Реферат: Оптимизационные методы решения экономических задач
Содержание
Введение
1 Оптимизационные методырешения экономических задач.
2 Многокритериальнаяоптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной
3 Гладкая оптимизация.
4 Выпуклая оптимизация.Условие выпуклости.
5Экономико-математическая модель реструктуризации угольной промышленности.Критерий оптимизационной задачи
Заключение
Литература
Введение
Угольнаяпромышленность является одной из базовых в народно-хозяйственном комплексеУкраины. Уголь потребляется почти во всех отраслях народного хозяйства иопределяет в основном темпы и возможный уровень развития производства черных ицветных металлов, электрической и тепловой энергии, других отраслейпромышленности. Каменный и бурый уголь служат исходным сырьем для ряда отраслейхимической промышленности.
Вследствиебольшой глубины угольных залежей и небольшой мощности пластов угольнаяпромышленность Украины имеет худшие показатели добычи угля по сравнению снекоторыми странами СНГ и мира. Добыча угля в осуществляется в несоизмеримохудших горно-геологических условиях, чем в других странах мира. Это — главнаяобъективная причина больших удельных затрат материальных, энергетических, трудовыхресурсов, а также того, что производительность труда намного ниже мировой.Кроме того, отрасль теряет наиболее подготовленных, квалифицированныхспециалистов. Большая часть шахт нерентабельна, т.е. суммарные затраты надобычу угля превышают его стоимость на рынке.
Внастоящее время отрасль требует внедрения задач оптимизационного типа, вкоторых требуется найти наилучшее или оптимальное решение при заданных условияхпроизводства. Опыт западноевропейских государств, практически завершившихоптимизационный процесс в угольной промышленности, и России, стартовые позициикоторой сходны с Украиной, подтверждает необходимость поддержки и контроля состороны государства при реализации намеченных программ.
Такимобразом, необходимо отметить, что изучение экономических задач оптимизационноготипа относящихся к угольной промышленности является актуальным предметомисследования. Наличие большого количества проблем требует детального ихизучения и разработки направлений по их решению.
1 Оптимизационные методы решенияэкономических задач
Кэкономическим задачам оптимизационного типа относятся задачи, в которыхтребуется найти наилучшее или оптимальное решение при заданных условияхпроизводства. Такие задачи называются задачами на максимум или минимум.Особенностью задач оптимизационного типа является многовариантность их решений,обусловленная следующими причинами: взаимозаменяемостью ресурсов;взаимозаменяемостью готовых видов продукции; существованием альтернативныхтехнологий производства; неодинаковостью технико-экономических показателей дажеоднотипных хозяйственных субъектов.
Возможныдва подхода к постановке оптимизационных задач: при первом подходе требуетсяполучить максимальные конечные результаты при заданных условиях производства;при втором подходе требуется получить заданные конечные результаты приминимальных затратах ресурсов.
Математическийинструментарий, позволяющий решать экономические задачи оптимального типа,называется программированием. Различают линейное и нелинейное программирование.
Напрактике наибольшее распространение получило линейное программирование.
Методылинейного программирования в математике известны под названием общей задачилинейного программирования. Аналитическая формулировка общей задачи линейногопрограммирования. Общая задача линейного программирования формулируетсяследующим образом:
Найтирешение {Х1, Х2,….Хn}, позволяющеемаксимизировать или минимизировать целевую функцию
F= C1X1+C2X2+…+ CnXn
приусловиях
/>
Х1≥0;Х2≥0; …; Хn≥0.
Эторазвернутая запись общей задачи линейного программирования. Сокращенная записьэтой модели имеет вид:
Найтирешение {Xj}, позволяющее максимизировать (минимизировать) функцию
/>
приусловиях
/> , i = 1,2,…,n;
Xj≥ 0, j = 1,2,…,n.
Вышеприведенныезаписи общей задачи линейного программирования называют аналитической формойзаписи.
Любоерешение, удовлетворяющее условиям, называется допустимым решением. Допустимоерешение систем неравенств, удовлетворяющее целевой функции, называетсяоптимальным решением. Такое решение единственно при заданных условиях.
Матричнаяформа записи общей задачи линейного программирования
/>
приограничениях AX≤B
X≥0
гдеС = (с1, с2,…, сn);
/> />
гдеС – матрица-строка
А– матрица системы
Х– матрица-столбец переменных
В– матрица-столбец свободных членов
2 Многокритериальная оптимизация. Методысведения многокритериальной задачи к однокритериальной.
