявзаимодействия x1x2:
/>
4) сумму, характеризующую влияние ошибки e:
/>
Указанные пять сумм,поделенные на соответствующее число степеней свободы, дают пять различныхоценок дисперсии, если влияние факторов x1 и x2незначимо. Для проведения дисперсионного анализа вычисляются следующиедисперсии:
1) оценка дисперсии относительно общего среднего/>:
/>,
где /> -общее число наблюдений, ачисло степеней свободы
/>;
2) оценка дисперсии «между строками», определяемымиуровнями x1j:
/>,
где /> - число степеней свободы.
3) оценка дисперсии «между столбцами», соответствующимиуровням фактора x2:
/>,
где /> - число степеней свободы;
4) оценка дисперсии «между сериями» по m параллельнымопытам каждая
/>
с числом степеней свободы/>;
5) оценка дисперсии «внутри серий» по m параллельнымопытам, вычисляемая как средняя оценка по всем u1u2сериям:
/>
с числом степеней свободы/>.
Числа степеней свободыдолжны удовлетворять соотношению
/>
Статистическое оцениваниезначимости влияния факторов x1, x2 и взаимодействия x1x2выполняются по F-критерию Фишера, для чего формируются следующие F-отношения:
/>, />, />.
Фактор x1 илиx2, или взаимодействие x1x2 признаютсянезначимым, если соответствующее F-отношение оказывается меньше критического,выбранного из таблиц для принятого уровня значимости /> и числа степеней свободысравниваемых дисперсий.
Для того, чтобы сделатьвывод о том, влияют ли на исследуемые показатели качественные факторы,выдвигают следующие гипотезы:
H0: /> , т.есредние значения по всем столбцам равны фактор столбца не оказываетвлияния на исследуемый показатель.
H1: />,, т.есредние значения по всем столбцам не равны фактор столбца оказываетсущественное влияние на исследуемый показатель.
H0: /> , т.есредние значения по всем строкам равны фактор строки не оказывает влиянияна исследуемый показатель.
H1: />,, т.есредние значения по всем строкам не равны фактор строки оказываетсущественное влияние на исследуемый показатель.
H0: /> , т.еотклонение взаимодействия факторов равно нулю и взаимодействие не значимо..
H1: />,фактор взаимодействия значим..
Если />, то принимается нулеваягипотеза при соответствующем уровне значимости о том, что исследуемый фактор неоказывает существенного влияния на количественные данные.
Если />, то нулевая гипотезаотвергается и принимается альтернативная при соответствующем уровне значимости.Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что исследуемый фактор оказываетсущественное влияние на количественные данные.
Результаты двухфакторногодисперсионного анализа представляются в виде табл.3.
Таблица 3. — Двухфакторныйдисперсионный анализ при равном числе наблюдений в ячейках
Вид изменчивости Сумма квадратов отклонений Число степеней свободы Оценка дисперсии F – отношениеОт фактора
x1
/>
/>
/>
/>
От фактора
x2
/>
/>
/>
/>
От взаимо-действия
x1x2
/>
/>
/>
/>
Остаточная
(от e)
/>
/>
/>
Общая/>
/>
/>
m – число данных в строке (числоповторов в ячейке), /> — число столбцов,/> — число строк.
3. Дисперсионный анализ в системе MINITAB
Для проведениядисперсионного анализа в системе MINITABнеобходимо выбрать из меню Stat > ANOVA.
Различные возможностипроведения дисперсионного анализа представлены следующими командами.
Команда Onewayпозволяет провести однофакторный дисперсионный анализ, если значения выходногои влияющего параметра записаны в двух столбцах.
Команда Oneway(Unstacked)позволяет провести однофакторный дисперсионный анализ, если значения выходногопараметра разбито на группы и значения для каждой группы записаны в разныхстолбцах.
КомандаTwowayпозволяет провести двухфакторный анализ для сбалансированных данных (содинаковым количеством значений в каждой ячейке).
Команда Balanced ANOVAпозволяет провести многофакторный дисперсионный анализ для сбалансированныхмоделей с перекрестной и иерархической классификацией.
