Реферат: Обработка статистической информации при определении показателей надежности

Вятскаягосударственная сельскохозяйственная академия

Инженерныйфакультет

Кафедра ремонтамашин

Обработка статистическойинформации при определении показателей надежности

Выполнил А.А. Костюнин

Группа ИАу-540

Проверил В. Д Шерстобитов

Киров 2006

Содержание

Введение

1Первичная обработка статистической информации

1.1Статистический ряд информации

1.2Определение среднего значения и среднеквадратического отклонения показателейнадежности

1.3Проверка информации на выпадающие точки

1.4Графическое изображения опытного распределения

1.5Определение коэффициента вариации

1.6Выбор теоретического закона распределения

1.7Критерии согласия опытных и теоретических распределений показателей надежности

1.8Определение доверительных границ рассеивания одиночного и среднего значенийпоказателя надежности. Абсолютная и относительная предельные ошибки

1.9Определение минимального числа объектов наблюдения при оценке показателейнадежности

2Методы обработки усеченной информации

2.1Вероятностная бумага закона нормального распределения

2.2Вероятностная бумага закона распределения Вейбулла

Литература

Приложение

Введение

Для техники, используемой в сельскохозяйственномпроизводстве, характерно значительное рассеивание показателей надежности из-занестабильности качества новых или отремонтированных машин и различных условийих эксплуатации. Вследствие этого все показатели надежности автомобилей,тракторов и сельскохозяйственных машин относятся к категории случайных величин,обработка и расчет которых производится методами теории вероятностей иматематической статистики.

Существует несколько методов обработки информации.Некоторые из них (например, метод максимального правдоподобия) сложны,трудоемки, нуждаются в применении электронно-вычислительной техники.Использование таких методов в хозяйствах и на ремонтных предприятиях дляобработки информации о надежности сельскохозяйственной техники не толькозатруднено, но и нецелесообразно, т.к. их точность превышает точность исходнойинформации.

Рассмотренный ниже метод обработки информации прост инадежен. Его могут применять инженеры сельскохозяйственного производства безиспользования электронно-вычислительных машин.

1 Первичная обработка статистической информации

Основные этапы обработки статистической информацииследующие:

— составление сводной таблицы исходной информации впорядке возрастания показателей надежности (вариационный ряд);

— составление статистического ряда;

— определение среднего значения (/>) и среднего квадратическогоотклонения (σ) показателя надежности;

— проверка информации на выпадающие точки;

— графическое изображение опытной информации (построениеполигона и кривой накопленных опытных вероятностей показателя надежности);

— определение коэффициента вариации (υ),характеризующего относительное рассеивание показателя надежности;

— выбор теоретического закона распределения, определениеего параметров и графическое построение дифференциальной и интегральной кривых;

— оценка совпадения опытного и теоретическогораспределений по критериям согласия;

— определение доверительных границ одиночных и среднихзначений показателя надежности и наибольших возможных ошибок расчета.

Последовательность выполнения расчетов приведена втаблице 1.1.

Таблица 1.1 – Размеры толщины шлиц первичного вала коробкиперемены передач ( 50-1701032) трактора МТЗ-50

№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Размер, мм 6,01 6,09 6,16 6,22 6,24 6,27 6,28 6,32 6,36 6,39 6,41 6,45 6,46 6,47 № п/п 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Размер, мм 6,54 6,56 6,58 6,60 6,61 6,63 6,64 6,67 6,69 6,71 6,73 6,75 6,79 6,81 № п/п 29 30 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> Размер, мм 6,84 6,96 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Допустимый размер — 6,45 мм

1.1 Статистический ряд информации

Статистический ряд информации составляется для упрощениядальнейших расчетов в том случае, если повторность исходной информации N не менее 25.

Для построения статистического ряда вся информацияразбивается на n интервалов. Ориентировочно количество интервалов определяетсяпо формуле:

/>, (1.1)

где n – число интервалов; N – число исследуемых объектов.

Наиболее рациональное количество интервалов, применяемоена практике n=6…14.