Многокритериальнаяоптимизация представляет собой минимизацию некого вектора целей F(x), накоторой могут быть наложены дополнительные ограничения или предельные значения
Отметим,что поскольку F(x) является неким вектором, то любые компоненты F(x) являюсяконкурирующими и отсутсвует некое единое решение поставленной задачи. Взаменэтого, для описания характеристик целей вводится концепция множества точекнеулучшаемых решений (так называемая оптимальность по Парето).Неухудшаемоерешение есть такое решение, в котором улучшение в одной из целей приводит кнекому ослаблению другой. Для более точной формулировки данной концепциирассмотрим некую область допустимых решений />в параметрическом пространстве />, котороеудовлетворяет всем принятым ограничениям.
Отсюдавозможно определить соответствующую область допустимых решений для пространствацелевых функций />.
/>, где />
приусловии />
Определение.Точка />являетсянеулучшаемым решением, если для некоторой окрестности />нет некого />такого, что />
/>/>
Стратегия взвешенных сумм
Даннаястратегия взвешенных сумм преобразует многокритериальную задачу минимизациивектора />внекую скалярную задачу путем построения неких взвешенных сумм для всехвыбранных объектов.
/>
Далееуже к данной задаче оптимизации уже может быть применен стандартный алгоритмоптимизации без наличия ограничений. В этом случае рассматриваются взвешенныекоэффициенты для каждой из выбранных целей. Взвешенные коэффициентынеобязательно должны напрямую соответствовать относительной значимостисоответствующей цели или принимать во внимание взаимовлияние между конкретновыбранными целями. Более того, границы неулучшаемых решений могут быть и недостигнуты, так что определенные решения являются по существу недостижимыми.
Метод/>-ограничений
Некийопределенный способ, который отчасти позволяет преодолеть проблему выпуклостиметода взвешенных сумм, есть метод />-ограничений. В этом случаеосуществляется минимизация основной цели />и при представлении остальныхцелей в форме ограничений типа неравенств.
/>
привыполнении условия
/>
Подобныйподход позволяет определить некое количество неулучшаемых решений для случаявогнутой границы, что, по существу, является недоступным в методе взвешенныхсумм, например, в точке искомого решения />и />. Однако проблемой данного методаявляется подходящий выбор />, который мог бы гарантироватьдопустимость некого решения.
Метод достижения цели
Описанныйдалее метод представляет собой метод достижения цели Гембики. Данный методвключает в себя выражение для множества намерений разработчика />, которое связано смножеством целей />. Такая формулировка задачидопускает, что цели могут быть или недо- или передостижимыми, и что даетразработчику возможность относительно точно выразить исходные намерения.Относительная степень недо- или передостижимости поставленных намерений контролируетсяпосредством вектора взвешенных коэффициентов />и может быть представлена какстандартная задача оптимизации с помощью следующей формулировки
/>
Приусловии, что
/>
Член/>вносит вданную задачу элемент ослабления, что, иначе говоря, обозначает жесткостьзаданного намерения. Весовой вектор w дает исследователю возможность достаточноточно выразить меру взаимосвязи между двумя целями. Например, установкавесового вектора w как равного исходному намерению указывает на то, чтодостигнут тот же самый процент недо- или передостижимости цели />. Посредством установкив ноль отдельного весового коэффициента (т.е. />) можно внести жесткие ограниченияв поставленную задачу. Метод достижения цели обеспечивает подходящуюинтуитивную интерпретацию поставленной исследовательской задачи и которая, всвою очередь, является вполне разрешимой с помощью стандартных процедуроптимизации.
3 Гладкая оптимизация.
Методмножителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или минимум функции при ограничениях-равенствах.Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум кзадаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функцииЛагранжа. Пусть задана задача НП при ограничениях-равенствах вида
минимизировать/>
приограничениях
/>
Предположим,что все функции />– дифференцируемы. Введемнабор переменных /> (число которых равняетсячислу ограничений), которые называются множителями Лагранжа, и составим функциюЛагранжа такого вида:
/>
Справедливотакое утверждение для того чтобы вектор /> являлся решением задачипри ограничениях необходимо, чтобы существовал такой вектор />, чтопара векторов удовлетворяла бы системе уравнений
/>
/>
множителейЛагранжа, который состоит из следующих шагов.
Составляютфункцию Лагранжа />
Находятчастные производные />
Решаютсистему уравнений
/>
иотыскивают точки />, удовлетворяющие системе.
Найденныеточки /> дальшеисследуют на максимум (или минимум).