Команда General LinearModel позволяет провести многофакторный несбалансированный дисперсионный анализдля моделей с перекрестной и иерархической классификацией.
3.2.1. Однофакторный дисперсионный анализДля проведенияоднофакторного дисперсионного анализа необходимо подготовить данные в двухстолбцах (в первом – входная переменная, качественная, во втором – выходнаяпеременная), выбрать из меню Stat > ANOVA > Oneway и заполнитьоткрывшееся диалоговое окно.
Диалоговое окно.
1. Отклик (Response)– выберите столбец, содержащий выходную (зависимую) переменную. Столбец долженсодержать только числовые значения.
2. Фактор (Factor)– выберите столбец, содержащий качественную переменную, влияние которойисследуется. Фактор может иметь как числовые, так и символьные значения.
3. Сохранить остатки(Store Residuals), выбирается, если необходимо сохранить остатки дляпоследующего анализа. Остатки сохраняются в свободном столбце.
4. Сохранить оценки (Storefits) Для однофакторного анализа оценки это средние значения для каждогоуровня фактора.
5. Графики <Graphs>представляют данные в виде точечных и блочных диаграмм для каждой группы сотмеченным средним значением.
Пример1Пусть данные о процентеизноса оборудования для 12 предприятий разных отраслей промышленности и формсобственности представлены следующей таблицей.
Таблица 4.
Исходные данныеField Owner d Пищевая Частн 31 Пищевая Частн 49 Пищевая Частн 37 Пищевая Госуд 47 Пищевая Госуд 57 Пищевая Госуд 53 Машиностр Госуд 43 Машиностр Госуд 59 Машиностр Госуд 56 Машиностр Частн 47 Машиностр Частн 51 Машиностр Частн 53Определим зависимостьизноса оборудования от отрасли промышленности.
В этом случае вдиалоговом окне указываются следующие значения
Response: d
Factor: field
Результаты дисперсионногоанализа включают таблицу анализа дисперсии, таблицу средних значений уровнейфакторов, индивидуальные доверительные интервалы для каждого уровня и общеестандартное отклонение. На рис.1 представлен листинг результатов вычислений. Нарисунке используются следующие обозначения:
DF – число степеней свободы,
SS — сумма квадратов,
MS – средний квадрат,
F — отношение Фишера,
P — уровень значимости длявычисленного F,
Level – уровень фактора,
Mean – среднее значение,
StDev – стандартное отклонение.
One-Way Analysis of Variance
Analysis of Variance for d
Source DF SS MS F P
field 1 102.1 102.1 1.55 0.241
Error 10 656.8 65.7
Total 11 758.9
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
Level N Mean StDev -------+---------+---------+---------
Пищевая 6 45.667 9.852 (-----------*-----------)
Машиност 6 51.500 5.857 (-----------*-----------)
-------+---------+---------+---------
Pooled StDev = 8.105 42.0 48.0 54.0
Рис.1 Листинг результатоввычислений для однофакторной модели
Если значения выходнойпеременной разбито на группы и каждая группа записана в отдельном столбце, тодля проведения однофакторного дисперсионного анализа необходимо выбрать из менюStat > ANOVA > Oneway [Unstacked] и заполнить следующеедиалоговое окно.
Диалоговое окно
1. Отклик внескольких столбцах Responses [in separate columns] — выберите столбцы,содержащие выходную (зависимую) переменную. Столбцы должны содержать толькочисловые значения. Система не требует, чтобы в каждом столбце было одинаковоечисло наблюдений.
2. Графики <Graphs>представляют данные в виде точечных и блочных диаграмм для каждой группы сотмеченным средним значением.
Пример2Пусть данные о процентеизноса оборудования для 12 предприятий двух отраслей промышленности (пищевая — field1, машиностроение — field2) представлены в табл.5.
Таблица 5.
Исходные данныеField1 Field2 31 59 49 56 37 47 47 51 57 53 53 43В этом случае вдиалоговом окне указываются следующие значения.