Все интервалы должны быть одинаковыми по величине,прилегать друг к другу и не иметь разрывов.

Для нашего случая:

/>.

Ширина интервала «А» ориентировочно определяется поформуле:

/>, (1.2)

где tmax – максимальное значение случайной величины;

tmin – минимальное значение случайной величины иокругляется до удобной величины.

/> мм.

Начало первого интервала принимаем t1Н=6,0 мм.

Статистический ряд представляет из себя таблицу изчетырех строк (таблица 1.2). В первой строке указываются границы интервалов, вовторой – количество случаев попадания случайной величины в каждом интервале(частота) mi, в третьей – опытная вероятность pi случайной величины, вчетвертой – накопленная опытная вероятность/>

Опытная вероятность определяется как отношение числаслучаев mi к общему объему информации N. Так, например, опытная вероятность впервом и втором интервалах равна:

/>; />.

Правильность построения статистического ряда может бытьпроверена по накопленной вероятности.

Для последнего интервала />

Таблица 1.2 – Статистический ряд информации

Интервал 6,00-6,16 6,16-6,32 6,32-6,48 6,48-6,64 6,64-6,80 6,80-6,96 Частота mi 3 5 6 7 6 3 Опытная вероятность Pi 0,1 0,17 0,2 0,23 0,2 0,1 Накопленная опытная вероятность ∑Pi 0,1 0,27 0,47 0,7 0,9 1 Середина 6,08 6,24 6,40 6,56 6,72 6,88

1.2 Определение среднего значения и среднеквадратическогоотклонения показателей надежности

Среднее значение является важнейшей характеристикойпоказателя надежности. На основании средних значений производится планированиеработы машины, определение объемов ремонтных работ, составление заявок назапасные части и т.д.

Точность определения среднего значения возрастает по мереувеличения повторности информации, приближаясь к своему пределу –математическому ожиданию.

При наличии статистического ряда среднее значениепоказателя надежности /> определяется по уравнению:

/> (1.3)

где n – количество интервалов в статистическом ряду;

ti – значение середины i-го интервала;

pi – опытная вероятность i-го интервала.

Средний размер толщины шлиц первичного вала коробкипередач, определенный по уравнению 1.3 с использованием статистического рядабудет равен:

/>.

Среднеквадратичное отклонение s является абсолютной характеристикойрассеивания показателя надежности, позволяющей переходить от общей совокупностик показателям надежности отдельных машин. При наличии статистического рядаинформации среднее квадратическое отклонение определяется по уравнению:

/> (1.4)

Среднеквадратическое отклонение размера толщины шлицпервичного вала коробки передач, определенного по уравнению 1.4, равно:

/>=0,24 мм.

1.3 Проверка информации на выпадающие точки

Опытная информация по показателям надежности, полученнаяв процессе наблюдения за машинами в условиях рядовой эксплуатации, может иметьошибочные точки, выпадающие из общего закона распределения. Причиной появлениявыпадающих точек могут быть грубые ошибки в измерениях, ошибочные записи и т.д.

Поэтому, перед окончательной математической обработкой,информация должна быть проверена на выпадающие точки. Проверке обычноподвергаются первые и последние точки.

Первый способ проверки информации на выпадающие точкизаключается в

проверке по правилу />. Так как, при законе нормальногораспределения 99,7% всех точек находятся в интервале />, то все точки, входящие в этотинтервал, считаются действительными.

Для рассматриваемого примера границы достоверности точекинформации будут соответственно равны:

нижняя граница: />

верхняя граница: />

Наименьший размер толщины шлиц первичного вала />, что больше />, следовательно,первая точка информации достоверна и должна учитываться при дальнейшихрасчетах.

Наибольший размер толщины шлиц первичного вала />, что меньше />,следовательно, последняя точка информации достоверна и должна учитываться придальнейших расчетах.

Второй способ проверки достоверности точек производитсяпо критерию l(критерий Ирвина). Этот способ является более точным. При этом определяетсяопытное значение критерия lоппо формуле:

/>, (1.5)

где ti+1, ti – смежные точки информации, и сравниваютсяс нормированным значением l.