Седловаяточка и задача нелинейного программирования
Рассмотримфункцию Лагранжа />
ОпределениеПара векторов /> называетсяседловой точкой функции Лагранжа />, если при всех /> выполняетсяусловие
/>
Неравенствоназывают неравенством для седловой точки. Очевидно, что в седловой точке выполняетсяусловие
/>
Междупонятием седловой точки функции Лагранжа />и решением задачи НПсуществует взаимосвязь, которая устанавливается в следующей теореме.
Теорема. Пусть /> и все /> выпуклыи функции /> удовлетворяют условиюрегулярности Слейтера. Вектор /> является решениемзадачи НП тогда и только тогда, когда существует такой вектор />, что
/>
ТеоремаКуна-Таккера. Пустьфункции />, имеют непрерывные частныепроизводные на некотором открытом множестве />, содержащем точку />. Если /> являетсяточкой минимума функции /> при ограничениях />,удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов />, тосуществуют такие неотрицательные множители Лагранжа />, что
/>
/>
Определимфункцию Лагранжа следующим образом:
/>
Тогдатеорему Куна-Таккера можно записать в виде
/>
/>
/>
Заметим,что множители Лагранжа /> в задаче НП сограничениями-равенствами являются знаконеопределенными, тогда как в теоремеКуна-Таккера они должны быть положительными.
Каждойзадаче линейного программирования соответствует двойственная задача. Двойственнаязадача по отношению к исходной задаче строится по следующим правилам:
· Если исходнаязадача ставится на максимум, то двойственная ставится на минимум и наоборот.
· Коэффициентыцелевой функции исходной задачи становятся правыми частями ограниченийдвойственной задачи. Правые части ограничений исходной задачи становятсякоэффициентами целевой функции двойственной задачи.
· Если A-матрицакоэффициентов исходной задачи, то транспонированная матрица T A будет матрицейкоэффициентов двойственной задачи.
· В задаче намаксимум все ограничения имеют знак ≤ (=), а в задаче на минимум всеограничения имеют знак ≥ .
· Число переменныхв двойственной задаче равно числу ограничений в исходной задаче. Каждомуограничению исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи. Еслиограничение исходной задач имеет знак (≥ ), то соответствующая переменнаядвойственной задачи неотрицательна. Если ограничение имеет знак (=), тосоответствующая переменная двойственной задачи может принимать положительные иотрицательные значения и наоборот.
4 Выпуклая оптимизация. Условие выпуклости
Основнаязадача выпуклого программирования
Пустьзадано выпуклое и замкнутое множество />. Рассмотрим множество
/>={/>}, />=(/>,…,/>), />Î/>.
где/> (/>) — вогнутые(выпуклые вверх) непрерывные на /> скалярные функции. В теорииматематического программирования каждый элемент />Î/>принято называть допустимымпланом, а само множество /> — множеством допустимых планов.
Формальнаяпостановка задачи выпуклого программирования
Задачу
/>,
где/> выпукла, а /> определяетсявышеприведенными условиями, называется основной задачей выпуклогопрограммирования.
0означает, что ставится задача:
Еслисуществует минимальное значение функции /> на множестве />, то среди всехдопустимых планов найти оптимальный план />, для которого
/>=/>=/>
приэтом число /> называютзначением задачи.
Еслиоптимального плана не существует, то требуется
· либо найтизначение задачи как точную нижнюю грань значений функции /> на множестве />:
/>=/>
· либо убедиться,что /> неограниченаснизу на множестве />;
· либо убедиться втом, что множество допустимых планов /> пусто.
Длярешения предложенной оптимизационной задачи следует выполнить следующиедействия:
· Определитьмножество />.
· Определитьвектор-функцию />=(/>,…,/>) и вектор />Î/>.
· Определитьмножество допустимых планов />={/>}.
· Привести задачу кстандартной форме основной задачи выпуклого программирования и определитьоптимизируемую функцию />.
· Проверить, является ли полученнаяоптимизационная задача ЗВП, для этого
· проверить навыпуклость множество />;
· проверить навыпуклость функцию />.
Вслучае успеха п.
· Построить функциюЛагранжа полученной ЗВП.
· С помощьюдифференциальных условий Куна-Таккера найти седловые точки построенной функцииЛагранжа.
Вслучае неудачи п. попытаться найти другие методы решения задачи.
Методысубградиентной оптимизации. Эти итеративные процедуры формируют последовательность векторов {lk}.
Фундаментальныйтеоретический результат заключается в том, что
/>.
Размершага на практике обычно выбирают, следуя ,
/>
гдеqk — скаляр, 0 < qk/>2 и z* — верхняя граница для n(D).Обычно z* получают эвристикой для P. В методе ветвей и границ z* — текущийрекорд. Последовательность qk, как правило, начинается с q 0=2и затем qk делится пополам, через фиксированное число итераций,зависящее от размерности задачи.
