Реферат: Регрессионный анализ. Транспортная задача

Регрессионныйанализ

Задача

Некоторая фирмазанимается поставками различных грузов на короткие расстояния внутри города.Необходимо оценить стоимость таких услуг, зависящую от затрачиваемого напоставку времени. В качестве наиболее важного фактора, влияющего на времядоставки, выбрано пройденное расстояние. Были собраны исходные данные о десятипоставках (табл.).

Расстояние, км 3,5 2,4 4,9 4,2 3,0 1,3 1,0 3,0 1,5 4,1 Время, мин 16 13 19 18 12 11 8 14 9 16

Постройте график исходныхданных, определите по нему характер зависимости между расстоянием и потраченнымвременем, постройте уравнение регрессии, проанализируйте силу регрессионнойсвязи и сделайте прогноз поездки на 2 км.

Решение

Для расчёта стоимостиуслуг, зависящих от затрачиваемого на поставку времени, вычислим суммы (рис. 1):

t y(t)

/>расстояние.

/>время

1 3,50 16,00 12,25 56,00 256,00 15,22 2,63 2 2,40 13,00 5,76 31,20 169,00 12,30 1,70 3 4,90 19,00 24,01 93,10 361,00 18,95 28,58 4 4,20 18,00 17,64 75,60 324,00 17,08 12,14 5 3,00 12,00 9,00 36,00 144,00 13,89 0,09 6 1,30 11,00 1,69 14,30 121,00 9,37 17,88 7 1,00 8,00 1,00 8,00 64,00 8,57 25,27 8 3,00 14,00 9,00 42,00 196,00 13,89 0,09 9 1,50 9,00 2,25 13,50 81,00 9,90 13,67 10 4,10 16,00 16,81 65,60 256,00 16,82 10,36 сумма

/>/>28,9

/>/>136,0

/>/>/>99,4

/>/>/>435,3

/>/>1 972,0

/>/>136,0

/>112,4

13,60 a1 = 2,66 a0 = 5,91 r2 = 0,92 91,83% 8,17

Рис .1 — График исходныхданных

Вывод: существует сильнаясвязь между исходными данными.

Задача

В таблице приведеныданные по объемам собранного урожая овощей из тепличного хозяйства за последнийгод (по месяцам), а также данные о затраченной электроэнергии, воде иудобрениях.

Месяц Объем собранного урожая Факторы, влияющие на урожай Электроэнергия, кВт Удобрения, тонн Вода, литр

январь 140 165 138 134 февраль 138 164 139 128 март 158 158 157 168 апрель 144 159 142 147 май 142 148 144 146 июнь 134 152 136 140 июль 122 143 122,5 132 август 125 146 128 135 сентябрь 124 148 119 125 октябрь 138 150 142 126 ноябрь 157 156 159 143 декабрь 161 160 164 150

Необходимо определитьстепеньвлияния каждого отдельного фактора на результат (объем урожая). Для этогонеобходимо построить графики исходных данных, построить уравнения регрессии,проанализировать силу регрессионной связи (по коэффициенту детерминации) исделать прогноз урожая по двум-трем значениям (в пределах прогноза исходныхданных).

Решение

Строим графики исходныхданных (рис. 2, 3):

Рис. 2 — Графикзависимости урожая от удобрения

Рис. 3 — Графикзависимости урожая от воды

Численные коэффициентыфункции регрессии для первой зависимости:

Численные коэффициентыфункции регрессии

X1i

X1i²

X1iYi

Yi²

Yip

(Yip-y)²

(Yi-y)²

165 140 27225 23100 19600 152,5778 151,9747 0,0625 164 138 26896 22632 19044 151,4485 125,4073 5,0625 158 158 24964 24964 24964 144,673 19,56251 315,0625 159 144 25281 22896 20736 145,8022 30,82711 14,0625 148 142 21904 21016 20164 133,3803 47,19267 3,0625 152 134 23104 20368 17956 137,8974 5,534888 39,0625 143 122 20449 17446 14884 127,734 156,6506 333,0625 146 125 21316 18250 15625 131,1218 83,32442 232,5625 148 124 21904 18352 15376 133,3803 47,19267 264,0625 150 138 22500 20700 19044 135,6388 21,26283 5,0625 156 157 24336 24492 24649 142,4144 4,684729 280,5625 160 161 25600 25760 25921 146,9315 44,64219 430,5625 1849 1683 285479 259976 237963 738,2566 1922,25 Среднее значение 140,25

Коэффициент детерминации r2=0,384059.

Коэффициент детерминациинизкий поэтому модель не адекватна.