Если λоп < λ точка достоверна;

λоп > λ точка недостоверна.

Проведя проверку крайних точек информации по доремонтнымресурсам толщины зуба третьей передачи, получим

для наименьшей точки информации (/>)

/>;

для наибольшей точки информации (/>)

/>.

Для объема информации N=30 и доверительной вероятности α=0,95нормированное значение критерия λ=1,2.

Сравнение опытных значений критерия Ирвина снормированным его значением показывает, что первая точка информации /> являетсядостоверной, λоп =0,16 < λ=1,2 и её следует учитывать в дальнейшихрасчетах. Последняя точка информации /> также является достоверной, λоп=0,32 < λ=1,2 и её тоже следует учитывать в дальнейших расчетах.

В случаях, когда исключаются выпадающие точки, нужноперестроить статистический ряд и пересчитать среднее значение и среднееквадратическое отклонение показателя надежности.

1.4 Графическое изображения опытного распределения

По данным статистического ряда могут быть построеныполигон и кривая накопленных опытных вероятностей (рисунки 1.1 и 1.2 вприложении), которые дают наглядное представление об опытном распределениипоказателя надежности.

При выборе масштаба при построении графиков желательнопридерживаться правила «золотого сечения», т.е.

/>, (1.6)

где y – максимальное значение ординаты;

x – максимальное значение абсциссы.

При построении полигона распределения по оси абсциссоткладывают в определенном масштабе показатель надежности t, а по оси ординат — опытную частоту mi или опытную вероятность Pi.

Для построения кривой накопленных опытных вероятностей пооси абсцисс откладывают в масштабе значения показателя надежности t, а по осиординат – накопленную опытную вероятность ∑ Pi.

Точки полигона образуются пересечением ординаты, равнойопытной вероятности интервала, и абсциссы, равной середине этого интервала.Точки кривой накопленных опытных вероятностей образуются пересечением ординаты,равной сумме опытных вероятностей и абсциссы — конца данного интервала.

Полигон дает наглядное представление о распределениипоказателя надежности. Кривая накопленных опытных вероятностей в этом отношениименее наглядна, но с её помощью удобно решать некоторые инженерные задачи.

1.5 Определение коэффициента вариации

Коэффициент вариации – это относительная характеристикаслучайной величины, используется при выборе теоретического законараспределения. Коэффициент вариации υ равен отношению σ к среднемузначению показателя надежности />

/> (1.7)

Определение коэффициента вариации по уравнению 1.7выполняется для тех показателей надежности, зона рассеивания которых начинаетсяот их нулевого значения или близка к нему.

При наличии смещения начала зоны рассеивания tсм величинакоэффициента вариации определяется по уравнению:

/> (1.8)

Учет смешения особенно необходим тогда, когда длявыравнивания опытной информации используется теоретический закон распределенияВейбулла, параметры которого непосредственно зависят от величины коэффициентавариации.

Величину смещения tсм, с достаточной для практическихрасчетов точностью при наличии статистического ряда можно определить:

/> (1.9)

При отсутствии статистического ряда за смещениепринимается величина:

/> (1.10)

где t1, t2, t3 – значения первого, второго и третьегопоказателей надежности в порядке возрастания.

Для нашего случая величина смещения равна:

/>

Тогда коэффициент вариации, определенный по формуле 1.8будет равен:

/>

1.6 Выбор теоретического закона распределения

Теоретический закон распределения (ТЗР) выражает общийхарактер изменения показателя надежности и исключает частные отклонения,связанные с недостатком первичной информации, т.е. ТЗР характеризуетгенеральную совокупность. Опытное распределение имеет частные особенности,которые должны быть исключены при переносе характеристик опытного распределенияна генеральную совокупность.

Процесс замены опытных закономерностей теоретическиминазывается выравнивание опытной информации.

Каждый ТЗР характеризуется двумя функциями:

f(t) – дифференциальная функция;

F(t) – интегральная функция.