5 Экономико-математическая модельреструктуризации угольной промышленности. Критерий оптимизационной задачи
Всвязи с резким сокращением объемов капитальных вложений со стороны государствав угольную промышленность и отработкой запасов угля на шахтах, для выхода изкризисного состояния угольной промышленности, проводится ее оптимизация. Какизвестно, в результате ликвидации горных предприятий возникает ряд проблем,среди них наиболее острые социально-экономические. Эти проблемы необходиморешать путем усовершенствования нормативно-технической документации попроведению реструктуризации угольной промышленности Украины.
Однимиз разрабатываемых вариантов совершенствования нормативной документации исоздания на ее основе обобщенного руководства по оптимизации угольнойпромышленности, является создание экономико-математической модели ликвидациигорного предприятия. По результатам решения оптимизационной задачи, описаннойданной моделью, будут сделаны конкретные предложения по совершенствованиюсуществующей нормативной базы реструктуризации.
Даннаямодель представляет собой задачу линейного программирования, в которой будетопределено количество необходимых бюджетных затрат для осуществлениямероприятий по ликвидации горных предприятий по различным направлениям.
Полученнаямодель основана на одной из существующих математических моделей на уровнеотраслей промышленности. Эта модель — «Модель распределения капитальныхвложений на переходящие и вновь начинаемые объекты строительства». Прииспользовании этой модели можно получить значения капитальных вложений по годампланового периода для переходящих и вновь начинаемых объектов строительства. Вданном случае решается задача оптимального распределения лимита капитальныхвложений по объектам строительства таким образом, чтобы повысить экономическуюэффективность плана капитального строительства и вовремя ввести необходимыемощности.
Проанализироваввышеназванную модель, в качестве критерия оптимизации в разрабатываемой моделиреструктуризации угольной промышленности была принята экономическаяэффективность ликвидации горного предприятия.
Постановкаоптимизационной задачи в нашем случае делается на основе следующих условий:
1)При ликвидации шахты возникают различные затраты, осуществляемые за счетгосударственного финансирования, их можно укрупнено разделить по несколькимнаправлениям;
2)Отчетность о проведении работ по ликвидации предприятийкомпания«Укруглереструктуризация» предоставляет за определенные периодывремени, следовательно, финансирование осуществляется через равномерные периодывремени;
3)За счет того, что убыточная шахта перестает работать, возникает экономиябюджетных средств, направленных на поддержание шахт погашение их убытков путемвыплат дотаций;
4)Расходы по различным направлениям ликвидации шахт проектируются на основаниисметной стоимости производства определенных работ по закрытию шахт; эта сметнаястоимость рассчитывается по существующим нормативным документам;
5)Необходимо учесть, что бюджетное финансирование лимитировано в каждом периоде;
6)Затраты по каждому направлению ликвидации горного предприятия недолжныпревышать суммарную сметную стоимость;
7)Отдельно необходимо учесть обеспечение социальной защиты, высвобождаемыхработников.
Целеваяфункция полученной математической модели с учетом критерии экономическойэффективности ликвидации горного предприятия сформулирована следующим образом:
F=ΣΣ(1+E)t-1Qi→max
гдеi — направление ликвидационных затрат;
t- период осуществления затрат;
xi — затраты на ликвидацию;
Pu-экономия в результате ликвидации шахт за счет отсутствия дотаций на покрытиеубытков;
(1+E)t-1 — коэффициент дисконтирования полученной экономии к моменту возникновениязатрат;
Qi — суммарная сметная стоимость проведения работ по закрытию шахты поопределенному направлению.
Таккак модель находится в процессе разработки, то ограничения в задаче ещеокончательно не сформулированы. Хотя уже на данный момент принято, что средиограничений будут лимит бюджетного финансирования (Ki) и сметнаястоимость:
ΣXu≤Ki
ΣXu≤Qi
Решениеоптимизационной задачи по полученной модели реструктуризации угольнойпромышленности покажет, сколько по какому направлению ликвидации горногопредприятия необходимо средств и как их распределить. Предполагается, чтонаибольший вес, в качестве ограничений, внесут затраты на социальные нужды. Ониже будут вступать в противоречие с целевой функцией задачи (сокращение затратна ликвидацию предприятий не должно проводиться за счет социальнойсферы).Компромисс будет найден путем изменения величины суммарной сметнойстоимости.
Заключение
Угольнаяпромышленность занимает важное место в народнохозяйственном комплексе Украины.Она обеспечивает национальную безопасность в топливной сфере, предоставляетсырье для металлургической и химической промышленности, электроэнергетики.