Численные коэффициентыфункции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициентыфункции регрессии

X2i

X2i²

X2iYi

Yi²

Yip

(Yip-y)²

(Yi-y)²

138 140 19044 19320 19600 137,5802 7,127725 0,0625 139 138 19321 19182 19044 138,5088 3,031641 5,0625 157 158 24649 24806 24964 155,224 224,2202 315,0625 142 144 20164 20448 20736 141,2947 1,091391 14,0625 144 142 20736 20448 20164 143,1519 8,421225 3,0625 136 134 18496 18224 17956 135,723 20,49389 39,0625 122,5 122 15006,25 14945 14884 123,1866 291,1588 333,0625 128 125 16384 16000 15625 128,294 142,9452 232,5625 119 124 14161 14756 15376 119,9365 412,64 264,0625 142 138 20164 19596 19044 141,2947 1,091391 5,0625 159 157 25281 24963 24649 157,0812 283,29 280,5625 164 161 26896 26404 25921 161,7243 461,1463 430,5625 1690,5 1683 240302,3 239092 237963 1856,658 1922,25 Среднее значение 140,25

Коэффициенты регрессии —сдвиг а0и наклон а1прямой у:

a0= 9,430782 a1= 0,928619

Коэффициент детерминации r2=0,965877.

Коэффициент детерминациивысокий, поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Прогноз на три шагавперед y13=120.9, y14=154.3, y15=142.2.

Численные коэффициентыфункции регрессии для первой зависимости, представляем расчеты виде таблицы:

Численные коэффициентыфункции регрессии

X3i

X3i²

X3iYi

Yi²

Yip

(Yip-y)²

(Yi-y)²

134 140 17956 18760 19600 135,8979 18,94079 0,0625 128 138 16384 17664 19044 131,1502 82,80727 5,0625 168 158 28224 26544 24964 162,8018 508,5838 315,0625 147 144 21609 21168 20736 146,1847 35,22048 14,0625 146 142 21316 20732 20164 145,3934 26,4545 3,0625 140 134 19600 18760 17956 140,6456 0,156535 39,0625 132 122 17424 16104 14884 134,3153 35,22048 333,0625 135 125 18225 16875 15625 136,6892 12,67937 232,5625 125 124 15625 15500 15376 128,7763 131,6463 264,0625 126 138 15876 17388 19044 129,5676 114,1144 5,0625 143 157 20449 22451 24649 143,0195 7,670238 280,5625 150 161 22500 24150 25921 148,5586 69,03215 430,5625 1674 1683 235188 236096 237963 1042,526 1922,25 Среднее значение 140,25

Коэффициенты регрессии —сдвиг а0и наклон а1прямой у:

a0= 29,86486 a1= 0,791291

Коэффициент детерминации r2=0,542347.

Коэффициент детерминациинизкий, поэтому модель не адекватна.

Задача

Санаторный комплексежегодно заключает с пекарней договор на выпечку хлеба сорта С1.Чтобы полностью использовать свои производственные мощности пекарня такжевыпекает хлеб сорта С2, который пускает в свободную продажу. Втаблице приведены данные выпуска хлеба (тыс. шт.) пекарней за последний год

Месяц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

С1

1 2,3 1,5 0,5 4 5 2 3,5 1 4,5 2,5 1,5

С2

9 6,5 8,1 8,7 4 0,2 7,6 5 8,7 2 7 8,4

Проанализируйте графикисходных данных и постройте регрессионную модель функции производственныхвозможностей пекарни. Проверьте удовлетворительность модели и сделайте прогнозвыпуска хлеба С2, если санаторный комплекс сделает заказ хлеба С13 тысячи булок.

Решение

Рис. 4 — График исходныхданных

Суммы, необходимые для расчетакоэффициентов линейной регрессии и коэффициента детерминации вычислим с помощьютаблицы, учитывая данные зависимости объема собранного урожая от количестваэлектроэнергии.

x y

(yp-ycp)2

(y-ycp)2

1 9 1 9 8.981453 7.370065 7.471111 2.3 6.5 5.29 14.95 6.533438 0.071167 0.054444 1.5 8.1 2.25 12.15 8.039909 3.144387 3.361111 0.5 8.7 0.25 4.35 9.922997 13.36875 5.921111 4 4 16 16 3.332187 8.611173 5.137778 5 0.2 25 1 1.449098 23.20897 36.80444 2 7.6 4 15.2 7.098364 0.691721 1.777778 3.5 5 12.25 17.5 4.273731 3.971792 1.604444 1 8.7 1 8.7 8.981453 7.370065 5.921111 4.5 2 20.25 9 2.390642 15.02356 18.20444 2.5 7 6.25 17.5 6.15682 0.012066 0.537778 1.5 8.4 2.25 12.6 8.039909 3.144387 4.551111 å=29.3 å=75.2 å=95.79 å=137.95 å=85.98811 å=91.34667

Находим коэффициентырегрессии — сдвиг а0и наклон а1прямой у:

a0= 10,86454 a1= -1,88309

Коэффициент детерминации r2=0,941338.

Коэффициент детерминациивысокий поэтому модель адекватна и можно делать прогноз.

Если санаторный комплекссделает заказ хлеба С1 3 тысячи булок, то прогноз С2 =-1,88309*3000+10,86454=5215,7.

Транспортная задача

Задача

Заводы некоторойавтомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центрыраспределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производствауказанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально.