Применительно к показателям надежности машин,эксплуатируемых в сельском хозяйстве, в подавляющем большинстве случаевиспользуется закон нормального распределения (ЗНР) и закон распределенияВейбулла (ЗРВ).

Выбор теоретического закона производится исходя изследующих признаков:

По величине коэффициента вариации:

если V < 0,3 – выбирается ЗНР;

если 0,3 < V < 0,5 – выбирается ЗНР или ЗРВ;

если V > 0,5 – выбирается ЗРВ.

По области применения.

ЗНР применяется, как правило при определениихарактеристик рассеивания:

ресурсов и сроков службы машин и агрегатов;

времени и стоимости восстановления работоспособностимашин;

наработка на ресурсный отказ;

ошибок измерений размеров деталей.

б) ЗРВ применяется, как правило, при определении:

ресурсов и сроков службы отдельных деталей и сопряжений;

доремонтных и межремонтных ресурсов тех элементов машин,отказы которых вызваны выходом из строя одной и той же детали;

информации по износам деталей.

Здесь применим закон нормального распределения и законраспределения Вейбулла.

Закон нормального распределения (ЗНР)

Отличительной особенностью ЗНР является симметричноерассеивание частных значений относительного среднего.

Дифференциальная функция нормального распределения имеетвид

/> (1.11)

где е = 2,718 – основание натурального логарифма;

/> - среднее значение показателянадежности;

σ – среднее квадратическое отклонение;

π – 3,14;

t – текущее значение показателя надежности.

Интегральное функция или функция распределения F(t)определяется интегрированием функции плотности вероятностей f (t) и имеет вид

/>. (1.12)

Обе эти функции имеют два параметра: /> - параметр масштаба и σ– параметр формы. Эти параметры определяются на основании опытной информации.Найденные параметры можно подставить в уравнения 1.11 и 1.12 и использоватьими, но это довольно сложная задача.

Если в уравнении 1.11 значение /> приравнять к нулю, σ кединице, то получим центрированную и нормированную дифференциальную функцию

/>. (1.13)

Из уравнений 1.11 и 1.13 соотношение между /> (t) и />(t) имеет вид:

/>. (1.14)

Из уравнения 1.13 также следует, что

/>,

где /> — значение середины i-го интерваластатистического ряда.

Центрированная и нормированная интегральная функция (t =0; σ = 1) определяется по уравнеию:

/>. (1.15)

Из уравнений 1.12 и 1.15 получим:

/>. (1.16)

где /> — значение конца i-го интерваластатистического ряда.

Из уравнения 1.15 следует,

/> (1.17)

При обработке опытной информации установлено:

— средний ресурс /> =6,49 мм;

— среднее квадратическое отклонение σ = 0,24 мм;

— коэффициент вариации V = 0,42.

Для построения дифференциальной кривой f(t) определяетсятеоретическая вероятность попадания случайной величины в каждом интервале статистическогоряда (таблица 1.2).

Так, вероятность того, что деталь потребует ремонта впервом и втором интервале наработок будет равна:

/>

/>

и т.д. для остальных интервалов.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Для построения интегральной кривой определяются значенияфункции F(t) для концов интервалов статистического ряда.

Для первого интервала получим:

/>;

/>.

Дальнейшие результаты расчетов представлены в таблице1.3.

Таблица 1.3 – Значения f(t) и F(t) при ЗНР

Интервалы, мм 6,00-6,16 6,16-6,32 6,32-6,48 6,48-6,64 6,64-6,80 6,80-6,96 f(t) 0,061 0,153 0,245 0,243 0,166 0,071 F(t) 0,085 0,239 0,484 0,732 0,902 0,975

Закон распределения Вейбулла (ЗРВ)

Отличительной особенностью закона распределения Вейбуллаявляется правосторонняя асимметрия дифференциальной функции.

Дифференциальная f(t) и интегральная F(t) функцииопределяются уравнениями:

/> (1.18)

/> (1.19)

где а и в – параметры распределения Вейбулла.

Определение параметров «а» и «в»аналитическим путем довольно трудоемко, поэтому на практике при их определениипользуются специальными таблицами.