Натерритории Украины выделяют три основных угольных бассейна: Донецкийкаменноугольный бассейн, Львовско-Волынский каменноугольный бассейнПриднепровский буроугольный бассейн. Однако основным местом добычи можносчитать Донбасс.
Проблемыразвития угольной промышленности Украины, и, в частности, Донбасса являютсяобщегосударственными и меры по их решению должны определяться Национальнойгосударственной программой. В процессе реализации которой в Донбассе долженослабится демографический и экологический пресс.
Оценкамирового опыта процесса реструктуризации угольной промышленности показала, чтоэто сложный экономический процесс и он был необходим. В Украине при егопроведении было допущено много негативных явлений: он сводился в основном кзакрытию шахт и не всегда научно обосновано; отсутствовали средства дляпроведения внутренней реструктуризации на действующих шахтах. Поэтому, дляпридания реструктуризации системного характера, необходимо внести дополнения кУказу Президента Украины «О разработке Энергетической стратегии Украины напериод до 2030 г. и на дальнейшую перспективу», в которых бы определиласьнеобходимость разработки в рамках Стратегии отдельной программыреструктуризации угольной промышленности.
Увеличениестоимости ликвидации шахт в настоящее время по сравнению с 70—80-ми годами вопределенной мере объясняется некоторым изменением Правил безопасности,соответствующих инструкций к ним и другими нормативными документами. Однакомногие виды работ, закладываемые в проекты, по нашему мнению, не обязательны.Сопоставление показывает, что средние расходы на ликвидацию представительнойшахты составляют примерно 80 млн. грн., тогда как в прошлые годы они были 10млн. грн. Даже с учетом принятия ужесточенных требований действующихнормативных документов затраты на ликвидацию одной шахты можно снизить внесколько раз.
Приреформировании, прогнозировании развития топливно-энергетического комплексастраны следует учитывать мировые тенденции разработки и примененияпринципиально новых технологий, радикально повышающих эффективность извлечения,переработки и использования угля, а также производства из добытого угляоблагороженного, экологически чистого топлива, промышленного использованияшахтного метана.
Необходиморазрабатывать на государственном уровне комплексные долгосрочные программы поэнерготехнологиям, предусматривающим совместное научно-техническое иорганизационно-финансовое разрешение проблем угольной промышленности иэнергетики.
ИнтеграцияУкраины в ЕС потребует проведения радикальных мер по повышениюконкурентоспособности отечественной угольной промышленности путем ускорения еереструктуризации, технической модернизации и финансового оздоровления.Необходимо временно существенно увеличить бюджетное финансирование отрасли,чтобы на пороге вступления в ЕС она могла нормально функционировать, вдальнейшем уменьшая свою финансовую зависимость от госбюджета. Было бынежелательно, чтобы, интегрируясь в ЕС, Украина была вынуждена отказаться отнамеченного наращивания и тем более пойти на уменьшение объемов производстваугольной продукции, так как это создало бы определенные угрозы для ееэнергетической безопасности.
Такимобразом, представляется целесообразным разработать, и утвердить Министерствомтоплива и энергетики или Кабинетом Министров Украины ряд пормативно-правовыхдокументов, в которых изложенные вопросы нашли бы свое решение. Оптимизационные методы и ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКиеМОДЕЛи РЕСТРУКТУРИЗАЦИИ УГОЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Литература
1. Дорохов В. А., Шевцов Н. Р., Фам Ван Лам. Современное состояниесзакрытием шахт в угольной отрасли Украины /Сборник трудов кафедры СШ иПС,ДонНТУ — Донецк, 2001
2. Шевцов Н. Р. Современное состояние и перспективы развитияпроблемызакрытия шахт /Сборник трудов кафедры СШ и ПС, ДонНТУ — Донецк, 2001
3. Крушевский А. В. Справочник по экономико-математическим моделямиметодам. – Киев: Техника,1982. – 208с.
4. Агафонов Г.В., Орехова Л.Н., Санеев Б.Г., Соколов А.Д. Методы имодели оптимизации развития систем угольной промышленности //Беляев Л.С.,Воропай Н.И., Кононов Ю.Д. и др. Методы исследования и управления системами энергетики/Под ред. Меренкова А.П. и Руденко Ю.Н. — Новосибирск, Наука, 1987, — 476c.
5. Агафонов Г.В., Орехова Л.Н., Попов С.П., Соколов А.Д.Автоматизированное рабочее место исследователя перспектив развития угольныхбассейнов // Технология программирования 90-х: Тез.докл. междунар.конференции-ярмарки. — Киев, 1991. — С. 140-141.