Responses[in separate columns]: field1 field2
Результатомдисперсионного анализа будет таблица представленная на рис.2.
One-Way Analysis of Variance
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Factor 1 182.7 182.7 3.17 0.105
Error 10 576.2 57.6
Total 11 758.9
Individual 95% CIs For Mean
Based on Pooled StDev
Level N Mean StDev ------+---------+---------+---------+
field1 7 45.286 9.050 (---------*----------)
field2 5 53.200 4.604 (------------*-----------)
------+---------+---------+---------+
Pooled StDev = 7.591 42.0 48.0 54.0 60.0
Рис.2 Листинг результатоввычислений
Из полученных результатоввидно, что P>/> (/>=0.05), значит принимаетсянулевая гипотеза и мы можем сделать вывод о том, что влияние фактора отрасли науровень износа оборудования незначимо.
Если в опции <Graphs> указать Dotplots of data:Ö, то будет построен следующий график(чертой отмечено среднее значение для группы).
/>
Рис.3 Представлениеэкспериментальных данных
3.2.2. Двухфакторный дисперсионный анализДля проведениядвухфакторного дисперсионного анализа необходимо подготовить данные, выбрать изменю Stat> ANOVA> Balanced ANOVA и заполнить открывшееся диалоговоеокно.
Эта функция позволяетпроводить, как одномерный, так и многомерный анализ дисперсии. Факторы могутбыть связаны как перекрестно, так и иерархически, они могут бытьдетерминированными и случайными, однако данные должны быть сбалансированы. Этозначит, что для каждого уровня Aдолжны быть одинаковые уровни фактора B, и в том же количестве.
Диалоговое окно.
1. Отклики (Responses) – выберите столбцы, содержащие выходные (зависимые)переменные. Система позволяет анализировать до 50 выходных переменных.
2. Модель (Model)– укажите переменные или их комбинацию, которые включаются в модель.
3. Случайные факторы(Random Factors) – укажите столбец, содержащий случайную переменную.
Пример3Пусть данные о процентеизноса оборудования для 12 предприятий разных отраслей промышленности и формсобственности представлены в табл.1. Определим, как влияют отрасльпромышленности, форма собственности и их взаимодействие на процент износаоборудование. Для этого выберем из меню Stat > ANOVA > Balanced ANOVA изаполним диалоговое окно следующим образом
Responses:d
Model:field owner field*owner
Результаты дисперсионногоанализа представлены на рис.4.
Analysis of Variance (Balanced Designs)
Factor Type Levels Values
field fixed 2 Пищевая Машиностр
owner fixed 2 частн госуд
Analysis of Variance for d
Source DF SS MS F P
field 1 102.08 102.08 2.14 0.182
owner 1 184.08 184.08 3.86 0.085
field*owner 1 90.75 90.75 1.90 0.205
Error 8 382.00 47.75
Total 11 758.92
Рис.4 Листинг результатов вычисленийдля двухфакторной моделиПроанализируем полученные результатs/
Для фактора отрасли P>/> (/>=0.05), значит принимаетсянулевая гипотеза о том, что фактор отрасли не влияет на уровень износаоборудования.
Для фактора формысобственности P>/> (/>=0.05), значит принимаетсянулевая гипотеза о том, что фактор формы собственности не влияет на уровеньизноса оборудования. Аналогичным образом делаем вывод о том, что на уровеньизноса оборудование не влияет взаимодействие факторов.
Для анализамногофакторных моделей по несбалансированным данным необходимо выбрать из меню Stat> ANOVA> GeneralLinearModel.
4Выполнение дисперсионного анализа в Excel
Рассмотрим дисперсионныйанализ на следующем примере: за месяц известны данные о выработке рабочего завремя работы в первую и во вторую смены.