Порядок определения дифференциальной и интегральной функцийпри ЗРВ следующий:

1. Определение, на основании опытной информации, среднегозначения случайной величины />, среднего квадратическогоотклонения σ и коэффициента вариации.

2. По таблицам по известному значению коэффициентавариации V определяются параметр «в» и коэффициенты Вейбулла Кв и Св.

3. Параметр «а» определяется из выражения:

/> (1.20)

или

/> (1.21)

Для рассматриваемого задания по />; />; />; />.

Из литературных источников по известному коэффициентувариации V получим />; Кв=0,887; Св=0,380.

/>

4. Зная параметры «а» и «в» ипользуясь табулированными функциями аf(t) и F(t), можно определитьдифференциальную и интегральную функции.

При нахождении функции f(t) для каждого интерваластатистического ряда определяется отношение />, где tci – середина i-гоинтервала. По найденному отношению при определенной величине параметра«в» по таблице определяем значение функции аf(tci-tсм), нормированнойпо «а».

Значение функции f(t) для i-го интервала статистическогоряда определится из выражения:

/> (1.22)

Для нахождения функции F(t) для каждого интервалаопределяется отношение />, где tкi – конец i-го интервала.По найденному отношению и параметру «в» по таблице определяем значениеинтегральной функции F(tкi – tсм).

Для данного задания значение дифференциальной иинтегральной функций при ЗРВ будут равны:

для первого интервала

/>/> в=2,5 />

/>

/>/> в=2,5 F(tк1)=0,096

для второго интервала

/>/> в=2,5 />

/>

/>/> в=2,5 F(tк1)=0,243

Дальнейшие результаты расчетов представлены в таблице 1.4.

Графическое изображение дифференциальной функции f(t) иинтегральной функции F(t) при выравнивании по ЗНР и по ЗРВ представлено на рисунке1.1 и 1.2 в приложении.

Таблица 1.4 – Значения f(t) и F(t) при ЗРВ

Интервалы, мм 6,00-6,16 6,16-6,32 6,32-6,48 6,48-6,64 6,64-6,80 6,80-6,96 f(t) 0,083 0,183 0,247 0,234 0,15 0,069 F(t) 0,096 0,243 0,536 0,719 0,902 0,969

1.7 Критерии согласия опытных и теоретическихраспределений показателей надежности

Применительно к показателям надежности тракторов исельскохозяйственных машин, чаще используется критерий согласия Пирсона χ2.

Критерий χ2 определяется по формуле:

/>, (1.23)

где n – число интервалов в статистическом ряду;

mi – опытная частота в i-ом интервале;

mтi – теоретическая частота в i-ом интервале.

/> (1.24)

Для определения критерия согласия χ2 нужно иметьстатистический ряд, который удовлетворяет условиям:

/> />. (1.25)

В случае, если статистический ряд не удовлетворяет этим условиям,проводится укрупнение его путем объединения интервалов с частотой mi или mтiменьше 5 с соседними.

Для данного задания значение теоретической частоты (mтi)для каждого интервала статистического ряда, определенное по формуле 1.24 дляЗНР и ЗРВ представлено в таблице 1.5.

Таблица 1.5 – Значение теоретической частоты для ЗНР и ЗРВ

Интервалы, мм 6,00-6,16 6,16-6,32 6,32-6,48 6,48-6,64 6,64-6,80 6,80-6,96 Опытная частота mi 3 5 6 7 6 3 F (t) ЗНР 0,085 0,239 0,484 0,732 0,902 0,975 ЗРВ 0,096 0,243 0,536 0,719 0,902 0,969 Теоретическая частота, mтi ЗНР 2,55 4,62 7,35 7,44 5,1 2,19 ЗРВ 2,88 4,41 8,79 5,49 5,49 2,01

Так как при выравнивании по ЗНР статистический ряд неудовлетворяет условию 1.25, производим укрупнение статистического ряда, т.е.объединяем первый и второй, а также пятый и шестой интервалы. Укрупненныйстатистический ряд представлен в таблице 1.6.