Величины квартальногоспроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилейсоответственно.

Стоимости перевозкиавтомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены втаблице

Стоимость перевозкиавтомобилей, руб./шт.

D E А 80 215 В 100 108 С 102 68

Постройте математическуюмодель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждогозавода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортныерасходы были минимальны.

Задаем целевую функцию иограничения с помощью «Поиска решений»:

/>;

Получаем:

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт D Е

Издержки А 80 215 1000 В 100 108 1300 С 102 68 1200 Спрос 2300 1400 291600 Продукция D Е Сумма А 1000 1000 В 1300 1300 С 1200 1200 Y 200 200 Сумма 2300 1400

Задача

Постройтетранспортную модель для исходных данных задачи 2.1 при условии, что квартальныйспрос в пункте распределения D упалдо 1900 автомобилей, а выпуск на заводе В увеличился до 1500 автомобилей заквартал.

Решение

Задаем целевую функцию иограничения с помощью «Поиска решений»:

/>;

Получаем:

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт

D Е F

Издержки А 80 215 1000 В 100 108 1500 С 102 68 1200 Спрос 1900 1400 400 273200 Продукция D Е F Сумма А 1000 1000 В 900 200 400 1500 С 1200 1200 Сумма 1900 1400 400

Задача

Триэлектрогенерирующие станции мощностью 25, 40 и 30 миллионов кВт×ч поставляют электроэнергию в тригорода. Максимальная потребность в электроэнергии этих городов оценивается в30, 35 и 24 миллионов кВт×ч. Цены за миллион кВт-ч в данных городах приведены в табл. 4.4.

Стоимостьза электроэнергию, руб. /млн. кВтч

Города

Станция

600 700 400

320 300 350

500 480 450

Вавгусте на 20% возрастает потребность в электроэнергии в каждом из трехгородов. Недостаток электроэнергии могут восполнить из другой электросети поцене 1000 за 1 миллион кВт-ч. Но третий город не может подключиться к альтернативнойэлектросети. Электрогенерирующие станции планируют разработать наиболееэкономичный план распределения электроэнергии и восполнения ее недостатка вавгусте. Сформулируйте эту задачу в виде транспортной модели.

Решение

Задаем целевую функцию иограничения с помощью «Поиска решений»:

/>;

Получаем:

Стоимость за электроэнергию, руб. /млн. кВтч Города Издержки 1 2 3 Мощность Станция 1 600 700 400 25 2 320 300 350 40 3 500 480 450 30 4 1000 1000 10000 12 Потребление 36 42 29 48570 Города 1 2 3 Сумма Станция 1 25 25 2 24 16 40 3 26 4 30 4 12 12 Сумма 36 42 29

Задача

Найти тремя методамиопорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции,тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

Решение

Проверкасбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равенсуммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк непотребуется

Результаты нахожденияопорного плана различными методами представлены в табл.

Транспортная таблица сопорным планом северо-западного угла

Пункты

отправления, />

Пункты потребления, />

Запасы, ед. продукции

125

1 2 210/85/0

130

170/165/35/0

9 2 3

65/0

Потребность,

ед. продукции

125/0 90/5/0 130/0 100/65/0

Опорный план />,найденный методом северо-западного угла

/> [ед.товара]

Соответствующая ЦФ (общиезатраты на перевозку)

/> [руб.].

Транспортная таблица сопорным планом минимального элемента

Пункты

отправления, />

Пункты потребления, />

Запасы, ед. продукции

130

210/80/45/0

125

4 9 170/45/0

9 2 3

65/0

Потребность,

ед. продукции

125/0 90/45/0 130/0 100/35/0

Опорный план />,найденный методом минимального элемента

/> [ед.товара]

/> [руб.]

Транспортная таблица сопорным планом Фогеля

Штрафы строк,/>

5 8

110

100

210/110/0 1 1 1

125

9 170/45/25/0 2 1 1 1

3 1 65/0 1 1 – –

125/0 90/25/0 130/20/0 100/0

Штрафы столбцов,/>

3 2 1 –

2 1 – 3 3

– 3 3 –

На первом шаге нахожденияопорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значениймаксимальных штрафов транспортной матрицы

Минимальные тарифы в этихстолбцах также совпадают

/>.

Поэтому необходимосравнить суммарные штрафы /> клеток (2,1) и (3,2)

/>;

/>.

Т.к. />, товыбираем на первом шаге для заполнения клетку (2,1).

Опорный план />

/> [ед.товара], /> [руб.]

Задача

Найтитремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 160,140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200, 110ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

Решение

Суммарный объем запасовравен суммарному объему потребностей

/> <td/> />

Транспортная таблица сопорным планом северо-западного угла

Пункты отправления, />

Пункты потребления, />

Запасы, ед. продукции

120

1 2 160/40/0

130

8 140/130/0

9 2

100

170/100/0 фиктивный склад

10/0

Потребность,

ед. продукции

120/0 50/10/0 200/70/0 110/10/0

Опорный план />, найденныйметодом северо-западного угла [ед.товара].