Таблица 2 - Исходныеданные
/>Смена
Выработка рабочего, нормо-час 1 12,1; 11,1; 12,6; 12,9; 11,6; 13,1; 12,6; 12,4; 11,6; 17,3; 12,9; 11,6; 12,4 2 9,9; 11,4; 13,4; 10,4; 12,9; 12,6; 13,9; 13,4; 12,4; 9,9; 10,2; 11,2; 9,7Можно ли считать, чторасхождение между уровнями выработки рабочего в первую и во вторую сменынесущественно, т.е. можно ли считать, что генеральные средние в двух подгруппаходинаковы и, следовательно, выработка рабочего может быть охарактеризованаобщей средней.
Решение.
Для того чтобы ответитьна поставленные вопросы, рассчитаем среднюю выработку рабочих в каждой смене.Величина выработки в первую и вторую смены различна. Теперь возникает вопрос отом, насколько существенны эти расхождения, нужно проверить предположение овозможном влиянии сменности на выработку рабочих. Результаты расчетов сведены втаблицу 3.
Таблица 3 – Промежуточныерасчеты для проведения дисперсионного анализа
СменаСредняя выработка, нормо-часы
/>
Число смен в месяце
/>
Сумма квадратов отклонений вариантов от групповой средней
/>
Квадраты отклонений групповых средних от общей средней
/>
1 12.6308 13 28.09 3,2001 2 11.6385 13 28.08 3,2008 Итого/>
26/>=56.1585
/>=6,4008
Используя данные таблицы,рассчитаем /> и />.
Число степеней свободыдля расчета внутригрупповой дисперсии равно (/>)24 (26-2), а для расчета межгрупповой дисперсии число степеней свободы равно /> - 1 (2-1).
/>
/>
Рассчитаем значениекритерия Фишера по следующей формуле:
/> (4)
/>
В соответствии с числомстепеней свободы для расчета внутригрупповой и межгрупповой дисперсий (24 и 1)в таблице F-распределения для α=5% находим Fтабл = 4.26.
При этом выдвигается двегипотезы. Нулевая гипотеза гласит о том, что различия выработки рабочего впервую и вторую смены несущественны. Альтернативная гипотеза: существуютсущественные различия в значении выработки рабочего в первую и во вторую смены.
Так как расчетноезначение критерия Фишера значительно меньше табличного значения критерияФишера, то гипотеза о несущественности различия выработки рабочего в первую ивторую смены не опровергается, т.е. сменность не оказывает влияния на уровеньвыработки рабочего.
Для того, чтобы провестидисперсионный анализ в Excel,необходимо активировать команду «Анализ данных». Для этого проходится следующийпуть: Сервис -> Надстройки -> Пакет анализа. После этого в меню «Сервис»появляется команда «Анализ данных» и выбирается команда «Однофакторныйдисперсионный анализ».
Далее необходимозаполнить окно «Однофакторный дисперсионный анализ»:
«Входной интервал» — вводится ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные. Ссылка должнасостоять не менее чем из двух смежных диапазонов данных, данные в которыхрасположены по строкам или столбцам.
«Группирование» — установите переключатель в положение. По столбцам или По строкам в зависимостиот расположения данных во входном диапазоне.
«Метки в первойстроке/Метки в первом столбце» — если первая строка исходного диапазонасодержит названия столбцов, установите переключатель в положение Метки в первойстроке. Если названия строк находятся в первом столбце входного диапазона,установите переключатель в положение Метки в первом столбце. Если входнойдиапазон не содержит меток, то необходимые заголовки в выходном диапазоне будутсозданы автоматически.
«Альфа» — введите уровеньзначимости, необходимый для оценки критических параметров F-статистики. Уровеньальфа связан с вероятностью возникновения ошибки типа I (опровержение вернойгипотезы).
«Выходной диапазон» — введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размеры выходнойобласти будут рассчитаны автоматически, и соответствующее сообщение появится наэкране в том случае, если выходной диапазон занимает место существующих данныхили его размеры превышают размеры листа.
«Новый лист» — установитепереключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа,начиная с ячейки A1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа вполе, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.
«Новая книга» — установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результатыанализа в ячейку A1 на первом листе в этой книге.