Таблица 1.6 – Укрупненный статистический ряд дляопределения критерия согласия χ2

Интервалы, мм 6,00-6,32 6,32-6,48 6,48-6,64 6,64-6,96 Опытная частота, mi 8 6 7 9 Теоретическая частота, mтi ЗНР 7,17 7,35 7,44 7,29 ЗРВ 7,29 8,79 5,49 7,5

Критерий χ2 будет соответственно равен:

— для закона нормального закона

/>.

— для закона распределения Вейбулла

/>.

Для количественной оценки совпадения опытного итеоретического распределения определяется вероятность совпадения по критериюПирсона Р(χ2), определяемая по таблицам в литературных источниках.

Вероятность совпадения при прочих равных условиях зависиттакже от повторности исследуемой информации. Для пользования таблицейнеобходимо определить число степеней свободы «r» по уравнению:

/> (1.26)

где ny – число интервалов укрупненного статистическогоряда;

к – число параметров теоретического закона распределения;

1 – связь, накладываемая закономерностью ∑Pi=1.

Для данного примера />

Тогда для закона нормального распределения Р(χ2) =40%, для закона распределения Вейбулла Р(χ2) = 20%.

Принято считать, что теоретический закон согласуется сопытным распределением, если Р(χ2)≥10%.

Из проведенной проверки следует, что оба теоретическиезакона согласуются с опытным распределением, но вероятность совпадения законанормального распределения несколько выше, чем закон распределения Вейбулла.

1.8 Определение доверительных границ рассеиванияодиночного и среднего значений показателя надежности. Абсолютная иотносительная предельные ошибки

Доверительные границы рассеивания показателей надежностипри использовании закона нормального распределения определяется по формулам:

а) для одиночного значения показателя надежности

/>; (1.27)

/>; (1.28)

/>; (1.29)

/>, (1.30)

где /> - нижняя доверительная границаодиночного значения показателя надежности;

/> - верхняя доверительная границаодиночного значения показателя надежности;

σ – среднее квадратическое отклонение;

/> - коэффициент Стьюдентаопределяется по таблице в зависимости от принятой доверительной вероятности αи объема информации N;

/> — доверительный интервал;

/> — абсолютная ошибка рассеивания.

б) для среднего значения показателя надежности:

/>; (1.31)

/>; (1.32)

/>; (1.33)

/>, (1.34)

где — /> - нижняя доверительная границарассеивания среднего значения показателя надежности;

/> - верхняя доверительная границарассеивания среднего значения показателя надежности;

/> - абсолютная ошибка рассеиваниясреднего значения показателя надежности.

Относительная ошибка переноса опытных значений показателянадежности на генеральную совокупность:

/> (1.35)

Определяем доверительные границы рассеивания одиночного исреднего значений показателя надежности, предварительно задаемся доверительнойвероятностью α = 0,95. По таблице определяем значение коэффициента Стьюдента/> для α= 0,95 и N = 30. Для заданных условий />= 2,04. Тогда, по формулам 1.27,1.28, 1.30 и 1.31 определим:

/>мм;

/>мм;

/>мм;

/>мм;

/>

Расчет доверительных границ рассеивания при использованиизакона распределения Вейбулла ведется от нуля, т.к. кривая распределения в этомслучае асимметрична.

Рассеивание одиночных значений показателя надежностиопределяется по формулам:

/>, (1.36)

/> (1.37)

где tн – нижняя доверительная граница;

tв – верхняя доверительная граница;

/> – нормированная квантиль законараспределения Вейбулла, определяется по таблице из литературных источников дляизвестных значений «в» и />;

а – параметр распределения Вейбулла.

Для определения границ рассеивания среднего значенияиспользуются формулы:

/>, (1.38)

/>, (1.39)

где /> – нижняя доверительная граница;

/> – верхняя доверительная граница;

r1; r3 – коэффициенты Вейбулла, определяются по таблицеиз литературы;

в – параметр распределения Вейбулла.