Соответствующая ЦФ (общиезатраты на перевозку)

Транспортная таблица сопорным планом минимального элемента

Пункты отправления, />

Пункты потребления, />

Запасы, ед. продукции

7 8

160

2 160/0

110

5 9

140/30/0

170/120/80/0 фиктивный склад

10/0

Потребность,

ед. продукции

120/110/0 50/0 200/40/0 110/30/0

Опорный план />, найденныйметодом минимального элемента

Транспортная таблица сопорным планом Фогеля

Штрафы строк,/>

7 8

110

160/50/0 1 1 6

110

9 8 140/110/0 1 1 1 1 1 1

150

6 170/20/0 1 1 1 1

фикт.

10/0 - - -

120/110/0 50/30/0 200/150/0 110/0

Штрафы столбцов,/>

2 1 2 3 3 2

3 3 2

5 3

– 5 3

- 4

Опорный план />, найденныйметодом Фогеля [ед.товара],

Задача

Некотораяфирма производит автомобили четырех различных марок М1, М2,М3, М4. Завод в городе А производиттолько автомобили марок М3, M4, в городе В – только автомобили марок М1,М2, M4, а вгороде С – только автомобили марок М1, М2.Ежеквартальные объемы выпуска каждого завода и величины спроса в каждом пунктераспределения приведены в таблице 1.3.Постройте соответствующую модельэкономичных перевозок и определите целевую функцию по двум вариантам:

•каждому виду продукции должна соответствовать одна транспортная матрица;

• всевиды продукции представлены в одной общей матрице с использованием запрещающихтарифов в клетках, связывающих разные виды продукции.

Объемыпроизводства заводов и спроса пунктов распределения автомобилей, шт/квартал

Марка автомобиля

Заводы А —

—

700 300 В 500 600 — 400 С 800 400 — — Пункты распределения D 700 500 500 600 Е 600 500 200 100

Стоимостьперевозки автомобилей, руб./шт

D Е А 80 215 В 100 108 С 102 68

Решение:

Составляем для каждоговида продукции транспортную матрицу:

Транспортная матрица дляпервого вида продукции:

D Е Объем А В 100 108 500 С 102 68 800 Спрос 700 600 издержки 111200 D Е Сумма А В 500 500 С 200 600 800 Сумма 700 600

Транспортная матрица длявторого вида продукции:

D Е Объем А В 100 108 600 С 102 68 400 Спрос 500 500 издержки 88000 D Е Сумма А В 500 100 600 С 400 400 Сумма 500 500

Транспортная матрица длятретьего вида продукции:

D Е Объем А 80 215 700 В С Спрос 500 200 издержки 83000 D Е Сумма А 500 200 700 В С Сумма 500 200

Транспортная матрица длячетвертого вида продукции:

D Е Объем А 80 215 300 В 100 108 400 С Спрос 600 100 издержки 64800 D Е Сумма А 300 300 В 300 100 400 С Сумма 600 100

Целевая функция равна сумме издержек по каждому видупродукции 347000.

Объединяем все видыпродукции в одной общей матрице и с помощью «Поиска решений» находимоптимальный план и целевую функцию:

D1 E1 D2 E2 D3 E3 D4 E4 производство A3 10000 10000 10000 10000 80 215 10000 10000 700 A4 10000 10000 10000 10000 10000 10000 80 215 300 B1 100 108 10000 10000 10000 10000 10000 10000 500 B2 10000 10000 100 108 10000 10000 10000 10000 600 B4 10000 10000 10000 10000 10000 10000 100 108 400 C1 102 68 10000 10000 10000 10000 10000 10000 800 C2 10000 10000 102 68 10000 10000 10000 10000 400 спрос 700 600 500 500 500 200 600 100

347000

D1 E1 D2 E2 D3 E3 D4 E4

A3 500 200 700

A4 300 300

B1 500 500

B2 500 100 600

B4 300 100 400

C1 200 600 800

C2 400 400

700 600 500 500 500 200 600 100

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Задача о назначениях

Задача

а). Строительной компании «Спецстройкурнож»необходимо выполнить бетонные работы на 4 строящихся объектах. В фирме имеется4 бригады бетонщиков, которые могут выполнить эту работу. Бригадиры каждойбригады побывали на объектах, оценили объемы работ и рассчитали сроки, закоторые они могут выполнить работы.

Бригада Объект 1 2 3 4 №1 30 40 50 60 №2 36 41 52 58 №3 28 44 49 57 №4 35 39 49 63

Перед руководством фирмыстоит задача распределения бригад по объектам таким образом, чтобы суммарныйсрок выполнения всех работ был минимальным. Поскольку количества бригад иобъектов одинаковы, следовательно, имеем сбалансированную задачу оназначениях.

Решение

С помощью «Поискарешения» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный сроквыполнения всех работ был минимальным.