Примерзаполнения окна «Однофакторный дисперсионный анализ» представлен на рисунке 2./>
Рисунок 2 – Примерзаполнения окна «Однофакторный дисперсионный анализ»
Результаты расчетоводнофакторного дисперсионного анализа представлены на рисунке 3.
Однофакторный дисперсионный анализ ИТОГИ Группы Счет Сумма Среднее Дисперсия Столбец 1 13 164,2 12,63077 2,34064103 Столбец 2 13 151,3 11,63846 2,33923077 Дисперсионный анализ Источник вариации SS df MS F P-Значение F критическое Между группами 6,400385 1 6,400385 2,73528203 0,111176312 4,259675279 Внутри групп 56,15846 24 2,339936 Итого 62,55885 25Рисунок 3 – Результатырасчетов по однофакторному дисперсионному анализу
Интерпретациярезультатов:
«Группы» — данные повыработке в первую и вторую смены.
«Счет» — количествонаблюдений в каждой из групп.
«Сумма» — сумма элементовкаждой из групп.
«Среднее» — средняявыработка в каждой из групп.
«Дисперсия» — рассчитывается дисперсия по каждой из групп;
SS — сумма квадратов;
df — число степеней свободы;
MS – средний квадрат;
F – расчетное значение отношенияФишера;
P — уровень значимости длявычисленного F;
F критическое – табличное значениеотношения Фишера.
Результаты расчетованалогичны результатам, полученным при расчетах вручную.
Двухфакторныйдисперсионный анализ в MSExel
Используя данныйпредыдущего примера, предположим, что у нас есть данные о поле работников. Дляпроведения двухфакторного дисперсионного анализа в MS Exel необходимо представить данные в виде перекрестнойклассификации:
1 2 муж 12,1 9,9 11,1 11,4 12,6 13,4 12,9 10,4 11,6 12,9 13,1 12,6 12,6 13,9 жен 12,4 13,4 11,6 12,4 17,3 9,9 12,9 10,2 11,6 11,2 12,4 9,7 13,1 12,6В меню «Сервис» выбратькоманду «Анализ данных» и команду «Двухфакторный дисперсионный анализ сповторениями».
Далее необходимозаполнить окно «Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями»:
«Входной интервал» — вводится ссылка на диапазон, содержащий анализируемые данные.Необходимоотметить не только сами числа, но и заголовок таблицы.
«Число строк для выборки»- необходимо ввести количество повторений в одной ячейке. (Для нашего примера — 7)
«Альфа» — введите уровеньзначимости, необходимый для оценки критических параметров F-статистики. Уровеньальфа связан с вероятностью возникновения ошибки типа I (опровержение вернойгипотезы).
«Выходной диапазон» — введите ссылку на левую верхнюю ячейку выходного диапазона. Размеры выходнойобласти будут рассчитаны автоматически, и соответствующее сообщение появится наэкране в том случае, если выходной диапазон занимает место существующих данныхили его размеры превышают размеры листа.
«Новый лист» — установитепереключатель, чтобы открыть новый лист в книге и вставить результаты анализа,начиная с ячейки A1. Если в этом есть необходимость, введите имя нового листа вполе, расположенном напротив соответствующего положения переключателя.
«Новая книга» — установите переключатель, чтобы открыть новую книгу и вставить результатыанализа в ячейку A1 на первом листе в этой книге.
Пример заполнения окна«Однофакторный дисперсионный анализ» представлен на рисунке 2./>
Рисунок 2 – Примерзаполнения окна «Двухфакторный дисперсионный анализ»
Результаты расчетов двухфакторногодисперсионного анализа представлены на рисунке 3.
Дисперсионный анализ Источник вариации SS df MS F P-Значение F критическое Выборка 0,001429 1 0,001429 0,000643 0,979986 4,259677 Столбцы 6,412857 1 6,412857 2,884498 0,102366 4,259677 Взаимодействие 3,862857 1 3,862857 1,73751 0,199898 4,259677 Внутри 53,35714 24 2,223214 Итого 63,63429 27Рисунок 3 – Результатырасчетов по однофакторному дисперсионному анализу
Интерпретациярезультатов:
SS — сумма квадратов;
df — число степеней свободы;
MS – средний квадрат;
F – расчетное значение отношенияФишера;
P — уровень значимости длявычисленного F;
F критическое – табличное значениеотношения Фишера.