При доверительной вероятности α=0,95; />=6,49 мм; tсм=5,92 мм;в=2,5; а=0,63 мм доверительные границы рассеивания одиночного и среднегозначения определенные по формулам 1.21…1.24 будут равны:

/>

/>

/>

/>

Относительная ошибка рассеивания (переноса) опытныхзначений показателя надежности на генеральную совокупность:

/> (1.40)

/>

1.9 Определение минимального числа объектов наблюденияпри оценке показателей надежности

Точность определения показателей надежности зависит припрочих равных условиях от объема информации, т.е. от числа испытуемых объектов.Как известно, с увеличением количества испытуемых объектов N доверительныеграницы сближаются, а абсолютная ошибка уменьшается.

Прежде чем приступить к испытанию, нужно определитьколичество испытуемых изделий. Для этого задаются определенной доверительнойвероятностью α и возможной относительной ошибкой εα.

В условиях производства при испытании на надежность вбольшинстве случаев задаются доверительной вероятностью α=0,80…0,95 ивеличиной относительной ошибки εα=10…20%. Количество объектовиспытания определяется в соответствии с принятым законом распределения.

При использовании закона нормального распределения, еслиобе части уравнения 1.34 разделить на среднее значение показателя надежности />, получим:

/> или />.

Окончательно получим:

/>. (1.41)

Для определения объема испытаний N необходимо задатьсявеличиной допустимой относительной ошибкой /> и для известной величиныкоэффициента вариации V определить значение /> с использование формулы 1.41,затем по таблице определить искомый объем информации N при заданнойдоверительной вероятности α.

В нашем случае относительная ошибка /> ≤20% (0,20),доверительная вероятность α.=0,95, коэффициент вариации V=0,42. Подставляяданные в формулу 1.41 получим

/>.

По таблице для α.=0,95 N=20.

При использовании закона распределения Вейбуллапользуются уравнением:

/>, (1.42)

где в – параметр распределения Вейбулла.

По значению q, при известной доверительной вероятности потаблице определяется количество испытуемых объектов.

Для V = 0,42; в=2,5 получим

/>

По таблицам для α=0,95 находим N=17.

2 Методы обработки усеченной информации

Проводить ресурсные испытания тракторов и автомобилей, обладающихдостаточно высокой долговечностью, до получения показателей долговечности увсех объектов практически невозможно. Это требует очень длительного времени ихиспытаний. Поэтому, при сборе информации по показателям долговечности такихмашин, испытания ведут до определенной наработки «Т». При этом длительностьиспытаний выбирается таким образом, чтобы получить показатели надежности неменее чем у 50% изделий.

Полученная при таких испытаниях информация называетсяусеченной.

В случае усеченной информации получить характеристикираспределения (/>и σ) изложенным выше методомневозможно. Эту задачу можно решить графическим методом обработкистатистической информации с помощью вероятностной бумаги.

2.1 Вероятностная бумага закона нормального распределения

Порядок пользования вероятностной бумагой законанормального распределения следующий:

1. На листе бумаги наносят прямоугольные оси координат.

2. На график наносят 6…7 опытных точек, равномернорасположенных в сводной таблице исходной информации (вариационном ряду). Приэтом координаты точек определяют по уравнениям:

/>, (2.1)

где МХ – масштаб по оси Х;

ti – значение показателя надежности i–й точки.

/>, (2.2)

где МУ – масштаб по оси «у» (принимается />= 50мм/ед.квантили);

НК – нормированная квантиль нормального законараспределения определяется по таблице для накопленной опытной вероятности рассматриваемойточки информации />;

«+» — если /> «-» — если />

Накопленная опытная вероятность рассматриваемой точкиинформации определяется по формуле:

/>, (2.3)

где />/>– порядковый номер i–ой точкивариационного ряда

статистической информации;

N – объем информации.

3. Нанести опытные точки на график и через них провестипрямую линию таким образом, чтобы точки были максимально приближены к этойпрямой

4. Определяем /> и σ. Для этого черезкоординату «у» = 116,5 мм, что соответствует />, провести прямую, параллельнуюоси «х» до пересечения с графиком. Абсцисс точки графика,соответствующая />, равна />. Для определения σ черезкоординату «у» = 66,6 мм, что соответствует />, провести прямую, параллельнуюоси «х», до пересечения с графиком. Разность абсцисс точексоответствующих /> и /> равна среднеквадратическомуотклонению случайной величины в соответствующем масштабе.