Бригада Объект 1 2 3 4 №1 30 40 50 60 №2 36 41 52 58 №3 28 44 49 57 №4 35 39 49 63

целевая функция

175

Бригада Объект 1 2 3 4 №1 1 №2 1 №3 1 №4 1 ∑ 1 1 1 1

б).Несбалансированная задача. Пока руководство фирмы «Спецстройизбкурнож»решало, какую бригаду бетонщиков послать на какой объект, освободилась от работна предыдущем объекте еще одна бригада и выразила готовность также подключитьсяк работе на одном из четырех объектов. Бригадир этой бригады оценил работы накаждом объекте и подсчитал, что работы на первом объекте его бригада выполнитза 29 рабочих дней, на втором объекте за 40 дней, на третьем объекте за 48 днейи на четвертом – за 59 дней

Решение

С помощью «Поискарешений» распределяем бригады по объектам таким образом, чтобы суммарный сроквыполнения всех работ был минимальным.

Бригада Объект 1 2 3 4 №1 30 40 50 60 №2 36 41 52 58 №3 28 44 49 57 №4 35 39 49 63 №5 29 40 48 59

цел. функция

173

Бригада Объект 1 2 3 4 №1 №2 1 №3 1 №4 1 №5 1 ∑ 1 1 1 1

Общаяраспределительная задача линейного программирования

Задача

На фабрикеэксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре видатканей. Известны следующие данные о производственном процессе:

производительностистанков по каждому виду ткани, м/ч

/>;

себестоимость тканей,руб./м

/>;

фонды рабочего временистанков (/>):90, 220, 180 ч;

планируемый объем выпускатканей (/>):1200, 900, 1800, 840 м.

Требуется распределитьвыпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производстваткани.

Решение

1.1

1 1 1 1

0,5 0,5 0,5 0,5

0,33333 0,33333 0,33333 0,3333

1.2

90 1 90

220 * 0,5 = 110

180 0,33333 60

1.3

24 30 18 42

12 15 9 21

8 10 6 14

1200 900 1800 840

bj' 50 30 100 20

b(фиктив)' 60

1.4

2 1 3 1

cij

3 2 4 1 * 24 30 18 42

6 3 5 2

48 30 54 42

= 72 60 72 42

144 90 90 84

90 50

110 30

60 100

260 20

260

48 30 54 42 90

72 60 72 42 110

144 90 90 84 60

50 30 100 20 60

50 30 10

90 20 Поиск оптимального решения

4. 50 30 10 1

xij

90 20 / 0,5 = 60 0,3333 50 30 10 = 180 40 180 5. 50 30 10 24 30 18 42 180 40 * 12 15 9 21 180 8 10 6 14 1200 900 180 2 1 3 1 1620 840 * 3 2 4 1 6 3 5 2 2400 900 540 6480 840 L(x)= 11160 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

Задача

Некотораяфирма содержит три магазина, которым еженедельно следует доставлять товар:первому магазину – 1050 кг сыра, второму – 600 мешков муки, третьему – 2400упаковок сока. Товары доставляются грузовыми машинами четырех транспортныхпредприятий. Количество машин на этих предприятиях составляет 65, 40, 45 и 20машин. Все машины имеют различную грузоподъемность [ед. тов. / маш.], взависимости от типа машины и типа перевозимого груза

Стоимостииспользования машин [руб. / маш.] в зависимости от дальности перевозки иемкости машины равны

/>.

Организуйте экономичнуюперевозку товаров (при решении используйте метод северо-западного угла).

Решение:

Этапы решения распределительной задачи: 1.1 0,2 0,2 0,2

0,1 0,1 0,1 1 1 1 0,5 0,5 0,5 1.2 65 0,2 13 40 * 0,1 = 4 45 1 45 20 0,5 10 1.3 10 6 12

5 3 6 50 30 60 25 15 30 1050 600 2400

21 20 40 a фикт 9 1.4 30 24 24 1500 720 1440

cij

10 9 6 * 50 30 60 = 500 270 360 250 210 240 12500 6300 14400 100 75 90 5000 2250 5400 2.

13 21 4 20 45 40 10 81 9 81 3. 1500 720 1440 13 500 270 360 4 12500 6300 14400 45 5000 2250 5400 10 9 21 20 40 13 4 4 20 21 Поиск оптимального решения 10 9 4. 13 0,2 65 4 0,1 40

xij

4 20 21 / 1 = 4 20 21 10 0,5 20 9 5. 65 10 6 12 650 40 5 3 6 200 4 20 21 * 50 30 60 = 200 600 1260 20 25 15 30 600 650 30 24 24 19500 200 10 9 6 2000 200 600 1260 * 250 210 240 = 50000 1E+05 3E+05 600 100 75 90 54000 L(x)= 553900

Моделиуправления запасами

Задача

Объемпродажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах.Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одногопакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при6-дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения в годсоставляют 40 коп. за один пакет. Необходимо определить: сколько пакетов должензаказывать владелец магазина для одной поставки; частоту заказов; точку заказа.Магазин работает 300 дней в году.