4. Задание повыполнению лабораторной работы
4.1. Однофакторныйдисперсионный анализ
Вы собираетесь открыватьмагазин одежды. Произведенный опрос среди предполагаемых покупателей позволилполучить вам примерный уровень доходов респондентов в месяц, которыепредпочитают одежду тех или иных торговых марок. Необходимо проверить, есть лисущественное различие в уровне доходов и маркой одежды, которую предпочитаютпокупатели. Выясните, какие торговые марки можно отнести к одной группе (повеличине объема продаж) и предположите, как их можно сегментировать.
В табл.6 приведеныварианты заданий.
Таблица 6.
Торговые марки M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 555 1810 1749 2711 994 3687 566 4691 1679 861 1446 3543 426 1122 1746 2514 1085 2489 883 4130 2838 1074 1010 4828 349 2220 1509 2177 1215 2717 844 5328 3615 920 1414 5027 506 720 1949 2754 1024 4055 917 3268 2098 1192 1528 2937 550 2347 1673 2482 931 2485 850 3821 2602 970 1572 3067 443 1841 1275 2219 1242 2322 768 4132 2304 963 1538 4301 626 2250 1651 3065 948 3548 907 6429 2529 1417 1697 -393 582 2293 1745 2411 1041 3139 983 5833 2531 535 1223 1687 463 2550 862 2169 948 2258 855 3356 2784 1101 1072 3623 306 2977 831 2338 976 3327 794 2694 3646 1031 1725 3187 566 1542 1533 2415 998 2994 815 5074 4089 1011 1807 3353 569 3322 1432 2255 724 3783 760 3363 2603 1044 1512 4048 463 1441 1465 2527 952 3996 830 4852 2861 724 1623 3776 304 1952 1934 2446 998 3199 900 3316 2784 1327 1155 5251 528 1813 1813 2806 1115 4875 832 1985 2569 1199 1200 2009 496 617 1744 2618 834 2230 711 4547 3584 1206 1302 3480 648 2615 1151 2430 1034 3101 797 3293 2153 601 1304 4627 457 1777 876 2748 1018 4146 936 3922 3421 871 1687 2355 690 1420 1382 3110 1000 733 809 3086 4068 901 1428 2329 548 1843 1555 2996 834 3227 729 2447 3080 898 1433 3920 491 2574 940 2707 1165 2734 926 3524 2831 789 1440 1922Вариант Торговые марки
1 M1 M2 M3 M4 M5 M6
2 M2 M3 M4 M5 M6 M7
3 M3 M4 M5 M6 M7 M8
4 M4 M5 M6 M7 M8 M9
5 M5 M6 M7 M8 M9 M10
6 M1 M3 M4 M5 M9 M10
7 M1 M4 M5 M6 M9 M10
8 M1 M5 M6 M7 M9 M10
9 M1 M6 M7 M8 M9 M10
10 M1 M3 M5 M7 M9 M11
11 M2 M4 M5 M6 М11 М12
12 M2 M5 M6 M7 М11 М12
13 M2 M6 M7 M8 M10 M12
14 M2 M4 M6 M8 M10 M12
15 M2 M5 M7 M8 М11 М12
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
4.2 Двухфакторныйдисперсионный анализ
В таблице приведены данные опроса 32 человек. Опрашиваемые были выбраны случайным образом из групп людей, которыеформировались так, чтобы результаты опроса были сбалансированы по всем уровнямфакторов.