 нашем случае для обработки возьмем точки 2, 4, 7, 9, 11,13.

Примем МХ = 3 мм/ед.лог., тогда:

/>мм;

/>мм;

/>;

/>.

/>мм;

/>мм.

Результаты расчетов представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1 Результаты расчетов для построениявероятностной бумаги ЗНР

Порядковый номер, />

Значение показателя надежности, ti, мм Х мм

/>

Уi мм 2 6,09 18,27 1,126 60,2 4 6,22 18,66 0,675 82,75 7 6,28 18,84 0,151 88,35 9 6,36 19,08 0,151 124,05 11 6,41 19,23 0,468 13939 13 6,46 19,38 0,878 160,4

Вероятностная бумага ЗНР представлена на рисунке 2.1, изграфика получим

/>,

/>

2.2 Вероятностная бумага закона распределения Вейбулла

Порядок расчета по вероятностной бумаге следующий:

1. Из сводной таблицы взять 6…7 равномерно расположенныхточек.

2. Определить координаты опытных точек по уравнениям:

/>, мм (2.4)

где Mx – масштаб по оси x, принимается />.

/> (2.5)

где My – масштаб п оси y, принимается My=50.

/> – накопленная опытная вероятностьдля рассматриваемой точки

/>.

3. Нанести опытные точки на график и провести через нихпрямую линию.

4. Из точки, соответствующей />=0,63 (у = 100,3 мм), провести горизонтальную прямую до пересечения с графиком и определить отрезок /> и по величинеотрезка определить параметр «а» по формуле:

/> (2.6)

5. Продолжить график до пересечения с осью абсцисс инайти отрезок «Б». По отрезку определяем параметр «в».

/>. (2.7)

6. По величине параметра «в» из таблицы определяемкоэффициенты Кв и Св.

7. Определяем /> и σ по формулам:

/>, (2.8)

/>/>(2.9)

Для обработки возьмем точки 2; 4; 7; 9; 11; 13.

Смещение начала рассеивания показателя надежностиопределяется по формуле 1.10.

/>мм.

При определении абсцисс опытных точек за единицуизмерения показателя надежности принимают такое значение, при котором разность /> равнялось быпримерно от 1 до 20. В нашем случае наиболее удобно за единицу измеренияпоказателя надежности принять 0,1 мм, тогда:

/>мм;

/>мм и т.д.

/>;

/>.

/>мм;

/>мм.

Результаты представлены в таблице 2.2

Таблица 2.2 Результаты расчетов для построениявероятностной бумаги ЗРВ

Порядковый номер />

Значение показателя надежности ti, мм Х мм

/>

Уi мм 2 6,09 28 0,064 41,4 4 6,22 50 0,13 57,6 7 6,28 58 0,226 70,8 9 6,36 66 0,290 77,1 11 6,41 70 0,355 82,5 13 6,46 75 0,420 87,2

Вероятностная бумага ЗРВ представлена на рисунке 2.2, изграфика получили отрезок />мм, отрезок Б= 77 мм. Тогда:

/>

Так как за единицу измерения показателя надежности приопределения абсцисс опытных точек принято 0,1 мм, то а = 0,758 мм.

/>.

Из таблицы по найденному значению параметра «в»определяем коэффициенты Вейбулла: Кв=0,887; Св=0,394.

/>

/>.

Согласованность выбранного теоретического закона прииспользовании для определения /> и σ вероятностных бумагможно определить по расположению точек. Если точки располагаются близко отпрямой, выбранный закон согласуется с опытным распределением. Если точкизначительно отклоняются от прямой, теоретический закон не подходит.

Литература

1Баранов Н.Ф., Шерстобитов В.Д. Методические указания по обработкестатистической информации при определении показателей надежности машин. –Киров: ВГСХА, 2006. – 60с.