Постройтеграфик затрат Q [10; 200] с учетом затрат владельцамагазина на закупку пакетов супа у поставщика. Графически определите наиболеевыгодный объем заказа.

Решение

Пусть Q - размерзаказа; T=300- продолжительность периода планирования; D=500- величина спроса за период планирования; К=10 -издержки одногозаказа (стоимость доставки); /> — удельные издержкихранения за период; с=2— цена продукта. Тогда:

Издержкизаказа за период планирования:/>;

Издержкихранения за период планирования: />;

Издержкина закупку товара: />.

При этомсовокупные издержки: />.

Формуласовокупных издержек:

/>.

Длянахождения наименьшего значения функции С найдем ее производную и прировняем еек нулю.

Отсюдаполучаем: />.

Оптимальное числозаказов:

/>.

Число дней междузаказами:

/>дней.

Так какдлина интервала между поставками равна 100 дней, а время доставки – 12 дней, тозаказ нужно возобновить, когда уровень запаса достаточен для удовлетворенияпотребностей на 12 рабочих дней.

Так какежедневная потребность равна 500/300=1,67 упаковок супа в день, то заказыдолжны делаться регулярно при достижении уровня запаса /> пачексупа.

Графикзатрат Q [10; 200] с учетом затрат владельцамагазина на закупку пакетов супа у поставщика (рис. 5):

/>/>

С, руб.

Q, шт.

Рис. 5

Оптимальныйразмер заказа (точка пересечения графиков издержек заказа и издержек хранения)приблизительно равен 158 пакетов супа.

Величинаобщих годовых издержек составит примерно 1060 руб.

Задача

Нанекотором станке производятся детали в количестве 2000 штук в месяц. Эти деталииспользуются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 500шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 50коп. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб.,а стоимость на подготовку производства составляет 1000 руб. Каким должен бытьразмер партии деталей, производимой на первом станке, с какой частотой следуетзапускать производство этих партий?

Решение

Для начала определяемсколько производит первый и второй станки за год деталей:

первый станок =2000*12=24000;

второй станок = 500 * 12= 6000.

Затем по формулам моделиУилсона находим, оптимальный план, частоту заказов и общие издержки.

Qопт=5656,85

С=2121,32

τ месс=11,31

Задача

Фирмаможет производить изделие или покупать его. Если фирма сама выпускает изделие,то каждый запуск его в производство обходится в 20 руб. Интенсивностьпроизводства составляет 120 шт. в день. Если изделие закупается, то затраты наосуществление заказа равны 15 руб. Затраты на содержание изделия в запасенезависимо от того, закупается оно или производится, равны 2 коп. в день.Потребление изделия фирмой оценивается в 26 000 шт. в год.

Предполагая,что фирма работает без дефицита, определите, что выгоднее: закупать илипроизводить изделие (в месяце 22 рабочих дня).

Подтвердитесвое решение графически, для этого на одном рисунке постройте графики общихзатрат фирмы для случаев покупки и производства изделий.

Решение

Производство изделий:

Обозначим Q -размер выпускаемой партии; D=26000 шт. — величина спроса в год; />шт. – величина спроса в день; />шт. — интенсивность производства; К=20руб. –стоимость каждого запуска изделия в производство; />руб. — издержки хранения за год.Тогда:

/>шт.

Cовокупныеиздержки:

/> руб.

Покупка изделий

Обозначим Q -размер приобретаемой партии; D=26000 шт. — величина спроса в год; К=15руб. –стоимость каждой покупки; />руб.— издержки хранения за год. Тогда:

/>шт.

Совокупныеиздержки:

/> руб.

С2

С1

/>/>/>/>/>

Рис. 6 — Графики общих затрат фирмы для случаев покупки и производства изделий

Вывод: выгоднеепроизводить изделия, чем покупать их.

Задача

Пристроительстве участка автодороги длиной 500 м используют гравий, расходкоторого составляет 120 кг/м. Сроки строительства составляют 17 дней. Работаидет в одну смену. Расход гравия равномерный. Гравий доставляется грузовымимашинами, емкостью 7 т, в течение 4 часов. Затраты на один рейс грузовика равны15 руб. Затраты на хранение гравия на месте строительства составляют 1 руб. 10коп. в сутки за тонну.

Определить:оптимальный объем заказа, количество грузовых машин, используемых для доставки,период поставок, точку заказа, затраты за всю стройку. Постройте график двухпоследних циклов изменения запаса гравия на месте строительства.

Решение

Пусть Q –оптимальный объем заказа; D=/>т — величина спроса запериод строительства; К=/>руб. -издержкиодного заказа (здесь 7 — грузоподъемность машины); />руб.— удельные издержки хранения за период; Т=17 дней– периодпланирования; />сут. (принимаем время смены 8часов). Тогда:

Издержкизаказа за период планирования :/>;

Издержкихранения за период планирования:/>.

Оптимальныйразмер заказа составит:

/> или />, откуда />т.

Количествогрузовых машин равно />ед.