Таблица 7
Результаты опроса
Образование Сфера деятельн. Пол Положение Доход Расход X1 X2 X3 X4 Y1 Y2 Экономич. Финансы Муж. Руковод. 852 650 Экономич. Финансы Жен. Руковод. 750 700 Экономич. Производ. Муж. Руковод. 210 140 Экономич. Производ. Жен. Руковод. 180 160 Экономич. Сельск, х. Муж. Работник 120 80 Экономич. Сельск, х. Жен. Работник 130 120 Экономич. Образов. Муж. Работник 210 180 Экономич. Образов. Жен. Работник 190 170 Технич. Финансы Муж. Работник 320 240 Технич. Финансы Жен. Работник 240 220 Технич. Производ. Муж. Работник 230 180 Технич. Производ. Жен. Работник 140 130 Технич. Сельск, х. Муж. Руковод. 350 300 Технич. Сельск, х. Жен. Руковод. 360 320 Технич. Образов. Муж. Руковод. 310 250 Технич. Образов. Жен. Руковод. 310 300 Медицин, Финансы Муж. Руковод. 540 450 Медицин, Финансы Жен. Руковод. 450 420 Медицин, Производ. Муж. Руковод. 310 210 Медицин, Производ. Жен. Руковод. 405 380 Медицин, Сельск, х. Муж. Работник 110 100 Медицин, Сельск, х. Жен. Работник 120 110 Медицин, Образов. Муж. Работник 210 180 Медицин, Образов. Жен. Работник 180 170 Гуманит. Финансы Муж. Работник 230 160 Гуманит. Финансы Жен. Работник 240 220 Гуманит. Производ. Муж. Работник 120 110 Гуманит. Производ. Жен. Работник 125 120 Гуманит. Сельск, х. Муж. Руковод. 280 180 Гуманит. Сельск, х. Жен. Руковод. 300 280 Гуманит. Образов. Муж. Руковод. 240 230 Гуманит. Образов. Жен. Руковод. 230 200
Требуется методом двухфакторного дисперсионного анализа оценить степень влияния изучаемых факторов на результирующийэкономический показатель. Первоначально оценить модель безвзаимодействия факторов, затем с взаимодействием. Сравнить результаты.Сделать выводы. Варианты заданий приведены в табл.8.
Таблица 8
Варианты заданий
Вариант Первый фактор Второй фактор Отклик Вариант Первый фактор Второй фактор Отклик 1 X1 X2 Y1 7 X1 X2 Y2 2 X1 X3 Y1 8 X1 X3 Y2 3 X1 X4 Y1 9 X1 X4 Y2 4 X2 X3 Y1 10 X2 X3 Y2 5 X2 X4 Y1 11 X2 X4 Y2 6 X3 X4 Y1 12 X3 X4 Y2
5. Порядоквыполнения работы
1. В соответствии свариантом задания выполнить однофакторный дисперсионный анализ, сделать выводы,написать отчет.
2. В соответствии свариантом задания выполнить двухфакторный дисперсионный анализ, сделать выводы,написать отчет.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйтеосновную идею дисперсионного анализа, для решения каких задач он наиболееэффективен ?
2. Что показывает F отношение Фишера?
3. Каковы основныетеоретические предпосылки дисперсионный анализ?
4. Произведитеразложение общей суммы квадратов отклонений на составляющие в однофакторном дисперсионном анализе.
5. Как получитьоценки дисперсий из сумм квадратов отклонений? Как получаются необходимыечисла степеней свободы?
6. Приведите свойпример двухфакторного дисперсионного анализа.
7. На какие суммыразлагается общая сумма квадратов отклонений в двухфакторном дисперсионноманализе?
8. Поясните схемудвухфакторного дисперсионного анализа.
9. Чем отличаетсяперекрестная классификация от иерархической классификации?
10. Чем отличаютсясбалансированные данные?
Литература
1. Шеффе Г.Дисперсионный анализ. – М.: Наука. 1980.- 512с.
2. Джонсон Н., ЛионФ. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке: Методыпланирования эксперимента. Пер. с англ. – М.: Мир, 1981.-520с.
3. Дэниел К.Применение статистики в промышленном эксперименте.-М.: Мир, 1979.-300с.
4. Хикс Ч. Основныепринципы планирования эксперимента.- М.: Мир, 1967.
Методические указания разработали: профессор, д.т.н.Цуканов А.В. и к.т.н., доцент, Русина Н.А.