Периодпоставок: /> дня.

Точказаказа: />т.

Затратына всю стройку составят:

/>руб.

Так какпериод поставок равен 4 дня, а время работы равно 17 дней, получим 4 полныепоставки и в 16-й день еще одну машину с гравием.

Задача

Пустьзатраты на заказ равны 10 руб., затраты на хранение продукции 1 руб. в сутки,интенсивность потребления товара 5 шт. в день, цена товара – 2руб. за штуку, апри объеме закупки 15 шт. и более- 1руб.

Определитеоптимальный размер заказа, цену покупки и затраты на управление запасами.Постройте график общих затрат.

Пусть Q - размерзаказа; /> - величина потребления за день; К=10-издержки одного заказа; h=1-удельные издержки хранения за день; сi—цена продукта при соответствующем размере заказа.

Издержкизаказа за период планирования: />;

Издержкихранения за период планирования: />;

Издержкина закупку товара:/>.

Совокупныеиздержки:

/>.

Приразмере заказа менее 15 шт формула совокупных издержек запишется в виде:

/>.

Длянахождения наименьшего значения функции С находим ее производную и прировняемее к нулю.

/>.

Аналогичнонаходим при заказе 15 шт. и более:

/>; />; />.

Общие издержки длякаждого размера заказа и вида скидок с выбором наименьшего значения:

Размер заказа Менее 15 шт. 15 шт. и более Цена 1 шт., руб. 2 1 Размер заказа, шт. 10 15 Издержки заказа, руб. 5 3,33 Издержки хранения, руб. 5 7,5 Издержки на закупку товара, руб. 10 5 Общие затраты, руб. 20 15,83

Выбираем размер заказа,минимизирующий общие годовые издержки. Заказ в размере 15 шт. будетминимизировать общие затраты, оптимальный размер заказа /> шт.

При этом цена покупкисоставит />руб., затраты на управление запасами составят/>руб.

Графикобщих

С, руб.

Q, шт.

Рис.7

Задача

Рассмотримзадачу 5.1. Пусть поставщик супа в пакетах предоставляет следующие скидки

Размер заказа Цена, руб./шт. 1-199 2 200-499 1,96 (2% скидки) 500 и более 1,92 (4% скидки)

Следуетли владельцу магазина воспользоваться одной из скидок, предоставляемыхпоставщиком? Каковы при этом будут размер заказа и общие затраты на управлениезапасами? Постройте график общих затрат.

Решение

Пусть Q - размерзаказа; T=300- продолжительность периода планирования; D=500- величина спроса за период планирования; К=10 -издержки одногозаказа; Н=0,4-удельные издержки хранения за период; сi— цена продукта при соответствующем размере заказа. Тогда:

Издержкизаказа за период планирования: />;

Издержкихранения за период планирования: />;

Издержкина закупку товара: />.

Совокупныеиздержки:

/>.

Оптимальныйзаказ:

/>.

Поэтомудля первого уровня цен принимаем />; для других цен — /> />. Рассчитываем общиеиздержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшеезначение.

Размер заказа 1-199 200-499 500 и более Цена пакета, руб. 2 1,96 1,92 Размер заказа, шт. 158 200 500 Издержки заказа за год, руб. 31,65 25,0 10 Издержки хранения за год, руб. 31,6 40 100 Издержки на закупку товара за год, руб. 1000 980 960 Совокупные издержки, руб. 1063,25 1045,0 1070,0

Выберем тот размерзаказа, который минимизирует общие годовые издержки. Из таблицы видно, чтозаказ в размере 200 пакетов супа будет минимизировать совокупные издержки,следовательно, оптимальный размер заказа /> пакетов.

При этом совокупныеиздержки за год составят />руб.

/>/>/>/>

Рис. 8 — График общихзатрат

Задача

Какоеколичество товара заказывать и по какой цене, каковы затраты при оптимальнойорганизации управления запасами? Известно, что n =240 шт./дн.; С0= 30 руб.; Сh= 3 руб./шт.дн.; a = 6 руб./шт.; a1= 5 руб./шт.; a2 =3 руб./шт.; Qp1=50 шт.; QP2 =500 шт.

Решение

Пусть Q - размерзаказа; v=240 шт./дн. — величина спроса запериод планирования; С0=30 руб. -издержки одногозаказа; />руб./шт.дн.-удельныеиздержки хранения за период; сi— цена продукта присоответствующем размере заказа. Тогда:

Издержкизаказа за период планирования: />;

Издержкихранения за период планирования: />;

Издержкина закупку товара:/>.

Совокупныеиздержки:

/>.

Оптимальныйзаказ:

/>.

Поэтомудля первого уровня цен принимаем />; для других цен — /> />. Далее рассчитаем общиеиздержки для каждого размера заказа и вида скидок, а затем выбрать наименьшеезначение.

Размер заказа 1-49 50-499 500 и более Цена ед. товара, руб. 6 5 3 Размер заказа, шт. 49 69 500 Издержки заказа, руб. 146,94 104,35 14,40 Издержки хранения, руб. 73,50 103,50 750,00 Издержки на закупку товара, руб. 1440,00 1200,00 720,00 Совокупные издержки, руб. 1660,44 1407,85 1484,40

Выберем тот размерзаказа, который минимизирует общие издержки. Из таблицы видно, что заказ вразмере 69 единиц товара будет минимизировать совокупные издержки,следовательно, оптимальный размер заказа />.

Вывод: совокупныеиздержки 1407,85 руб.

Расчет и анализсетевых моделей

1. Рассчитайте табличнымметодом представленный сетевой график. Определите критический путь.

Решение

Расчёты сетевого графикатабличным методом приведены в таблице:

hi i j РН tij РО ПО tij ПН Rij rij - 1 2 2 7 2 5 5 - 2 2 2 2 2 - 3 1 1 7 1 6 6 1 1 4 2 4 6 11 4 7 5 1 2 5 2 5 7 8 5 3 1 1 2 6 2 8 10 10 8 2 1 3 6 1 3 4 10 3 7 6 6 1 4 7 6 1 7 12 1 11 5 4 1 5 7 7 4 11 12 4 8 1 2 6 8 10 5 15 15 5 10 2 7 8 11 3 14 15 3 12 1 1 2 8 - 15 - 15 15 - 15

Критический путь: 0-2-6-8

2. Рассчитайте табличнымметодом представленный сетевой график… Определите критический путь.

/> <td/> />

Решение

Расчёты сетевого графикатабличным методом приведены в таблице:

hi i j РН tij РО ПО tij ПН Rij rij - 1 2 2 2 2 2 1 2 3 2 5 7 7 5 2 1 2 4 2 6 8 9 6 3 1 1 2 5 2 3 5 12 3 9 7 2 1 3 5 7 7 12 12 5 1 3 6 7 7 14 14 7 7 1 4 8 8 8 16 17 8 9 1 1 2 5 7 7 5 12 17 5 12 3 5 1 6 7 14 3 17 17 3 14 1 6 11 14 8 22 39 8 31 17 17 2 7 8 17 17 17 17 2 7 11 17 7 24 39 7 32 15 15 2 8 9 17 4 21 21 4 17 1 9 10 21 4 25 34 4 30 9 1 9 11 21 18 39 39 18 21 1 10 11 25 5 30 39 5 34 9 9 4 11 - 39 - 39 39 - 39

Критический путь:1-2-3-6-7-8-9-11

3. Рассчитайте табличнымметодом представленный сетевой график. Определите критический путь.

Решение

Расчеты сетевого графикатабличным методом приведены в таблице:

hi i j РН tij РО ПО tij ПН Rij rij - 1 18 18 48 18 30 30 - 2 15 15 26 15 11 11 - 4 30 30 30 30 1 1 3 18 22 40 70 22 48 30 1 1 9 18 12 30 100 12 88 70 52 1 2 5 15 9 24 35 9 26 9 1 2 6 15 15 40 62 15 40 25 1 3 9 40 30 70 100 30 70 30 1 4 7 30 25 55 55 25 30 1 4 8 30 30 60 90 30 60 30 30 1 5 7 24 20 44 55 20 35 11 11 1 5 10 24 5 29 80 5 75 51 26 1 6 10 40 15 55 80 15 65 25 2 7 8 55 35 90 90 35 55 2 8 11 90 32 122 122 32 90 2 9 11 70 22 99 122 22 100 30 23 2 10 11 55 42 97 122 42 80 25 25 3 11 - 122 - 122 122 - 122 - -

Критический путь:0-4-7-8-11

4.Рассчитайте секторнымметодом представленный сетевой график. Определите критический путь.

/> <td/> />

Решение

Критический путь0-2-3-4-5-6

5. Рассчитайтепредставленный сетевой график методом диагональной таблицы.Определите критический путь.

Решение

Расчёты сетевого графикаметодом диагональной таблицы:

Ti P i/j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 2 1 3 8 6 4 7 5 2 4 10 3 2 8 4 11 6 5 10 9 6 7 12 7 4 19 8 5 24 9 TiП 2 8 13 8 9 12 15 19 24 Ti P 2 5 10 8 6 9 12 19 24 r 3 3 3 3 3

Критический путь:0-1-4-8-9

6. Рассчитайтепредставленный сетевой график методом диагональной таблицы.Определите критический путь.

/> <td/> />

Решение

Расчёты методомдиагональной таблицы:

Ti P i/j 1 2 3 4 5 6 7 8 1 8 5 4 8 2 5 3 11 8 4 5 8 5 6 14 6 10 24 7 4 28 8 TiП 8 8 9 8 14 24 28 Ti P 8 5 8 8 14 24 28 r 3 1

Критическийпуть:1-2-5-6-7-8

еще рефераты

Еще работы по экономико-математическому моделированию

Реферат по экономико-математическому моделированию

Решение задач на переливание на бильярдном столе

1 Сентября 2013